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1、2-1第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布概率论与数理统计教程概率论与数理统计教程 （第四版）（第四版）高等教育出版社高等教育出版社 沈恒范沈恒范 著著2-2大纲要求大纲要求1.理解随机变量的概念。理解随机变量的概念。2.理解离散型随机变量的分布律的概念与性质。理解离散型随机变量的分布律的概念与性质。3.理解连续型随机变量概率密度的概念与性质。理解连续型随机变量概率密度的概念与性质。4.理解随机变量分布函数的概念和性质。理解随机变量分布函数的概念和性质。5.会用分布律、概率密度、分布函数计算随机事件的概率。会用分布律、概率密度、分布函数计算随机事件的概率。6.掌握二项分布、泊松分布、
2、均匀分布、指数分布。掌握二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布。7.会求简单随机变量函数的概率分布。会求简单随机变量函数的概率分布。8.了解二维随机变量的概念了解二维随机变量的概念9.掌掌握握二二维维随随机机变变量量的的联联合合分分布布函函数数及及其其性性质质，掌掌握握二二维维离离散散型型随随机机变变量量的的联联合合分分布布律律及及其其性性质质，掌掌握握二二维维连连续续型型随随机机变变量量的的联联合合概概率率密密度度及及其其性性质质、并用他们计算有关事件的概率。并用他们计算有关事件的概率。10.掌掌握握随随机机变变量量独独立立性性的的概概念念，掌掌握握应应用用随随机机变变量量的的独独立立性性进
3、进行行概概率率计计算算的的方法。方法。11.会求两个独立随机变量的简单函数的分布。会求两个独立随机变量的简单函数的分布。2-32.1 随机变量的概念随机变量的概念2.2 离散随机变量离散随机变量2.3 超几何分布超几何分布二项分布二项分布泊松分布泊松分布2.4 连续随机变量连续随机变量 2.5 随机变量的分布函数随机变量的分布函数2.6 连续随机变量的概率密度连续随机变量的概率密度 2.7 均匀分布均匀分布指数分布指数分布2.8 随机变量函数的分布随机变量函数的分布2.9 二维随二维随机机变量的变量的联合分布联合分布2.10 二维二维随机变量随机变量的边缘分布的边缘分布2.11 随机变量的独立
4、性随机变量的独立性2.12 二维二维随机变量函数的分布随机变量函数的分布 学学 习习 内内 容容2-42.1 随机变量的概念随机变量的概念一一.随机变量的概念随机变量的概念二二.随机变量的定义随机变量的定义三三.随机变量的分类随机变量的分类2-5随机变量的概念随机变量的概念随机变量随机变量 在试验的结果中能取得不同数值在试验的结果中能取得不同数值的量，它的数值是随试验的结果而定的量，它的数值是随试验的结果而定的，由于试验的结果是随机的，所以的，由于试验的结果是随机的，所以它的取值具有随机性。它的取值具有随机性。2-6随机变量的定义随机变量的定义备注备注 Xx,Xx,x1Xx2,X x都是都是随
5、机事件随机事件定义定义如果对于试验的样本空间如果对于试验的样本空间 中的每一个样本中的每一个样本点点 ，变量，变量X都有一个确定的实数值与之对都有一个确定的实数值与之对应，则应，则变量变量X是是样本点样本点 的实值函数，记作的实值函数，记作X X().我们称这样的变量我们称这样的变量X为为随机变量随机变量随机变量通常用希腊字母随机变量通常用希腊字母 或英文大或英文大写字母写字母X，Y来来表示表示2-7随机变量（随机变量（实例实例）例例1 随机的掷一颗骰子，随机的掷一颗骰子，表示出现的点数，表示出现的点数，:出现出现1点点 出现出现2点点 出现出现3点点 出现出现4点点 出现出现5点点 出现出现
6、6点点X():1 2 3 4 5 6例例2 某人接连不断地对同一目标进行射击某人接连不断地对同一目标进行射击,直至射中为止，直至射中为止，表示射击次数，表示射击次数，射击射击1次次 射击射击2次次 .射击射击n次次 .X()1 2 .n .例例3 某车站每隔某车站每隔10分钟开出一辆公共汽车分钟开出一辆公共汽车,旅客在任意时间到旅客在任意时间到达车站达车站,表示该旅客的候车时间表示该旅客的候车时间,候车时间候车时间X()0,102-8随机变量的分类随机变量的分类随机变量随机变量离散型随机变量离散型随机变量连续型随机变量连续型随机变量可以取得某一区可以取得某一区间内的任何数值间内的任何数值仅可能
7、取得有限个或仅可能取得有限个或可数无穷多个数值可数无穷多个数值 2-92.2 离散随机变量离散随机变量一一.概率分布概率分布二二.概率函数及其性质概率函数及其性质三三.几何分布几何分布四四.频率分布表频率分布表2-10概率分布概率分布 定义定义随机变量随机变量X一切可能值为一切可能值为x1,x2,.,xn,.,而取得这些值的概率分别为而取得这些值的概率分别为p(x1),p(x2),.,p(xn),.,称为离散型随机变量的称为离散型随机变量的概率分布概率分布或或分布律分布律。可以列出可以列出概率分布表概率分布表如下：如下：X x1 x2 .xn .P(X=xi)p(x1)p(x2).p(xn).
8、2-11概率函数及其性质概率函数及其性质把把函数函数 称为离散随机变量的概率函数。称为离散随机变量的概率函数。p(xk)0,k=1,2,2-12概率分布概率分布(实例实例)离散型随机变量的概率分布分以下几步来求离散型随机变量的概率分布分以下几步来求:(1)确定随机变量的所有可能取值确定随机变量的所有可能取值;(2)利用古典概型计算每个取值点的概率利用古典概型计算每个取值点的概率 (3)列出随机变量的概率分布表列出随机变量的概率分布表2-13举例例例4 从一批有10个合格品与3个次品的产品中，一件一件地抽取产品，设各个产品被抽取到的可能性相同，在下列三种情况下分别求出直到取出合格品为止时所需抽取
9、次数X的分布律。（1）每次取出的产品不放回该批产品中；（2）每次取出产品都立即放回该批产品中，然后再取下一件产品；（3）每次取出一件产品后，总以一件合格品放回该批产品中。2-142.下面给出的数列能否成为某一随机变量的下面给出的数列能否成为某一随机变量的 分布列分布列:0.1,0.2,0.3,0.4.求常数求常数a.1.3.设随机变量设随机变量X的概率分布为的概率分布为X 0 1 2 3P 1/8 3/8 3/8 a求求:(1)a的值的值;(2)P(X1);(3)P(1X3)4.某射手在相同条件下独立地进行某射手在相同条件下独立地进行5次射击次射击,每每次击中目标的概率是次击中目标的概率是0.
10、6,求击中目标次数求击中目标次数X的概的概率分布率分布.课课 堂堂 练练 习习2-15几何分布几何分布例例5 假定一个实验成功的概率为假定一个实验成功的概率为p(0p20，np 5时，近时，近似效果良好似效果良好3.超几何分布、二项分布、泊松分布间的近似超几何分布、二项分布、泊松分布间的近似关系关系2-272.4 连续随机变量连续随机变量一一.概率分布概率分布二二.统计分布统计分布2-28连续型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率分布1.连连续续型型随随机机变变量量可可以以取取某某一一区区间间或或整整个个实数轴上的任意一个值实数轴上的任意一个值2.它取任何一个特定的值的概率都等于它取任何一个
11、特定的值的概率都等于03.不能列出每一个值及其相应的概率不能列出每一个值及其相应的概率4.通常研究它取某一区间值的概率通常研究它取某一区间值的概率5.用用数数学学函函数数的的形形式式和和分分布布函函数数的的形形式式来来描述描述2-29连续型随机变量的连续型随机变量的统计分布统计分布连续型随机变量的连续型随机变量的统计分布统计分布可以用直方可以用直方图表示图表示直方图的作法直方图的作法 在横轴上截取各个区间，以各区间为底在横轴上截取各个区间，以各区间为底作矩形，使矩形的面积等于随机变量落作矩形，使矩形的面积等于随机变量落在该区间内的频率在该区间内的频率直方图中所有矩形的总面积为直方图中所有矩形的
12、总面积为一一2-302.5 随机变量的分布函数随机变量的分布函数一一.分布函数的定义分布函数的定义二二.分布函数的性质分布函数的性质三三.离散型随机变量的分离散型随机变量的分布函数布函数四四.连续型随机变量的分连续型随机变量的分布函数布函数2-31分布函数的定义分布函数的定义定义定义 随机变量随机变量X的取值的取值小于等于实数小于等于实数x的概率，即的概率，即事事件件X x的概率的概率；显然，它是；显然，它是x的函数，记作的函数，记作 这个函数称为随机变量这个函数称为随机变量X的的概率分布函数概率分布函数或或分分布函数。布函数。2-32（2）F(x)是非减函数，即若是非减函数，即若分布函数性质
13、分布函数性质（5）无论是离散型）无论是离散型r.v.还是非离散型还是非离散型r.v.,分布函数都可以描述其统计规律性分布函数都可以描述其统计规律性.2-33离散型随机变量的分布函数离散型随机变量的分布函数（1）（2）分布函数为阶梯函数）分布函数为阶梯函数 例例1 离散型离散型r.v.,已知分布律可求出分布函数已知分布律可求出分布函数.X -1 2 3 pk 1/4 1/2 1/4求求 X的分布函数的分布函数,并求并求P X 1/2,P3/2 X 5/2.2-34PX 1/2 =F(1/2)PX 1/2=PX=-1=1/4,=1/4 或由分布律或由分布律直接得直接得P3/2 X 5/2 =F(5
14、/2)-F(3/2)=1/2.2-35连续型随机变量的分布函数连续型随机变量的分布函数(1)是 上的从0到1的单调(2)递增的连续函数 2-36例例2 向半径为向半径为R的圆形靶射击，击中点的圆形靶射击，击中点M落在以落在以靶心靶心O为中心，为中心，r为半径的圆内的概率与该圆为半径的圆内的概率与该圆的面积成正比，并且不会发生脱靶的情况，设的面积成正比，并且不会发生脱靶的情况，设连续随机变量连续随机变量X表示击中点表示击中点M与靶心与靶心O的距离，的距离，（1）求）求X的分布函数；的分布函数；（2）把靶的半径分成）把靶的半径分成10等分，如果击中点等分，如果击中点M落落 在以靶心在以靶心O为中心
15、，内外半径分别为为中心，内外半径分别为 及及 的圆环域内，则计为的圆环域内，则计为 环，求一环，求一 次射击得到次射击得到 环的概率环的概率2-372.6 连续随机变量的概率密度连续随机变量的概率密度 一一.概率密度的定义概率密度的定义二二.概率密度与分布函概率密度与分布函数的关系数的关系三三.概率密度的性质概率密度的性质2-38概率密度的定义概率密度的定义定义定义 比值比值 叫做随机变量叫做随机变量X在该区间的在该区间的平均概率分布密度平均概率分布密度定义定义 若当若当 时，比值的极限存在，则极限值称为随时，比值的极限存在，则极限值称为随机机变量变量X在点在点x处的处的概率分布密度概率分布密
16、度或或概率密度概率密度，记作，记作2-39概率密度与分布函数的关系概率密度与分布函数的关系f(x)xx0F F(x x0 0 )2-40概率密度的性质概率密度的性质概率是曲线下的面积f(x)xab2-41例例1 设随机变量设随机变量X的概率密度函数为的概率密度函数为试着确定常数试着确定常数K，并求并求 。2-42是某一个随机变量是某一个随机变量X的密度函数。的密度函数。1.证明证明课堂练习课堂练习2.设随机变量设随机变量X且且P(1X3/2)=3/8,求求(1)a,b;(2)P(1/2X0)2-43例例2 设连续型随机变量设连续型随机变量X的分布函数为的分布函数为求求:(1)A;(2)P(0.
17、3X0.7);(3)X的概率密度的概率密度f(x)解解:(1)F(x)在在x=1点连续点连续,由左连续性得由左连续性得:即即:所以所以,A=1(2)P(0.3X0.7)=F(0.7)-F(0.3)=0.72-0.32=0.4(3)f(x)=0 x02x 0 x10 1x即即:2-441.设设X,求求F(x).2.设设X,求求(1)P(-2X3),P(X2)(3)f(x)4.已知连续型随机变量已知连续型随机变量X的分布函数为的分布函数为 F(x)=A+Barctanx,求求:(1)A,B;(2)X的概率密度的概率密度 f(x).课堂练习课堂练习2-455.设设Xf(x)，且且f(-x)=f(x)
18、，F(x)是是X的分布的分布 函数，则对任意函数，则对任意实数实数a，有有()F(-a)=1-F(-a)=F(-a)=F(a)F(-a)=2F(a)-1 6.设设 r.v X的分布函数为的分布函数为则则P|X|/6=（）7.设设X求求(1)A,(2)F(x),(3)P0X/4.8.设设X 求求X的分布函数的分布函数.2-462.7 常用的连续型分布常用的连续型分布一一.均匀分布均匀分布二二.指数分布指数分布2-47均匀分布均匀分布 uniform distribution1.若随机变量若随机变量X的概率密的概率密度函数为度函数为 称称X在区间在区间a,b上上均均匀分布，记作匀分布，记作U(a,
19、b)xf(x)ba 此概率与子区间长度成正比此概率与子区间长度成正比,而与子区间的起点无关而与子区间的起点无关,这也是均匀分布的由来这也是均匀分布的由来.2-48均匀分布函数均匀分布函数分布函数为分布函数为:xF(x)ab1 均匀分布常见于：均匀分布常见于：在刻度器上读数时把零头数化为最在刻度器上读数时把零头数化为最靠近整分度时所发生的误差；在每隔一定时间有一辆靠近整分度时所发生的误差；在每隔一定时间有一辆公共汽车通过的汽车停车站上乘客候车的时间公共汽车通过的汽车停车站上乘客候车的时间2-49例例1 用电子表计时一般准确至用电子表计时一般准确至0.01秒，即如果以秒秒，即如果以秒 为时间的计量
20、单位，则小数点后第二位数字是为时间的计量单位，则小数点后第二位数字是 按按“四舍五入四舍五入”原则得到的，求使用电子表计时原则得到的，求使用电子表计时 产生产生 的随机误差的随机误差X的概率密度；并计算误差的的概率密度；并计算误差的 绝对值不超过绝对值不超过0.002秒的概率。秒的概率。解：按题意，随机误差解：按题意，随机误差X可能取区间可能取区间 上的任一数值，并在此区间上服从均匀分布。上的任一数值，并在此区间上服从均匀分布。所以，所以，X的概率密度为的概率密度为 由此不难计算误差绝对值不超过由此不难计算误差绝对值不超过0.002秒的概秒的概 率率2-50指数分布指数分布 exponenti
21、al distribution如果连续型随机变量如果连续型随机变量X的概率密度为的概率密度为:则称则称X服从参数为服从参数为 的指数分布的指数分布,记为记为Xe().定义定义:分布函数：分布函数：电子元件的寿命；顾客要求某种服务（例如，到银行取电子元件的寿命；顾客要求某种服务（例如，到银行取款，到车站售票处购买车票）需要等待的时间都服从指款，到车站售票处购买车票）需要等待的时间都服从指数分布。数分布。2-512.8 随机变量函数的分布随机变量函数的分布一.一.随机变量函数随机变量函数二二.离散离散r.v.函数的分布函数的分布三三.连续连续r.v.函数的分布函数的分布2-52随机变量函数随机变量
22、函数1.g(x)是定义在随机变量是定义在随机变量X的一切可能取的一切可能取值值x的集合上的函数；的集合上的函数；2.所谓所谓随机变量随机变量X的函数的函数就是这样的随机就是这样的随机变量变量Y，每当变量每当变量X取值取值x时，它取值时，它取值y=g(x)；记作记作 Y=g(X)如何根据已知的随机变量如何根据已知的随机变量X的分布的分布去求它的函数去求它的函数Y=g(X)的分布的分布?2-53离散随机变量函数的分布离散随机变量函数的分布设设X的概率分布如下表的概率分布如下表:X x1 x2 xk PX=xi)p1 p2 pk .(1)记记yi=g(xi)(i=1,2,)yi的值也是互不相同的的值
23、也是互不相同的,则则Y的概率分布如下表的概率分布如下表:Y y1 y2 yk PY=yi)p1 p2 pk .(2)若若g(x1),g(x2),中不是互不相等的中不是互不相等的,则应将那些则应将那些相等的值分别合并相等的值分别合并,并根据概率加法公式把相应的并根据概率加法公式把相应的pi相加相加,就得到了就得到了Y的概率分布律的概率分布律.2-54离散离散随机变量函数（随机变量函数（实例实例）例例1.设设X具有以下的分布律具有以下的分布律,求求Y=(X-1)2分布律分布律:X -1 0 1 2 pk 0.2 0.3 0.1 0.4例例2.设随机变量设随机变量X的概率函数为的概率函数为 求随机变
24、量函数求随机变量函数 的概率分布。的概率分布。2-55连续随机变量函数的分布连续随机变量函数的分布“分布函数法分布函数法”:(1)先求出先求出Y的分布函数的分布函数:FY(y)=PYy=Pg(X)y=PX G,其中其中 G=x:g(x)y,转化为关于转化为关于X的事件的事件,再利用再利用X 的分布函数表示的分布函数表示.(2)对对y求导得到求导得到Y的概率密度的概率密度:2-56例例1 1 设设r.v.Xr.v.X具有概率密度函数具有概率密度函数 求求Y=2X+8Y=2X+8的概率密度函数的概率密度函数。连续随机变量函数（连续随机变量函数（实例实例）例例2 2.设随机变量设随机变量X X在在 上服从均匀分布，上服从均匀分布，即概率密度函数为即概率密度函数为求求 的概率密度。的概率密度。第二章第二章21.21.PPTPPT