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1、空白演示单击输入您的封面副标题3.2.1 3.2.1 函数单调性函数单调性第第三三章章 函数的概念与性质函数的概念与性质学习新知学习新知 观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：yx-11yx-1-1yx-11-1-1-11111图象从左到右保持递增图象从左到右有增有减在初中，我们利用函数图象研究过函数值随自变量的增大而增大（减小）的性质，这一性质叫做函数的单调性。图象关于原点成中心对称图象关于y轴对称学习新知学习新知画出函数f(x)=x2的图象，观察其变化规律：xyOf(x2)f(x1)x1x2f(x2)x1x2f(x1)x0时,y随x的增大而减小任取x1，x2(
2、-,0，x1单调递减x0时时,y随随x的增大而增大的增大而增大任取x1，x20,+)，x1x2，有f(x1)_f(x2)，这时我们就说函数f(x)=x2在0,+)上是_的。单调递增f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减。特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数.减函数减函数 如果函数y=f(x)在某个区间I上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间I叫做y=f(x)的单调区间注意：函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；函数的单调区间是其定义域的子集；必须是对于同一区间D内的任意两个自变量x1，x
3、2；当x1x2时，总有f(x1)f(x2)单调性与单调区间单调性与单调区间若f(x)的定义域为D，区间ID，如果x1，x2I，且x1x2时，都有 ，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增（或减）。（书本P86T9，尝试证明）变形变形学习新知学习新知思考：(1)设A是区间I上的自变量的某些值组成的集合，而且x1,x2A，当x1x2，都有f(x1)f(x2)，你能说函数f(x)在区间I上单调递增吗？试举例说明.5 5()=|对于函数f(x)=|x|，取区间I=(-4,4),集 合 A=-1,2,3，则 x1,x2-1,2,3，当x1x2，都有f(x1)=|x1|f(x2)=|x2|.但f(x)=|
4、x|在(-4,4)上并不单调递增.函数的单调性是对定义域D上的某个区间I而言的，自变量在整个区间I上的取值x1和x2（x1x1）具有任意性。不能用自变量在区间I内某两个值来或者区间I一部分内的任意两个值x1，x1来代替。思考：(2)函数的单调性是对定义域上的某个区间而言的，你能举出在整个定义域内单调递增的函数吗？在定义域内的某些区间单调而在另一些区间上单调递减的函数吗？学习新知学习新知xyOxyO 增函数、减函数是针对的是函数的整个定义域，是函数的整体性质，而函数的单调性是对定义域下的某个区间，是函数的局部性质.一个函数在定义域下的某个区间具有单调性，但在整个定义域上不一定具有单调性.学习新知
5、学习新知思考：(4)函数单调区间的端点是取还是不取？学习新知学习新知 单调性反映的是函数f(x)随自变量x的增大而增大或减小的性质，在单个点上谈单调性没有意义。因此，一般地，对于图象连续不断的函数，若其定义域含区间的端点，则单调区间可以取端点，也可不取不取端点.单调性反映的是函数f(x)随自变量x的增大而增大或减小的性质，在单个点上谈单调性没有意义.(1)单调性是对定义域D上的某个区间I而言的.(2)单调区间不能简单合并.(3)函数在整个定义域上不一定具有单调性。(4)增（减）函数是函数的整体性质，单调性是函数的局部性质.(5)图象连续不断的函数，若其定义域含区间的端点，则单调区间可以取端点，
6、也可以不取端点。单调性反映的是函数f(x)随自变量x的增大而增大或减小的性质，在单个点上谈单调性没有意义.归纳小结归纳小结 常见函数的单调性学习新知学习新知练一练书本P85习题3.2T1 根据下图说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上的单调性 习题演练习题演练2544xyO-1321单调增区间：0,2,4,5;单调减区间：-1,0,2,4;函数在-1,0上单调递减，在0,2上单调递增，在2,4上单调递减，在4,5上单调递增。例题讲解例题讲解-题型一证明函数的单调性题型一证明函数的单调性例1 根据定义，研究函数f(x)=kx+b(k0)的单调性.分析：根据函数单调性的定义，需要考察当x1x2时
7、f(x1)f(x2).根据实数大小关系的基本事实，只要考察f(x1)-f(x2)与0的大小关系。例题讲解例题讲解-题型一证明函数的单调性题型一证明函数的单调性例1 根据定义，研究函数f(x)=kx+b(k0)的单调性.1.取值定义域优先说明2.作差变形3.定号4.下结论证明函数单调性的方法：在定义域内任取在定义域内任取x1，x2，且，且x1x2做差做差f(x1)-f(x2)，并通过因式分解、配方，并通过因式分解、配方等方法，进行变形等方法，进行变形判断判断f(x1)-f(x2)的符号，当符号不确定使，的符号，当符号不确定使，进行分类讨论进行分类讨论根据定义得出结根据定义得出结论论取值做差变形定
8、号结论归纳小结归纳小结1.试判断函数f(x)=3x+2 的单调性，并利用函数单调性的定义证明你的判断.(书P79练习2）习题演练习题演练-题型一证明函数的单调性题型一证明函数的单调性解：函数解：函数f(x)=3x+2 在在R上单调递上单调递增增.证明：证明：x1,x2 R且且x1x2，f(x1)f(x2)=(3x1+2)(3x2+2)=3x13x2 =3(x1 x2)x1x2，x1 x2 0，3(x1 x2)0，f(x1)f(x2)，f(x)=3x+2在在R上是增函数上是增函数.1.取值2.作差变形3.定号4.下结论例题讲解例题讲解-题型一证明函数的单调性题型一证明函数的单调性证明：根据单调性
9、的定义，设V1，V2是定义域(0，+)上的任意两个实数，且V1V2，则由V1，V2(0，+)且V10,V2-V1 0又k0,于是即(1)(2)所以，函数 是减函数.也就是说，当体积V减少时，压强p将增大.1.取值2.作差变形3.定号4.下结论习题演练习题演练-题型一证明函数的单调性题型一证明函数的单调性1.取值3.定号4.下结论2.作差变形例题讲解例题讲解-题型一证明函数的单调性题型一证明函数的单调性1.取值3.定号4.下结论2.作差变形习题演练习题演练-题型一证明函数的单调性题型一证明函数的单调性对勾函数：对勾函数：例题讲解例题讲解-题型二求函数的单调区间题型二求函数的单调区间例题讲解例题讲
10、解-题型二求函数的单调区间题型二求函数的单调区间例题讲解例题讲解-题型二求函数的单调区间题型二求函数的单调区间求函数单调区间的求函数单调区间的2种方法种方法(1)定义法定义法即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解(2)图象法图象法即先画出图象，根据图象求单调区间即先画出图象，根据图象求单调区间提提醒醒单单调调区区间间必必须须是是函函数数定定义义域域的的子子集集，单单调调区区间间之之间间不不能能用用“”，而应用，而应用“，”将它们隔开或用“和”字连接归纳小结归纳小结例题讲解例题讲解-题型三函数单调性的应用题型三函数单调性的应用角度角度1比较大小或解不等式
11、比较大小或解不等式例例5(1)若若函函数数f(x)在在区区间间(，)上上是是减减函函数数，则则下下列列关关系系式式一一定定成成立立的是的是()Af(a)f(2a)Bf(a2)f(a)Cf(a2a)f(a)Df(a21)f(a2)【解析解析】a与与2a的大小无法判定，所以的大小无法判定，所以A不正确；同理不正确；同理B不正确；不正确；当当a0时，时，a2aa，所以，所以C不正确；不正确；因因为为a21a2，且且函函数数yf(x)在在R上上是是减减函函数数，所所以以f(a21)f(a2)，所所以以D正确正确例题讲解例题讲解-题型三函数单调性的应用题型三函数单调性的应用(2)已已知知函函数数yf(x
12、)是是(，)上上的的增增函函数数，且且f(x2)f(4x)，则则实实数数x的取值范围是的取值范围是_【解解析析】因因为为f(x)在在(，)上上是是增增函函数数，且且f(x2)f(4x)，所所以以(x24x，即即x3，所以，所以x的取值范围是的取值范围是(，3).(，3)1，3)利用单调性比较大小或解不等式的方法利用单调性比较大小或解不等式的方法(1)利利用用函函数数的的单单调调性性可可以以比比较较函函数数值值或或自自变变量量的的大大小小在在解解决决比比较较函函数数值值的问题时，要注意的问题时，要注意将对应的自变量转化到将对应的自变量转化到同一个单调区间上(2)在在求求解解与与抽抽象象函函数数有
13、有关关的的不不等等式式时时，往往往往利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解此时应特别注意函数的定义域此时应特别注意函数的定义域归纳小结归纳小结例题讲解例题讲解-题型三函数单调性的应用题型三函数单调性的应用角度角度2已知函数的单调性求参数已知函数的单调性求参数(4)若若函函数数f(x)x22(a1)x2在在(，4)上上是是增增函函数数，则则实实数数a的的取取值值范围是范围是【解解析析】函函数数f(x)x22(a1)x2的的图图象象开开口口向向下下，对对称称轴轴为为直直线线xa1，故故该该函函数数的的单单调调递递增增区区间间为为(，a1).又又函函数数f(x)在在(，4)上上
14、是是增增函函数数所所以以(，4)(，a1)，所以，所以a14，即，即a5.5,+)(5)若若函函数数f(x)x22(a1)x2的的单单调调区区间间是是(，4)，则则实实数数a的的取取值值是是【解解析析】函函数数f(x)x22(a1)x2的的图图象象开开口口向向下下，对对称称轴轴为为直直线线xa1，故故该该函函数数的的单单调调递递增增区区间间为为(，a1).又又函函数数f(x)的的单单调调区区间间是是(，4)所所以以a1=4，即即a=5.5已知函数的单调性求参数的取值范围的方法已知函数的单调性求参数的取值范围的方法(1)将将参参数数看看成成已已知知数数，求求函函数数的的单单调调区区间间，再再与与
15、已已知知的的单单调调区区间间比比较较，求求出参数的取值范围；出参数的取值范围；(2)运运用用函函数数单单调调性性的的定定义义建建立立关关于于参参数数的的不不等等式式(组组)，解解不不等等式式(组组)求求出出参参数的取值范围数的取值范围归纳小结归纳小结习题讲解习题讲解-题型三函数单调性的应用题型三函数单调性的应用1已知函数已知函数y(a3)x5在在R上单调递减，则上单调递减，则a的取值范围是的取值范围是_解析：解析：因为因为y(a3)x5在在R上单调递减，所以上单调递减，所以a30，所以，所以a3.答案：答案：(，3)习题讲解习题讲解-题型三函数单调性的应用题型三函数单调性的应用2已已知知f(x)是是定定义义在在区区间间1，1上上的的增增函函数数，且且f(x2)f(1x)，求求x的的取值范围取值范围