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1、5.1.2 弧度制弧度制一一.复习填空：复习填空：Oxy454512312443引言：度量长度可以用米、英尺、公里的不同的单位制，度量重量可以用千克、磅、吨等不同单位制，不同的单位制可以给解决问题带来方便，初中时，角是用什么单位度量的呢？在角度制下，当把两个带着度、分、秒各单位的角在角度制下，当把两个带着度、分、秒各单位的角相加、相减时，由于相加、相减时，由于运算进率非十进制运算进率非十进制，总给我们，总给我们带来不少困难那么我们能否重新选择角单位，使带来不少困难那么我们能否重新选择角单位，使在该单位制下两角的加、减运算与常规的十进制加在该单位制下两角的加、减运算与常规的十进制加减法一样去做呢
2、？减法一样去做呢？角度制的单位有：角度制的单位有：度、分、秒。度、分、秒。1 1、角度制、角度制用用“度度”作单位来度量角的单位制称作作单位来度量角的单位制称作“角度角度制制”，规定：圆周，规定：圆周1/3601/360的圆心角称作的圆心角称作11角。角。弧度制弧度制60进制2 2、弧度制定义：弧度制定义：把长度等于半径长的弧所对的把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做圆心角叫做1 1弧度的角，弧度的角，单位用符号单位用符号radrad表示表示，读读作作弧度。弧度。=1rad问题：若弧是一个问题：若弧是一个半圆半圆，则其圆心角的弧度数是，则其圆心角的弧度数是多少？若弧是一个多少？若弧是一个整圆整
3、圆呢？呢？BL=rAOrOACL=2r2radr=2rad半圆半圆整圆整圆=rad=2rad一般地，一般地，为什么可以用弧长与其半径的为什么可以用弧长与其半径的比值来度量角的大小呢？即这比值来度量角的大小呢？即这个比值是否与所取的圆的半径个比值是否与所取的圆的半径大小无关呢？大小无关呢？BAOrABr练习练习 ：在半径不等的两个圆内，：在半径不等的两个圆内，1 1弧度的圆心角弧度的圆心角()()A.A.所对弧长相等所对弧长相等 B.B.所对的弦长相等所对的弦长相等C.C.所对弧长等于各自半径所对弧长等于各自半径 D.D.所对的弧长为所对的弧长为C角度制与弧度制的互换：角度制与弧度制的互换：（1
4、）把角度换成弧度）把角度换成弧度（2）把弧度换成角度）把弧度换成角度1、任意一个003600的角的弧度数必然适合不等式 0 x2.这样：角的单位就有角度制和弧度制几点说明：弧度制下的角与实数建立一一对应关系问：问：3rad的角是的角是第几象限的角？第几象限的角？3、例题讲解解：把 化成弧度。例1：把把 化成度。化成度。例例2 2：解：角度制与弧度制互化的关键：角度弧度0练习1：写出一些特殊角的弧度数 Oxy练习练习1）用弧度制写出与）用弧度制写出与300同终边的角的集合；同终边的角的集合；2）用弧度制写出第四象限角的集合；）用弧度制写出第四象限角的集合；3）用弧度制表示）用弧度制表示 坐标坐标
5、轴上角的集合；轴上角的集合；4 4）指出下列用弧度制表示的角是第几象限角）指出下列用弧度制表示的角是第几象限角注意：弧度数来表示或角度来表示，注意：弧度数来表示或角度来表示，不可混用不可混用于一式中。于一式中。例例4：利用弧度制证明下列关于扇形的公式：利用弧度制证明下列关于扇形的公式小结：1、弧度制的意义角与实数一一对应；3、弧度制下的弧长公式、扇形面积公式及应用2、换算公式及方法；学后反思学后反思一一对应关系，同时也揭示了圆中弧长与半径之间的一一对应关系，同时也揭示了圆中弧长与半径之间的1、弧度制的引进，使、弧度制的引进，使“角度角度”与与“实数实数”之间建立了之间建立了关系，即弧长公式：关
6、系，即弧长公式：l=|r2、弧度制下的弧长公式为、弧度制下的弧长公式为l=|r;扇形面积公式为扇形面积公式为在角度制下则是在角度制下则是这里，这里，,n分别是圆心角的弧度数与角度数，分别是圆心角的弧度数与角度数，R为圆为圆的半径。的半径。3、在具体求弧长和扇形面积时，弧度制下的弧长、在具体求弧长和扇形面积时，弧度制下的弧长公式及扇形面积公式既形式简单又便于计算，但要公式及扇形面积公式既形式简单又便于计算，但要注意适用条件是在弧度制下，角的单位要统一，都用注意适用条件是在弧度制下，角的单位要统一，都用弧度数来表示或角度来表示，弧度数来表示或角度来表示，不可混用不可混用于一式中。于一式中。应用应用
7、1 1：如图，扇形：如图，扇形AOBAOB的面积为的面积为4cm4cm2 2，周长为，周长为10cm10cm，求扇形的中心角，求扇形的中心角及及ABAB的长。的长。B BA AO O解：设扇形半径为解：设扇形半径为r，应用应用2：已知扇形的周长为已知扇形的周长为20cm，当扇形的中心角为，当扇形的中心角为多少时，它有最大面积？多少时，它有最大面积？解：设扇形的弧长为解：设扇形的弧长为L，半径为，半径为R，由已知条件，由已知条件L+2R=20，即，即L=20-2R。由由0L2R得得020-2R0)，当扇形的圆心角为，当扇形的圆心角为多少弧度时，它的周长最小？多少弧度时，它的周长最小？解：解：扇形
8、周长扇形周长 m的最小值为的最小值为此时此时由对勾函数的单调性知由对勾函数的单调性知9.已知、有下列关系，分别求、之间的关系：（1）、的终边关于X轴对称；（2）、的终边关于Y轴对称；（3）、的终边关于原点对称；（4）、的终边在一条直线上。随堂练习随堂练习 1 1、圆的半径变为原来的、圆的半径变为原来的2 2倍，而弧长也增加到原来倍，而弧长也增加到原来的的2 2倍，则倍，则 A A、扇形的面积不变、扇形的面积不变 B B、扇形的圆心角不变、扇形的圆心角不变 C C、扇形的面积增大到原来的、扇形的面积增大到原来的2 2倍倍 D D、扇形的圆心角增大到原来的、扇形的圆心角增大到原来的2 2倍倍B2、
9、时钟经过一小时，时针转过、时钟经过一小时，时针转过B 3 3、已知扇形周长为、已知扇形周长为6cm6cm，面积为，面积为2cm2cm2 2，则扇形，则扇形圆心角的弧度数为圆心角的弧度数为 A A、1 B1 B、4 C4 C、1 1或或4 D4 D、2 2或或4 4C 4 4、当圆心角、当圆心角=-216=-216o o，弧长，弧长L=7cmL=7cm时，其半径时，其半径r=_r=_ 5、在半径为、在半径为 的圆中，圆心角为周角的的圆中，圆心角为周角的 的角所的角所对圆弧的长为对圆弧的长为_40 6 6、若、若2 rad2 rad的圆心角所对的弧长是的圆心角所对的弧长是4cm4cm，则这个，则这
10、个圆心角所在扇形的面积为圆心角所在扇形的面积为_4cm27.在半径为在半径为R的圆中，的圆中，240 的中心角所对的弧的中心角所对的弧长为长为 ，面积为，面积为2R2的扇形的中的扇形的中心角等于心角等于 弧度。弧度。解：（解：（1）240=，根据，根据l=R，得，得（2）根据）根据S=lR=R2，且，且S=2R2.所以所以=4.8.已知一半径为已知一半径为R的扇形，它的周长等于所的扇形，它的周长等于所在圆的周长，那么扇形的中心角是多少弧度在圆的周长，那么扇形的中心角是多少弧度？合多少度？扇形的面积是多少？合多少度？扇形的面积是多少？解：周长解：周长=2R=2R+l，所以，所以l=2(1)R.所
11、以扇形的中心角是所以扇形的中心角是2(1)rad.合合()扇形面积是扇形面积是学后反思学后反思一一对应关系，同时也揭示了圆中弧长与半径之间的一一对应关系，同时也揭示了圆中弧长与半径之间的1、弧度制的引进，使、弧度制的引进，使“角度角度”与与“实数实数”之间建立了之间建立了关系，即弧长公式：关系，即弧长公式：l=|r2、弧度制下的弧长公式为、弧度制下的弧长公式为l=|r;扇形面积公式为扇形面积公式为在角度制下则是在角度制下则是这里，这里，,n分别是圆心角的弧度数与角度数，分别是圆心角的弧度数与角度数，R为圆为圆的半径。的半径。3、在具体求弧长和扇形面积时，弧度制下的弧长、在具体求弧长和扇形面积时，弧度制下的弧长公式及扇形面积公式既形式简单又便于计算，但要公式及扇形面积公式既形式简单又便于计算，但要注意适用条件是在弧度制下，角的单位要统一，都用注意适用条件是在弧度制下，角的单位要统一，都用弧度数来表示或角度来表示，弧度数来表示或角度来表示，不可混用不可混用于一式中。于一式中。