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1、3.2 3.2 函数的基本性质函数的基本性质课时课时5 5 函数的单调性函数的单调性教学目标教学目标1.了解函数单调性和单调区间的概念,掌握判断一些简单函数的单调性的方法.2.理解函数单调性的本质特征,能正确运用函数单调性的定义证明函数的单调性.3.学会根据函数单调性的定义和运用函数的图象探求一些简单函数的单调区间.学习目标学习目标课程目标课程目标学科核心素养学科核心素养借助函数图象，理解增函数、减函数的概念及函数单调性的定义通过函数单调性定义的生成过程,培养直观想象及数学抽象素养理解函数单调性的本质特征,会运用单调性的定义证明简单函数的单调性借助函数单调性的判断与证明,培养逻辑推理及数学运算
2、素养能根据函数单调性的定义和图象特征探求一些简单函数的单调区间在求函数单调区间的过程中,培养数学抽象和数学运算等素养情境导学情境导学现代技术可以帮助我们方便地了解天气信息，为第二天现代技术可以帮助我们方便地了解天气信息，为第二天的出行做准备的出行做准备下下图是我市某天图是我市某天2424时内气温随时间变化的曲时内气温随时间变化的曲线图线图观察图象，说出温度随时间变化的规律观察图象，说出温度随时间变化的规律【活动活动1】深刻认识具体函数的单调性深刻认识具体函数的单调性初探新知初探新知【问题问题2 2】“y“y随随x x的增大而增大的增大而增大”“y”“y随随x x的增大而减小的增大而减小”用符号
3、语言如何表示？用符号语言如何表示？【问题问题1 1】分别作出函数分别作出函数y yx x2 2，y yx x2 2，y yx x2 2，y y 的图象，并且观察自变量变化时，函数值的变化规的图象，并且观察自变量变化时，函数值的变化规律律【问题问题4 4】问题】问题3 3应该怎样表达才更完善？应该怎样表达才更完善？【问题问题3 3】以以y yx x2 2在在 (，0)0)上函数值的变化规律为例，上函数值的变化规律为例，该变化规律是针对该变化规律是针对(，0)0)上的自变量的部分值还是所有值上的自变量的部分值还是所有值？【问题问题5 5】对于函数】对于函数y yx x2 2，你能模仿上述方法，给出
4、该函，你能模仿上述方法，给出该函数在区间数在区间 上函数值变化规律的符号语言表示吗上函数值变化规律的符号语言表示吗？【问题问题6 6】请你模仿上述过程，用严格的符号语言刻画】请你模仿上述过程，用严格的符号语言刻画f(x)f(x)和和f(x)f(x)x x2 2的函数值变化规律的函数值变化规律【问题问题7 7】归纳具体函数归纳具体函数f(x)f(x)x x2 2,f(x)f(x)和和f(x)f(x)x x2 2的的单调性的刻画方法，给出函数单调性的刻画方法，给出函数y yf(x)f(x)在区间在区间D D上单调性的符号上单调性的符号表述表述【活动活动2】单调性定义的抽象单调性定义的抽象【问题问题
5、8 8】如果对任意的如果对任意的x x1 1，x x2 2DD，且，且x x1 1xx2 2，有，有 00，那么函数那么函数f(x)f(x)在区间在区间D D上是单调递增还是单调递减？上是单调递增还是单调递减？【问题问题9 9】设设A A是区间是区间D D的子集，而且的子集，而且x x1 1，x x2 2AA，当，当x x1 1xx2 2时，都有时，都有f f(x(x1 1)f(x)f(x2 2)，我们能说函数，我们能说函数f(x)f(x)在区间在区间D D上单调递增吗？你能举例说上单调递增吗？你能举例说明吗？明吗？【活动活动3】辨析单调性定义辨析单调性定义【问题问题1010】函数的单调性是对
6、定义域内某个区间而言的，你能举出函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，你能举出在整个定义域内单调递增的函数例子吗？你能举出在定义域内的某在整个定义域内单调递增的函数例子吗？你能举出在定义域内的某些区间上单调递增，但在另一些区间上单调递减的函数例子吗？些区间上单调递增，但在另一些区间上单调递减的函数例子吗？【问题【问题1111】若函数若函数f(x)f(x)在区间在区间D D上是增函数上是增函数,则其图象具有怎样的则其图象具有怎样的特征特征?是减函数呢是减函数呢?典例精讲典例精讲【例1】20212021四川省资阳市伍隍中学高一月考四川省资阳市伍隍中学高一月考 如图是定义在如图是定义在-5,5 5
7、,5 上的函数上的函数y yf(x)f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是单调递增的还是单调递减的单调区间上，它是单调递增的还是单调递减的思路思路点拨：点拨：观察函数图像得出单调区间【解解】从图象可知，单调区间有从图象可知，单调区间有 5 5，22，2 2，11，11，33，33，55，其中单调递增区间：，其中单调递增区间：2 2，11，33，55；单调递；单调递减区间：减区间：5 5，22，11，3.3.【方法规律方法规律】图象呈上升趋势，则为单调递增；呈下降趋势，则为单调递减 【变变式训练式训练1 1】20222022重庆市
8、朝阳中学高二期中改编题重庆市朝阳中学高二期中改编题 画出函画出函数数f(x)f(x)x x2 24x4x5 5的图象，并根据图象说出函数的单调的图象，并根据图象说出函数的单调区间，区间，以及在各区间上，函数是单调递增的还是单调递减的以及在各区间上，函数是单调递增的还是单调递减的【解解】画出图象如图由图象可知函数的单调区间有画出图象如图由图象可知函数的单调区间有 ，.且函数在且函数在 上单调递减，在上单调递减，在 上单调递增上单调递增【方法规律方法规律】利用定义判断与证明函数单调性的利用定义判断与证明函数单调性的4 4个步骤个步骤:思路点拨思路点拨将函数解析式写成分段函数的形式将函数解析式写成分
9、段函数的形式,分段作出其图象分段作出其图象,再再借助图象写出其单调区间借助图象写出其单调区间.【方法规律方法规律】图象法求函数单调区间的步骤图象法求函数单调区间的步骤(1)(1)作图作图:作出函数的图象作出函数的图象.(2)(2)结论结论:上升图象对应单调递增区间上升图象对应单调递增区间,下降下降图象对应单调递减区间图象对应单调递减区间.(备选例题)(1)已知函数f(x)=-x2-2(a+1)x+3.若函数f(x)在区间(-,3上是增函数,则实数a的取值范围是_;若函数f(x)的单调递增区间是(-,3,则实数a的值为_.(2)若函数f(x)=x2+ax+b在区间1,2上不单调,则实数a的取值范
10、围为_.(3)已知函数y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,且f(1-a)f(2a-1),则实数a的取值范围为_.思路点拨思路点拨画出二次函数的草图画出二次函数的草图,结合图象分析结合图象分析,根据函数单调性的图象特征根据函数单调性的图象特征,建立建立关于参数关于参数a a的方程、不等式或不等式组的方程、不等式或不等式组,通过解方程、不等式或不等式组求出参数通过解方程、不等式或不等式组求出参数a a的值或取值范围的值或取值范围.【解解】(1)f(x)=-x(1)f(x)=-x2 2-2(a+1)x+3=-(x+a+1)-2(a+1)x+3=-(x+a+1)2 2+(a+1)+(a+1)2
11、 2+3.+3.得函数单调递增区间得函数单调递增区间为为(-,-a-1.(-,-a-1.由由f(x)f(x)在在(-,3(-,3上是增函数知上是增函数知3-a-1,3-a-1,解得解得a-4,a-4,即实即实数数a a的取值范围为的取值范围为(-,-4.(-,-4.由题意得由题意得-a-1=3,a=-4.-a-1=3,a=-4.【方法规律方法规律】(1)(1)区间区间D D是函数是函数f(x)f(x)的定义域的子集的定义域的子集,x,x1 1,x,x2 2是区间是区间D D中的任意两个自变量中的任意两个自变量,且且x x1 1xx2 2:f(x):f(x)在区间在区间D D上单调递增上单调递增
12、,则则x x1 1xx2 2f(xf(x1 1)f(x)f(x2 2).f(x).f(x)在区间在区间D D上单调递上单调递减减,则则x x1 1xf(x)f(x2 2).).(2)(2)有关函数单调性应用的问题的求解有关函数单调性应用的问题的求解,其通用的方法是利用转化思想解题其通用的方法是利用转化思想解题,其思维其思维流程如下流程如下:课堂反思课堂反思1.1.通过通过本节课的学习，你学到了哪些知识本节课的学习，你学到了哪些知识？2 2.你认为本节课的重点和难点是什么你认为本节课的重点和难点是什么？随堂演练随堂演练1.下列四个函数中，在(0，)上单调递增的是()A.f(x)3xB.f(x)x
13、23xC.f(x)2xD.f(x)C2设(c，d)，(a，b)都是函数yf(x)的单调递减区间，且x1(a，b)，x2(c，d)，x1x2，则f(x1)与f(x2)的大小关系是()A.f(x1)f(x2)C.f(x1)f(x2)D.不能确定D3.(多选)2020吉林省通化市梅河口第五中学高一月考改编题如果函数f(x)在a,b上单调递增,那么对于任意的x1,x2a,b(x1x2),下列结论中正确的有()A.B.(x1-x2)f(x1)-f(x2)0C.f(a)f(x1)f(x2)f(a+3),则实数a的取值范围为_4.教材改编题若函数f(x)x25ax6的单调递增区间是，则a_65(-3,-1)(3,+)同学们再见！同学们再见！Goodbye StudentsGoodbye Students！