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1、圆锥曲线的方程总体设计I总体设计解析几何是数学发展过程中的标志性成果，是微积分创立的基础.本章将在“直线和圆的方程”的基础上，通过行星运行轨道、抛物运动轨迹等，使学生了解圆锥曲线的背景与应用帮助学生在平面直角坐标系中，认识椭圆、双曲线、抛物线的几何特征，建立它们的标准方程；运用代数方法进一步认识圆锥曲线的性质以及它们的位置关系；运用平面解析几何方法解决简单的数学问题和实际问题，感悟平面解析几何中蕴含的数学思想；提升直观想象、数学运算、数学建模、逻辑推理和数学抽象素养.以上是标准（2017年版）对本章内容的总体定位，也是本章编写的总体指导思想.一、本章学习目标1.了解圆锥曲线的实际背景，例如，行
2、星运行轨道、抛物运动轨迹、探照灯的镜面，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质.3.了解抛物线与双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质.4.通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想.5.了解椭圆、抛物线的简单应用.6.了解解析几何产生和发展的过程、重要结果、主要人物、关键事件及其对人类文明的贡献.二、本章知识结构框图三、内容安排首先，本章的研究对象是圆锥曲线（几何图形），研究过程中，数形结合思想和坐标法统领全局.教科书按椭圆、双曲线、抛物线的顺序安排了三节内容，三种圆锥曲线的研究
3、内容、过程和方法是“同构”的，对每一种圆锥曲线都是按照“曲线的几何特征曲线的标准方程通过方程研究曲线的性质应用”的过程展开，在具体展开过程中，教科书把椭圆作为重点，强调它的典型示范作用，注重数学思想和基本方法的引领性，双曲线、抛物线的研究通过类比椭圆来完成.第二，曲线与方程的关系（一种充要条件）是讨论各种具体问题的基础，与前一章内容的处理方式一样，本章仍然采取在建立圆锥曲线的标准方程后，就着方程的建立过程讨论“曲线上点的坐标都满足方程”“以方程的解为坐标的点都在曲线上”.这样处理，既不失科学性，又不让学生感到过于抽象，可以使学生在潜移默化中体验曲线与方程之间的一一对应关系，进一步理解通过方程研
4、究曲线性质的合理性，使理性思维得到培养.第三，圆锥曲线是高中解析几何课程的重要内容，是平面几何没有涉及的.根据解析几何的学科特点，教科书在对这些曲线的研究中都贯彻了“先用几何眼光观察与思考，再用坐标法解决”的策略.对于每一种圆锥曲线，都加强了概念的抽象过程，强调在探索、明确其几何特征（主要是对称性）的基础上，再利用几何特征建立坐标系、求出标准方程，然后通过方程、运用代数方法进一步认识圆锥曲线的性质以及它们的位置关系，从而促进学生的直观想象、数学运算等素养的发展.第四，圆锥曲线的统一定义表明三种曲线之间的内在联系，是非常重要的，而“个性定义”的几何特征非常突出，特别是，我们可以根据椭圆的定义方便
5、地得到其图形，通过直观就能发现椭圆的基本特征对称性.因此，与以往的处理方式一样，教科书以三种曲线的“个性特征”为明线，分别定义三种曲线同时，为了使学生能了解统一定义，教科书以“具体例子+拓展性素材”的方式进行渗透和明确，并在引出抛物线概念时进行适当归纳.第五，教科书虽然没有明确给出求曲线的方程的一般步骤，但在求圆锥曲线的方程时进行了渗透：（1）建立适当的坐标系,用有序实数对表示曲线上任意一点的坐标;（2）写出适合条件的点的集合;（3）用坐标表示条件,列出方程;（4）化方程为最简形式;（5）说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上.同时，通过“思考”“探究”等栏目，让学生自己推出不同坐标系下的
6、标准方程，达到既熟练推导过程又加强代数运算的训练，并使学生把握标准方程的多样性表示.第六，在研究圆锥曲线的范围、对称性、顶点、离心率等性质时，教科书特别注意发挥“几何图形的性质指什么”“如何利用方程研究几何图形的性质”“先直观感知图形的性质，再用方程进行论证”等一般观念的引领作用，通过栏目、边空等作出明确提示，将坐标法具体结合到几何性质的研究过程中去，在增强教科书的思想性的同时，也为直观想象、逻辑推理等素养的培养和理性思维的发展提供了载体.对于椭圆的离心率，教科书要求学生探究怎样利用a，c这些“基本量”刻画椭圆的扁平程度；对于双曲线的渐近线，教科书安排了一个从特殊到一般的过程，以增强直观性和操
7、作性，使学生在信息技术的帮助下体会“渐近”的含义.第七，用坐标法解决几何问题，其基础是利用坐标系将点表示为有序数对，建立起平面内点与有序数对之间的一一对应，由此可以将曲线表示为一个方程，几何问题就归结为代数问题；然后借助于代数运算和逻辑推理，对这些数、代数式及方程之间的关系进行讨论；最后把讨论的结果利用坐标系翻译成相应的几何结论.这就是我们熟悉的“三步曲”：几何问题“翻译”为代数问题代数运算与推理代数结论“翻译”为几何结论.与圆锥曲线相关的主要问题是（1）求有某种几何特征的曲线方程；（2）根据曲线的方程，用代数方法证明（或讨论）曲线的几何性质；（3）赋予代数方程以几何意义，用几何方法研究它的代
8、数性质，例如通过方程研究直线与圆锥曲线的位置关系等.为此，教科书在解决（1）（2）两个问题后，通过例题、习题解决问题（3）.教科书特别注意把圆锥曲线丰富多彩的性质选作例题和习题，不仅使题目的思想内涵得到增强，而且通过这些题目加强了知识间的相互联系，从而帮助学生建立对圆锥曲线的整体认识.例如，椭圆的例题中，就包含了椭圆与圆的联系、定义椭圆的其他方式、椭圆的光学性质等，这些题目的“数学含金量”是非常高的.另外，这些题目的可拓展性也是很强的.第八，教科书在三种圆锥曲线中都注意安排实际应用问题，并通过拓展性资源对“圆锥曲线的光学性质及其应用”进行归纳总结，以落实“通过行星运行轨道、抛物运动轨迹等，使学
9、生了解圆锥曲线的背景与应用”的要求.同时，教科书特别注意发挥信息技术的作用，在正文中明确提出利用信息技术进行探究的要求，而且安排了利用信息技术探究圆锥曲线性质的栏目、拓展性材料等.另外，还安排了“文献阅读与数学写作解析几何的形成与发展”，要求学生查阅与解析几何有关的文献，了解解析几何形成与发展的过程，以及解析几何对人类文明的主要贡献，以体现本章内容在数学文化中的特殊作用.四、课时安排本章教学时间约需13课时，具体分配如下（仅供参考）：3.1椭圆 约4课时3.2双曲线 约3课时3.3抛物线 约3课时文献阅读与数学写作解析几何的形成与发展 约1课时小结 约2课时五、本章编写思考总体而言，本章教科书
10、的编写，注意吸收以往教科书的优点，强调在继承基础上进行创新在内容的选择上，围绕圆锥曲线的核心概念，以椭圆、双曲线、抛物线的主要性质及其应用为重做到削支强干；在结构体系上，强调知识发生发展的逻辑合理性，加强背景和应用，从而使学生在三种曲线的学习中经历完整的研究过程；注重按照学生学习心理组织教科书内容，加强数学思想的引导和解题方法的分析，循序渐进地逐步提高论理要求；注重坐标法思想内涵的理解和应用，誠少机械套用、死记硬背；注重与平面几何、函数等的联系与综合，强调代数运算与逻辑推理的融合，体现解析几何的学科特征；注重利用数学史料，渗透数学文化；等等.贯彻“问题引导学习”思想，通过“观察”“思考”“探究
11、”等栏目，以层层递进、逻辑连贯的“问题串”为载体创设系列化数学活动，引导学生开展创造性学习活动；强调根据学生的认知规律，采用“归纳式”呈现学习内容，引导学生自己归纳和概括数学结论；注意使用“先行组织者”手段，从方法论高度，对如何观察、发现圆锥曲线的几何特征，如何构建研究路径，如何发现圆锥曲线的性质，如何用坐标法研究几何问题等加强指导，以提高教科书的思想性；采用单元整体设计，在坐标法的统领下，以直线和圆的方程为基础，从椭圆、双曲线到抛物线顺次展开内容；在语言叙述上尽量做到条理清楚、简洁明快；等等.以下就几个主要问题介绍教科书的设计思路.1.关于研究对象的定义我们知道，因为一个数学对象的本质特征可
12、以有多种等价的表现形式，所以数学对象的定义是不唯一的.数学定义是选择的结果.这就带来一个问题：如何选择才更有利于我们展开对这个对象的研究？对这个问题的回答可能是没有统一标准的.事实上，数学定义是一代代数学家不断研究、改进的结果，特别是一些处于基础地位的概念，例如函数的定义.有时，对一个数学对象的不同定义也反映了人们对其本质属性的认识的不同抽象层次，因此，在编写教科书的过程就需要思考怎样的定义才能既反映数学对象的本质特征，又能与学生的认知水平相适应.在阿波罗尼奥斯（Apollonius，约公元前262一前190）的圆锥曲线论中，三种圆锥曲线是基于平面截圆锥给出的.由平面与圆锥的轴所成角的不同范围
13、，可将截线区分为三类，阿波罗尼奥斯将它们分别称为齐曲线（抛物线）、超曲线（双曲线的一支）、亏曲线（椭圆）.从上述定义出发，利用相似三角形、圆的有关性质，通过一系列的几何推理，可以推出三类曲线的性质：（1）椭圆:;（2）抛物线:;（3）双曲线:.用解析几何的语言叙述,即：以圆锥曲线的轴为轴、顶点为原点建立直角坐标系,上述三个性质就是对称轴与轴重合的圆锥曲线方程,就是椭圆的长轴（或双曲线的实轴是半短轴).得到上述圆锥截线的性质后,就不再利用圆锥曲面而直接从这三条性质推出其他性质,“椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为”“椭圆上任意一点到焦点的距离与到准线的距离之比为大于0小于1的常数”等都可由此推
14、出.由上所述可见,由平面截圆锥得到三种截线,这是最原始的定义由这个定义可以容易地区分截线的类型，但每一种截线的几何特征却不明显.由此出发推导圆锥曲线的方程，需要用到较多的几何知识,推理过程比较复杂,对大多数学生而言难度太大,显然不合适.其他定义实际上都是从这个原始定义推出的性质.因为“平面内,与两个定点的距离的和等于常数的点的轨迹叫做椭圆”的几何特征非常明确,可以与圆的定义衔接（当两个定点的位置逐渐接近时,椭圆的形状就逐渐接近圆),容易作图,其基本几何性质（对称性）也易于直观想象,由此就方便于我们合理地建立直角坐标系求出椭圆的方程,而由“距离的和等于常数”联想到“距离的差等于常数”也是非常自然
15、的,所以教科书对椭圆、双曲线的定义做出如此选择.不过,这样的选择存在一个缺陷,即与抛物线的定义无法衔接.为了解决这个问题,教科书在椭圆、双曲线的内容设置中做了一定的铺垫.在“椭圆”一节设置例题:“动点到定点的距离和它到定直线的距离的比是常数,求动点的轨迹”和“用信息技术探究点的轨迹:是定点,是不经过点的定直线,动点到定点的距离和它到定直线的距离的比是小于1的常数.用信息技术软件画出动点的轨迹,观察这个轨迹,可以发现它是一个椭圆.在的范围内,改变的大小,或改变点与直线的相对位置,可以发现动点的轨迹仍然是一个椭圆”.在“双曲线”一节设置例题:“动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数,求动点的
16、轨迹”和习题:“设动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是,求动点的轨迹方程,并说明轨迹的形状”.在“抛物线”的节引言中先进行引导:“通过前面的学习可以发现,如果动点到定点的距离与到定直线(不过点)的距离之比为,当,点的轨迹为椭圆;当时,点的轨迹为双曲线.一个自然的问题是:当时,即动点到定点的距离与它到定直线l的距离相等时，点M的轨迹会是什么形状？”然后通过“探究”，让学生用信息技术画出动点的轨迹，在此基础上再给出抛物线的定义.教科书的这种处理方式，兼顾了三种圆锥曲线的“个性”与“共性”，使概念的引人、定义的给出基本做到了衔接自然、光滑.2.对解析几何学科特点的思考解析几何的创建是为了科学发展
17、的需要，而从数学内部看，则是出于对数学方法的追求.认识清楚这一点，对于我们理解解析几何的基本思想特别重要.追溯笛卡儿（Descartes，15961650）创立解析几何的心路历程，可以明显看出这种追求.笛卡儿不仅在数学上做出了重要的开创性贡献，而且在哲学、生物学、物理学等众多领域都有杰出贡献.他是机械自然观的第一个系统表述者，被誉为近代哲学的开创者.他以大哲学家的眼光审视数学，认为数学立足于公理上的证明是无懈可击的，而且是任何权威所不能左右的.数学提供了获得必然结果以及有效地证明其结果的方法.数学方法“是一个知识工具，比任何其他由于人的作用而得来的知识工具更为有力，因而它是所有其他知识工具的源
18、泉所有那些目在于研究顺序和度量的科学，都和数学有关”他研究数学，目的是想寻找一种能在一切领域里建立真理的方法.他认为，以往的几何、代数研究都存在很大缺陷：欧氏几何中没有那种普遍适用的证明方法，几乎每一个证明都需要某种新的、技巧性很强的想法；代数的方法具有一般性其推理程序也是机械化的，但它完全受法则和公式的控制，以至于“成为一种充满混杂与晦暗故意用来阻碍思想的艺术，而不像用来改进思想的科学”.所以，代数与几何必须互相取长补短不过，他推崇代数的力量，认为代数方法在提供广泛的方法论方面要高出几何方法，因此代数具有作为一门普遍的科学方法的潜力.于是，他提出了一个计划，即：任何问题数学问题代数问题方程求
19、解.他把精力集中在把代数方法用于解决几何问题的研究，其结果是创立了解析几何.笛卡儿的理论建立在两个观念的基础上：坐标观念；利用坐标方法把带有两个未知数的任意代数方程看成是平面上的一条曲线的观念，基于坐标法思想，给出了一系列新颖的结论，例如：曲线的“次”与坐标轴的选择无关，因此选择的坐标轴要使得方程越简单越好；在同一坐标系内写出两条不同曲线的方程，解它们的联立方程组就求出两条曲线的交点；用方程的“次”给几何曲线分类，圆锥曲线的方程是二次的（没有证明）；等等.总之，笛卡儿创立解析几何的原动力是他对普适性方法的追求，“创造一种方法，以便用来解决所有的几何问题，给出这些问题的所谓一般的解法”的思想指引
20、着他的创新之路，而几何代数和一般变量概念的结合是坐标法的起源，所以解析几何具有浓厚的“方法论”色彩.了解这点很重要，因为这能使我们理解为什么在解析几何的教学中要把重点放在对坐标法的理解和应用上，而不是把精力浪费在一些复杂的求曲线方程的代数变换上.基于上述分析，我们把“解析几何是一种方法论”作为本章内容的一个核心定位，并在编写过程中把如何讲好“方法论”作为教科书的一个关键问题.具体而言，教科书做出了如下安排.首先，在章、节引言及小结中，用明确的语言表述数形结合思想、坐标思想.例如，本章小结中明确指出：用坐标法研究几何问题，首先要注意观察相应几何图形的特征，认识确定几何图形的要素例如椭圆是平面内到
21、两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹，这里“两个定点”“距离之和为定长”等就是确定椭圆的几何要素；然后用坐标法解决，即利用几何特征合理建立坐标系，用坐标表示点，用方程表示几何要素的关系.在此基础上，利用方程研究曲线的性质.可以看到，析几何中研究椭圆、双曲线、抛物线的过程和方法是一致的.这表明，用代数方法研究几何问题圆锥曲线的性质），其处理方法具有统一性.实际上，通过运算来发现几何图形的性质，不能迅速地证明曲线的性质，而且这种解决问题的方式基本上是程序化的，这是解析几何的优势所在，是体现数形结合思想威力的典范.用坐标法研究几何图形时，代数式的化简、方程的变形与等价转化等起着很重要的作用.例如，当
22、我们把椭圆的方程化简为标准方程后，就能容易地看出椭圆的范围、对称性、顶点等，发现长轴、短轴、焦距之间的关系，并由此得到刻画椭圆扁平程度的离心率等.所以，学习解析几何需要较强的逻辑推理、数学运算等能力.第二，在正文的表述中，教科书随时随地强调坐标法的基本思想，加强“先用平面几何眼光观察，再用坐标法解决”的过程，并在“如何以直角坐标系为参照，确定问题中的几何要素”上加强引导，体现“从推理几何到解析几何”的过渡.按上一章小结中给出的坐标法基本步骤呈现标准方程的推导过程、例题的解答过程，强调用坐标法研究问题的规范，完整地给出利用方程讨论图形的几何性质的示范，并以“三步曲”为指导，在小结中进一步给出用坐
23、标法解决圆锥曲线问题的基本思路.第三，从圆锥曲线的标准方程出发，用坐标法研究圆锥曲线的性质及数学内外的各种应用问题，引导学生理解坐标法的基本思想，体会坐标法的力量.为使学生集中精力于坐标法的学习在素材选择上，教科书特别关注了圆锥曲线的性质，把那些通过不太复杂的代数运算就能得出的性质及其在现实中的应用设计为例题、习题，例如，鉴于三种圆锥曲线的定义都是从“距离”间的关系给出的，在例题中专门设置了从“角度”间的关系反映的性质：设A，B两点的坐标分别为.直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是（或），求点M的轨迹方程.事实上，把这个题目反过来，就是圆锥曲线的一条性质：椭圆、双曲线上的点（长轴（或实
24、轴）端点除外）与长轴（或实轴）的两个端点连线的斜率之积是定值.同时，这条性质还具有可推广性，给教学留下了空间.另外，与这套教科书的其他章比较，本章设置的拓展性资源是比较多的，其目的也是给学生从不同角度感悟解析几何思想与方法的机会.3.根据学生学习心理安排教学内容与以往比较，在强调教科书的科学性、逻辑性、结构性的同时，特别关注学生的学习心理，注意按学生的心理逻辑组织教学内容，这是本套教科书的一个总体特色.本章内容编写中注意了如下几个方面：（1）强调“先行组织者”的使用，认知心理学认为，“先行组织者”有助于学生形成有意义学习的心向，能为学生提供一个学习的整体架构，避免学习的盲目性，同时也能为新旧知
25、识搭建联系通道.前面已指出，解析几何具有“方法论”的学科特征，在解决具体问题之前明确其结构、方向和主要过程正是“先行组织者”的“强项”.所以，在教科书内容的展开过程中，特别是在章节的开篇、内容之间的衔接与过渡等地方，我们赋予“先行组织者”以重要地位，特别注重用坐标法讨论问题基本思路的引导.实际上，这既是解析几何思想的教学，又是一种思维策略的教学，对于学生获得数学基本思想、积累基本活动经验，增加发现和提出问题的可能性，以及培养理性思维等都能起到非常重要的作用.（2）对坐标法、数形结合、运动变化思想等“默会知识”，采取“渗透明确一应用”的呈现过程.我们知道，坐标法、数形结合思想等都是数学中关于“怎
26、么想”“怎么做”的知识属“默会知识”范畴.这种知识的掌握，更多地依赖于实践中的体悟.因此，本章在“直线和圆的方程”中明确坐标法思想、提供用坐标法解决平面几何问题的示范和练习的基础上，进一步确了坐标法和数形结合思想，并加强了用坐标法解决综合性问题的训练，使学生在实践中加深理解，逐步养成用坐标法思考和解决问题的思维习惯.（3）尽量用“归纳式”呈现教科书，注意从简单到复杂、从单一到综合地组织内容，按照从具体到抽象、从特殊到一般的方式，给学生提供归纳、概括的机会.这是与以往教科书有很大区别的地方.例如，对“曲线的方程”“方程的曲线”概念的处理，虽然它在培养学生思维的逻辑性和严谨性方面都是很好的载体，但
27、这也是一个不容易把握的概念，没有足够的知识准备，不仅会导致学生理解的困难，还会使他们产生“为什么要这样来要求”的疑问.因此，教科书在圆锥曲线方程的推导中，继续采取“结合具体曲线呈现相关内容”的方式，最后再在本章小结中对“曲线与方程的关系”进行归纳，并指出“利用坐标系建立曲线与方程的这种关系，是解析几何的基础，在今后的学习中可以进一步体会到”.4.设计系列化的数学活动引导学生开展有结构有逻辑的系统学习以发展学生数学学科核心素养为导向，创设合适的教学情境、提出数学问题，引导学生以独立思考、自主学习、合作交流等多样化的方式开展数学学习，是标准（2017年版）的基本理念.为此，教科书强调构建系列化数学
28、活动，注重创设与学生的现实紧密关联的真实问题情境，引导学生开展体验学习、合作学习、建构学习，通过有结构、有逻辑的系统学习，逐步形成数学学科观念、数学思维方式和探究技能，促进数学知识和技能的持续结构化，使学生的理性思维不断走向成熟.系列化的数学活动涵盖了通过数学抽象获得研究对象，构建研究数学对象的基本路径，发现和提出值得研究的数学问题，探寻解决问题的数学方法，获得有价值的数学结论直至建立数学模型解决现实问题，这是在通盘考虑课程内容基础上作出的设计.在本章的数学活动设计中，教科书根据圆锥曲线的内容特点，首先注意发挥史料的作用，从整体上提出圆锥曲线的产生以及所要研究的问题.如前所述，解析几何的发明既
29、是为了解决人类实践活动中提出的问题，又是为了探寻科学研究的普适性方法教科书以历史资料为素材，以用坐标法研究几何图形的过程与方法为导向，从宏观上提出系列问题，引导学生感受坐标法.这样的处理对学生把握解析几何的基本思想和学习方向很有好处，这是教师在分析和理解教科书编写意图时需要关注的一个问题.在每一种圆锥曲线的研究中，教科书从节引言开始，通过“观察”“思考”“探究”等栏目根据知识的发生发展需要提出层层递进的问题，从而形成环环相扣的系列化数学活动.这些问题是学生在学习具体内容时普遍都会遇到的，教科书通过它们来引导学生的思考方向，为学生独立思考、自主探究构建平台.例如，在“椭圆”一节中，教科书按知识的
30、发展过程顺次提出了如下问题：（1）节引言以“椭圆到底有怎样的几何特征？我们该如何利用这些特征建立椭圆的方程，从而为研究椭圆的几何性质奠定基础？”从宏观上提出问题，给出研究目标.（2）在引入椭圆概念时，以“探究：移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？”引导学生探究椭圆的几何特征，为抽象椭圆概念、展开后续内容做好必要准备.（3）以“思考：观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系可能使所得的椭圆方程形式简单引导学生思考如何利用椭圆的几何特征合理建立坐标系.（4）以“思考:观察图3.1-3(图3-1),你能从中找出表示,c,的线段吗?”引导学生思考的几何意义,使学生理解引入的合理性.（5）以“思考:如果
31、焦点在轴上,且的坐标为的意义同上,那么椭圆的方程是什么?”引导学生通过类比,自主推导焦点在轴上时的标准方程.（6）以“先用几何眼光观察,再用坐标法解决”为指导,以“与利用直线的方程、圆的方程研究它们的几何性质一样,我们利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质,包括椭圆的范围、形状、大小、对称性和特殊点等”为导入语,设置“观察”栏目,提出问题“观察椭圆的形状，你能从图上看出它的范围吗?它具有怎样的对称性?椭圆上哪些点比较特殊?”从整体上明确椭圆性质的主要研究内容,再以系列化的栏目引导学生具体探究性质:思考:观察图,容易看出椭圆上的点都在一个特定的矩形内,你能利用方程（代数方法）确定出它的具体边界吗?
32、探究:观察椭圆的形状,可以发现椭圆既是轴对称图形,又是中心对称图形.如何利用方程说明椭圆的对称性?思考:你认为椭圆上哪些点比较特殊?为什么?如何得到这些点的坐标?思考:不同形状的椭圆的扁平程度不同,相同形状的椭圆的扁平程度相同.扁平程度是椭圆的重要形状特征,你能用适当的量定量刻画椭圆的扁平程度吗?在“边空”中提出问题:你能运用三角函数的知识解释,为什么越大,椭圆越扁平?越小,椭圆越接近于圆吗?教科书以上述系列化情境与问题为载体，构建了“分析背景探索几何特征选择坐标建立标准方程探索不同形式的标准方程通过方程研究几何性质”的系列化数学活动.5.加强背景和应用，完善学习过程解析几何是一门方法论色彩浓
33、厚的学科，应当以“用坐标法研究问题”为主线，以让学生领会坐标法和数形结合思想为主要任务，仅靠做题目是无法达成这一目标的.为此，加强背景和应用，使学生经历完整的用坐标法解决问题的过程，变“掐头去尾烧中段”为“接头续尾烧全鱼”，是解析几何教学中必须予以充分重视的问题.教科书在这方面加强了引导，例如：（1）加强确定图形的几何特征的分析，在明确要解决的几何问题是什么的基础上，再进入建立直角坐标系、求方程等环节.实际上这是“先用几何眼光观察”的体现，在建立几何直观的基础上，再进行代数表达与运算、推理，可以提高运算效率，这也是化解解析几何学习中运算、代数推理难点的举措.（2）加大用坐标法思想分析问题的力度
34、.从简洁性考虑，以往教科书往往直接呈现逻辑过程，这是一种思考的“结果”，而对“为什么这样思考”则需要学生自己去体会，但这对学生而言是比较困难的.为此，教科书特别加强了用坐标法分析问题的环节，既展示了过程，又体现了对学生思维的引导.例如，教科书在“3.3.2抛物线的简单几何性质”中专门安排了两个例题（例4、例5），通过这两个例题，一方面让学生体会在用坐标法解决问题时，如何利用圆锥曲线的定义和性质去研究相关图形的性质、解决问题；另一方面通过不同解法的比较，使学生体会坐标法中的运算.所具有的特点：先分析清楚研究对象的几何特征，将几何元素及其关系代数化，在运算过程中还要充分利用相应的几何特性以简化运算
35、.教科书就是想通过这样的示例，使学生逐步建立起这样的观念：用坐标法解决问题，建立在几何直观基础上的运算是有效解题的关键，这里的运算具有“数形结合”的特征，而不仅仅是代数运算.6.体现单元教学设计思想发展学生的数学学科核心素养是标准（2017年版）的根本理念，也是数学教学中立德树人的抓手.那么，一个基于核心素养的教学到底应该包括哪些要素呢？首先，从教学目标看，应当以发展数学学科核心素养为目标导向，使学生在掌握知识与技能的同时，体悟知识所蕴含的数学思想和方法，积累数学地思考和解决问题的经验，发展理性思维.其次，实现上述目标，有赖于高水平的教学活动设计，要根据数学知识的本质和学生的认知规律，设计教学
36、情境（生活情境、数学情境、科学情境等）并提出数学问题，用以激发学生的学习欲望，开展独立思考、自主探究、合作交流等学习活动.最后，高水平的教学设计，有赖于教师“理解数学，理解学生，理解教学，理解技术”的水平.把握教学内容的本质，了解学生的数学思维过程，懂得学生的数学学习心理，是设计高质量数学教学活动的前提.显然，围绕碎片化的知识点，以“知识点讲解+例题+练习”的方式设计教学活动，已经无法承载数学基本思想和基本活动经验教学的要求，对“四能”的提高不利，对核心素养发展更不利.总之，这样的教学是无法实现核心素养教学目标的.为了帮助教师提升“四个理解”的水平，根据标准（2017年版）提出的“教材编写应体
37、现整体性”“要便于教师把握知识本质驾驭课程内容；要便于教师把握知识结构，统筹教学安排；要便于教师教学设计，创设教学情境、提出合适问题、有效组织教学；要为教师自主选择、增补和调整教学内容预留必要空间”等要求，教科书注意引导教师在整体把握圆锥曲线内容的基础上，展开教学活动的整体设计.教科书将本章内容分为三个单元，以每一种圆锥曲线的几何特征、方程、性质和应用为明线，以坐标法和数形结合思想为暗线，以逻辑连贯、环环相扣的“问题串”为脚手架，设计系列化的学习活动，这是一种以单元整体设计思想为指导的设计思路，可以比较好地实现课标提出的要求.具体地，在“椭圆”一节中，如前所述，教科书用前后连贯、循序渐进的十多
38、个问题组成“问题串”，将内容连成一体，引导学生有逻辑地展开学习与探究.这些问题既有针对整体思路的，也有针对具体内容的；既有针对思想方法、研究策略的，也有操作性的、针对特例或细节的.它们是以椭圆知识的内在逻辑为依据而设置的、自然而然的学习主线，解决了这些问题就可以形成思想内涵丰富的“椭圆与方程”知识体系.在“问题串”的引导下，学生可以完整地经历如下过程：通过具体情境（如行星运行轨道），了解椭圆的背景与应用：结合情境、通过动手操作清晰地描述图形的几何特征与问题，即椭圆是到两个定点的距离之和为定长的动点的轨迹；结合几何特征合理地建立坐标系，用代数语言描述这些特征与问题；借助几何图形的特点，形成研究椭
39、圆性质的思路，利用方程，并通过直观想象和代数运算得到结果；给出代数结果的几何解释，解决问题.显然，教师只要按照教科书设计的上述过程进行教学设计并展开教学，就可以引导学生展开结构化的系统学习，建立清晰、稳定和可利用的“椭圆与方程”的认知结构.双曲线、抛物线两节内容与椭圆同构，所以设计思路完全一致.如果椭圆的基础扎实，那么就可以让学生通过类比椭圆的研究过程展开双曲线和抛物线的自主学习，只要在双曲线的渐近线、抛物线的背景和定义等几个点上适当启发指导即可.7.发挥信息技术的作用，为几何直观提供方便解析几何是形数结合的学科，“通过几何建立直观，通过代数予以表达”是其基本理念.在圆锥曲线的研究中，对它们的
40、几何特征的直观认识是第一步，但要画出这三种曲线以及相关的图形并非易事.为此，教科书根据本章内容的特点，较充分地发挥信息技术的作用，注意利用动态几何软件，既为作图提供方便，又向学生展示动点的运动变化规律，引导学生观察方程中参数的变化对方程所表示的曲线形状、大小的影响，并通过信息技术软件探究图形之间的关系.例如，研究椭圆的离心率、双曲线和抛物线的定义、双曲线的渐近线等都利用了信息技术软件的优势，让学生在获得充分的直观认识基础上，再进行代数运算得出结果.六、本章教学建议1.以坐标法为核心和纽带在本章教学中，只有体现好解析几何的学科特点，抓住它的核心，才能真正发挥这一课程内容的作用，达成它的教学目标.
41、圆锥曲线的内容非常丰富，本章只是最基础的、最简单的部分但其中蕴含的思想具有一般意义.因此，教学中应以圆锥曲线与方程为载体，把让学生掌握坐标法这一工具去解决一些几何、代数的问题作为核心和重点.2.重视对研究对象几何特征的分析解析几何是“以代数方法研究几何问题”，但教学中要注意代数运算与几何直观的相互为用因为研究对象是几何图形，所以把握所研究对象的几何特征、明确面临的几何问题，这是首要的步，然后才是用代数方法研究之，所以，教学中一定要注意“先用几何眼光观察，再用坐标法推理、论证和求解”的基本思路，不要忽视“几何要素的分析”这一环.实际上就是要处理好“代数求解”与“几何直观”之间的关系，如果只把注意
42、力集中在代数角度研究，虽然能达到细致入微的境界，但没有直观形象的支撑，最后还是不能很好地把握几何性质.所以，教学中适当地进行“代数关系的几何意义”的训练也是很有必要的.下表给出了中学平面解析几何中的主要对象和问题：3.使学生正确理解解析几何中的运算解析几何的学习对运算能力的要求颇高.对学生而言，代数运算是主要“拦路虎”之一.解題过程中，许多学生都是因为不能顺利完成代数运算而导致失败.在本章教学中为了使学生更好地把握坐标法的基本思想，控制代数运算的难度和技巧是必须的.但必要的运算是不可避免的，这是由解析几何的学科特点决定的.关键是要把握解析几何中运算的特点.解析几何中的运算是建立在几何背景下的代
43、数运算，所以先用几何眼光观察，分析清楚几何图形的要素及其基本关系，再用代数语言表达，而且在运算过程中时刻注意利用图形的几何特征及图形间的关系来简化运算，这是解析几何教学中突破运算难点的关键举措.解析几何教学中，提高运算能力不能仅从代数角度入手，还要努力提高学生的几何图形分析能力，也就是要在落实数形结合思想上下功夫.4.注意用好教科书中的例题、习题教科书中的例题与习题，其选编的原则是帮助学生深入理解圆锥曲线的几何特征，熟练运用坐标法研究圆锥曲线的性质以及它们的位置关系，并能解决有一定综合性的问题，通过解题感悟解析几何中蕴含的数学思想.具体的题目主要是研究圆锥曲线的性质.教学中应注意这些题目的的教
44、学功能，使学生认识到认真解答这些题目的重要性，必要时可以对有关题目进行适当的变式拓展.而对于诸如单动点轨迹问题、双动点轨迹问题、多动点轨迹问题，圆锥曲线中参数的取值范围问题、最值问题、定值问题、对称问题、存在性问题这些题目的解答往往需要一些特定技巧，需要学生投入大量时间和精力，但对理解圆锥曲线的定义与性质却起不了多大作用.教学时要注意精选题目，把主要精力放在通过题目帮助学生理解圆锥曲线的定义和性质上.5.注意循序渐进地提高综合和联系的要求解析几何的学科特点就在于它的综合性，但对学生而言，综合解决问题的能力需要逐步培养.有些问题，虽然其需要的基础知识学生都具备，但由于综合与联系所带来的思想方法要
45、求会极大提高，伴随着的是对学生思维能力的高要求，因而这样的问题也不能过早出现，同时要注意正确理解“综合与联系”的含义，通过知识点的叠加、加大题目的难度并不是日常教学所需要的，综合与联系的目光要聚焦在核心概念上，目的在于促使学生从整体上更好地把握圆锥曲线.例如，在本章的“小结”教学中，可以引导学生针对圆锥曲线的统一、整体认识展开综合研究：我们知道，“运算”是代数的核心概念，“距离”“角度”是几何的核心概念，“斜率”是几何概念代数化的结果，是解析几何的核心概念前面分别研究了椭圆、双曲线、抛物线，获得了许多结论，初步学会了用坐标法研究几何问题.在“个别研究”的基础上，如果把这些曲线的定义放到一起，从
46、这几个关键词出发考察它们的共性，会不会有所发现？椭圆：到两个定点的距离之和为常数的点的轨迹；双曲线：到两个定点的距离之差的绝对值为常数的点的轨迹；抛物线：到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹；统一定义：动点到定点的距离与到定直线的距离之比为常数的点的轨迹.可以发现，它们都是以几何基本元素（点、直线）的相互关系为考察对象，以“距离”为纽带，以“运算”为方法，通过“运算中的不变性”发现规律，给出定义.我们知道，定义揭示了概念的内涵，给出了数学对象的本质属性，是数学对象基本性质的反映.类似地，能否以“角度”换“距离”，通过“运算”发现规律呢？平面几何中有“直径上的圆周角是直角”，稍作改造就能得
47、到如下结论：动点与定点和的连线的斜率之积是,则动点的轨迹是圆.是获得启发,对椭圆方程做适当变换:,这说明,平面直角坐标系中,动点与定点和的连线的斜率之积是,则动点的轨迹是椭圆,其方程是.把定点换为和也有同样结果.实际上,当是椭圆的直径时也有类似结论.类似地,可以得到双曲线的同样结论.解析几何的结论体现了数与形的内在统一性.将已有的几何元素、几何关系代数化,通过代数运算可以发现几何性质.因为代数变形可以有不同途径，通过考察不同途径下代数运算的几何意义,也可以发现几何性质,这对深化理解内容也很有好处.例如,在推导椭圆标准方程时,中间一步是.用“距离”的眼光看待，可以把它变形为,这说明从“个性定义”
48、可以推出“统一定义”.事实上,也可以从“统一定义”推出“个性定义,所以两种定义是等价的.根据圆锥曲线的方程，等是决定圆锥曲线性质的关键量.圆锥曲线的焦点、顶点、轴、准线、弦及其中点、切线、焦距、长（短）轴的长、焦半径、面积、内接图形（特别是内接三角形、内截矩形等）、角（与焦点、中心等相关）等以及它们之间的相互关系，都可以用这些不变量来表示.对此展开一番研究，能极大地提升学生对圆锥曲线的认识水平.以上过程，先是把握圆锥曲线的基本要素、不变量，然后从“相互关系”“相互转化”等角度发现和提出问题、获得性质，然后再通过逻辑推理证明其正确性.在发现曲线性质的过程中运算、距离、角度、斜率、不变量等核心概念提供了基本思路和方法.