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1、2.4.2 圆的一般方程高二人教A版数学选择性必修第一册第二章一、学习目标1理解圆的一般方程及其特点，发展数学抽象和数学建模的核心素养。2掌握圆的一般方程和标准方程的互化。发展逻辑推理，直观想象、数学运算的核心素养。3会求圆的一般方程以及与圆有关的简单的轨迹方程问题提升数形结合及方程思想，发展逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。二、圆的一般方程的定义1.引入根据上一节圆的标准方程的相关知识我们知道,方程(x-1)2+(y+2)2=4表示以(1,-2)为圆心,2为半径的圆.可以将此方程变形为 一般地,圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2可以变形为 x2+y2+Dx+Ey+F
2、=0 的形式.x2+y2-2x+4y+1=0.思考：形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程一定能通过恒等变形变为圆的标准方程吗?二、圆的一般方程的定义1.引入例如,对于方程x2+y2-2x-4y+6=0,对其进行配方,得到(x-1)2+(y-2)2=-1,显然任意一个点的坐标(x,y)都不满足这个方程,所以这个方程不表示任何图形.因此形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程不一定能通过恒等变形变为圆的标准方程。这表明x2+y2+Dx+Ey+F=0不一定是圆的方程。二、圆的一般方程的定义2.探究思考：那么我们一起探究一下方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0中的 D,E,F满足什么条件时,这个方
3、程表示圆？二、圆的一般方程的定义2.探究思考：方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0中的 D,E,F满足什么条件时,这个方程表示圆？二、圆的一般方程的定义2.探究思考?方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0中的 D,E,F满足什么条件时,这个方程表示圆？（1 1）当D2 2+E2 2-4-4F00时，表示以（）为圆心，以()()为半径的圆 二、圆的一般方程的定义2.探究思考?方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0中的 D,E,F满足什么条件时,这个方程表示圆？二、圆的一般方程的定义2.探究思考?方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 中的 D,E,F满足什么条件时,这个方程表示圆？当D2+E2-4F0时
4、，方程（1）无实数解，所以不表示任何图形 二、圆的一般方程的定义2.探究思考?方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0中的 D,E,F满足什么条件时,这个方程表示圆？将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，配方可得 因此，当 D2+E2-4F0 时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示一个圆，我们把它叫做圆的一般方程.三、圆的一般方程的特点思考：圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点?圆的标准方程明确给出了圆心坐标和半径，而圆的一般方程则是一种特殊的二元二次方程，方程的代数特征非常明显.三三、圆的一般方程的特点我们观察一下这个二元二次方程不难发现：圆的一般方程突出了代数结构:(1)x2和y2系数相
5、同，都不等于0.(2)没有xy这样的二次项.(3)当 D2+E2-4F0 时，方程才表示一个圆.四、典型例题 例4 求过三点O(0,0),M1(1,1),M2(4,2)的圆的方程,并求这个圆的半径长和圆心坐标.分析:将点O，M1，M2的坐标分别代入圆的一般方程，可得一个三元一次方程组，解方程组即可求出圆的方程.例4 求过三点O(0,0),M1(1,1),M2(4,2)的圆的方程,并求这个圆的半径长和圆心坐标.解：设所求的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.(1)O,M1,M2 都在圆上,它们的坐标都是方程(1)的解.把它们的坐标依次代入方程(1)可以得到关于D,E,F的三元一次方程组:解
6、方程组,得 四、典型例题 例例4 求过三点O(0,0),M1(1,1),M2(4,2)的圆的方程,并求这个圆的半径长和圆心坐标.x2+y2+Dx+Ey+F=0.(1)由由 所求圆的方程为x2+y2-8x+6y=0.圆心坐标为(4,-3).四、典型例题设所求的圆的方程为四、典型例题同学们，这一道例题与与圆的标准方程这一节中例2的方法比较,你有什么体会?上一节的例2 ABC的三个顶点分别是A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求ABC的外接圆的标准方程.四、典型例题 上一节的例2 ABC的三个顶点分别是A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求ABC的外接圆的标准方程.解:设所求的方
7、程是 因为A(5,1),B(7,-3),C(2,-8)三点都在圆上,所以它们的坐标都满足上述方程,于是即即 观察上面的式子,我们发现,三式两两相减,可以消去a2,b2,r2得到关于a,b的二元一次方程组代入得r2=25.解此方程组，得所以,ABC的外接圆的标准方程是 本节的例4也使用了待定系数法，这里选用圆的一般方程，与上一节例2中选用标准方程的方法相比，运算就显得容易一些.因为运算后得到的方程没有二次项，是一个三元一次方程组.若像例2那样选用圆的标准方程，得到的是三元二次方程组，需要消去二次项.一般来说，解一次方程比解二次方程容易.四、典型例题 圆的一般方程与圆的标准方程在运用上的比较求圆的
8、方程时,如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题,一般采用圆的标准方程,再用待定系数法求出a,b,r;如果已知条件与圆心和半径都无直接关系,一般采用圆的一般方程,再用待定系数法求出系数D,E,F.四、典型例题 求圆的方程常用的待定系数法，其大致步骤是：1.根据题意,选择标准方程或一般方程.2.根据条件列出有关 a,b,r,或 D,E,F 的方程组.3.解出 a,b,r 或 D,E,F 代入标准方程或一般方程.四、典型例题例5 已知线段AB的端点B的坐标是(4,3)，端点A在圆(x+1)2+y2=4 上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.xyoBAM点M的轨迹方程
9、是指点M的坐标(x,y)满足的关系式.轨迹是指点在运动变化过程中形成的图形.在解析几何中,我们常常把图形看作点的轨迹（集合）.四、典型例题例5 已知线段AB的端点B的坐标是(4,3)，端点A在圆(x+1)2+y2=4 上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.xyoBAM分析：如图，点A运动引起点M运动，而点A在已知圆上运动，点A的坐标满足方程(x+1)2+y2=4 建立点M与点A坐标之间的关系,就可以利用点A的坐标所满足的关系式得到点M的坐标满足的关系式,求出点M的轨迹方程.四、典型例题解解:设M的坐标为(x,y),点A坐标是(x0，y0).由于点B的坐标是(4,3),且M是线段AB的中点,所以于是有:因为点A在圆上运动,所以A的坐标满足圆的方程,即:随堂练习四、典型例题 求解轨迹方程的一般方法小结：1.直接法:利用几何关系，直接列式求出.2.相关点法:利用所求曲线上的动点与已知曲线上的动点的关系，找到关系式，列式求出.五、总结1本节课，我们先学习了圆的一般方程的定义；2再利用圆的标准方程和一般方程的互化学习了圆的一般方程特点；3学会了利用直接法和相关点求与圆有关的简单的轨迹方程