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1、第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学10 February 202310 February 2023第第1 1页页2.1 随机变量及其分布2.2 随机变量的数学期望2.3 随机变量的方差与标准差2.4 常用离散分布2.5 常用连续分布2.6 随机变量函数的分布2.7 分布的其他特征数第二章 随机变量及其分布第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学10 February 202310 February 2023第第2 2页页2.1 随机变量及其分布 (1)掷一颗骰子，出现的点数 X1，2，6.(2)n个产品中的不合格品个数 Y
2、0，1，2，n (3)某商场一天内来的顾客数 Z 0，1，2，(4)某种型号电视机的寿命 T:0,+)第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学10 February 202310 February 2023第第3 3页页2.1.1 随机变量的定义定义2.1.1 设 =为某随机现象的样本空间，称定义在上的实值函数X=X()为随机变量.第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学10 February 202310 February 2023第第4 4页页注 意 点(1)(1)随机变量X()是样本点的函数，其定义域为，其值域为R=(，)若
3、 X 表示掷一颗骰子出现的点数，则 X=1.5 是不可能事件.(2)若 X 为随机变量，则 X=k、a X b、均为随机事件.即 a X b=；a X()b 第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学10 February 202310 February 2023第第5 5页页注 意 点(2)(3)注意以下一些表达式：X=k=X kX k；a b=X b.(4)同一样本空间可以定义不同的随机变量.第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学10 February 202310 February 2023第第6 6页页若随机变量 X 可能
4、取值的个数为有限个或 可列个，则称 X 为离散随机变量.若随机变量 X 的可能取值充满某个区间 a,b，则称 X 为连续随机变量.前例中的 X,Y,Z 为离散随机变量；而 T 为连续随机变量.两类随机变量第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学10 February 202310 February 2023第第7 7页页定义2.1.2 设X为一个随机变量，对任意实数 x，称 F(x)=P(X x)为 X 的分布函数.基本性质：(1)F(x)单调不降；(2)有界：0F(x)1，F()=0，F(+)=1；(3)右连续.2.1.2 随机变量的分布函数第二章第二章 随机
5、变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学10 February 202310 February 2023第第8 8页页2.1.3 离散随机变量的分布列设离散随机变量 X 的可能取值为：x1，x2，xn，称 pi=P(X=xi)，i=1,2,为 X 的分布列.分布列也可用表格形式表示：X x1 x2 xn P p1 p2 pn 第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学10 February 202310 February 2023第第9 9页页分布列的基本性质 (1)pi 0，(2)(正则性)(非负性)第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布
6、华东师范大学华东师范大学10 February 202310 February 2023第第1010页页注 意 点(1)求离散随机变量的分布列应注意：(1)确定随机变量的所有可能取值;(2)计算每个取值点的概率.第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学10 February 202310 February 2023第第1111页页注 意 点(2)对离散随机变量的分布函数应注意：(1)F(x)是递增的阶梯函数;(2)其间断点均为右连续的;(3)其间断点即为X的可能取值点;(4)其间断点的跳跃高度是对应的概率值.第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师
7、范大学华东师范大学10 February 202310 February 2023第第1212页页例2.1.1已知 X 的分布列如下：X 0 1 2P 1/3 1/6 1/2求 X 的分布函数.解：第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学10 February 202310 February 2023第第1313页页X 0 1 2P 0.4 0.4 0.2解：例2.1.2已知 X 的分布函数如下,求 X 的分布列.第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学10 February 202310 February 2023第第1414页
8、页2.1.4 连续随机变量的密度函数连续随机变量X的可能取值充满某个区间(a,b).因为对连续随机变量X，有P(X=x)=0，所以无法仿离散随机变量用 P(X=x)来描述连续随机变量X的分布.注意离散随机变量与连续随机变量的差别.第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学10 February 202310 February 2023第第1515页页定义2.1.4设随机变量X 的分布函数为F(x),则称 X 为连续随机变量，若存在非负可积函数 p(x)，满足：称 p(x)为概率密度函数，简称密度函数.第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东
9、师范大学10 February 202310 February 2023第第1616页页密度函数的基本性质满足(1)(2)的函数都可以看成某个连续随机变量的概率密度函数.(非负性)(正则性)第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学10 February 202310 February 2023第第1717页页注意点(1)(1)(2)F(x)是(,+)上的连续函数;(3)P(X=x)=F(x)F(x0)=0;第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学10 February 202310 February 2023第第1818页页(4)
10、PaXb=PaXb =PaXb =PaXb =F(b)F(a).注意点(2)(5)当F(x)在x点可导时,p(x)=当F(x)在x点不可导时,可令p(x)=0.第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学10 February 202310 February 2023第第1919页页连续型1.密度函数 X p(x)(不唯一)2.4.P(X=a)=0离散型1.分布列:pn=P(X=xn)(唯一)2.F(x)=3.F(a+0)=F(a);P(a a 和 B=Y a 独立，解:因为 P(A)=P(B),P(AB)=P(A)+P(B)P(A)P(B)从中解得且 P(AB)=
11、3/4,求常数 a.且由A、B 独立，得=2P(A)P(A)2=3/4从中解得:P(A)=1/2,由此得 0a a)例2.1.5第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学10 February 202310 February 2023第第2323页页 设 X p(x)，且 p(x)=p(x)，F(x)是 X 的分布函数，则对任意实数 a0，有()F(a)=1 F(a)=F(a)=F(a)F(a)=2F(a)1课堂练习第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学10 February 202310 February 2023第第2424页
12、页2.2 随机变量的数学期望分赌本问题(17世纪)甲乙两赌徒赌技相同，各出赌注50元.无平局，谁先赢3局，则获全部赌注.当甲赢2局、乙赢1局时，中止了赌博.问如何分赌本?第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学10 February 202310 February 2023第第2525页页两种分法 1.按已赌局数分：则甲分总赌本的2/3、乙分总赌本的1/3 2.按已赌局数和再赌下去的“期望”分：因为再赌两局必分胜负，共四种情况：甲甲、甲乙、乙甲、乙乙所以甲分总赌本的3/4、乙分总赌本的1/4 第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大
13、学10 February 202310 February 2023第第2626页页2.2.1 数学期望的概念 若按已赌局数和再赌下去的“期望”分，则甲的所得 X 是一个可能取值为0 或100 的随机变量，其分布列为：X 0 100P 1/4 3/4甲的“期望”所得是：01/4+100 3/4=75.第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学10 February 202310 February 2023第第2727页页2.2.2 数学期望的定义定义2.2.1 设离散随机变量X的分布列为P(X=xn)=pn,n=1,2,.若级数绝对收敛，则称该级数为X 的数学期望，
14、记为第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学10 February 202310 February 2023第第2828页页连续随机变量的数学期望定义2.2.2 设连续随机变量X的密度函数为p(x),若积分绝对收敛，则称该积分为X 的数学期望，记为第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学10 February 202310 February 2023第第2929页页例2.2.1则E(X)=10.2+00.1+10.4+20.3=0.8.X 1 0 1 2P 0.2 0.1 0.4 0.3第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分
15、布 华东师范大学华东师范大学10 February 202310 February 2023第第3030页页数学期望简称为期望.数学期望又称为均值.数学期望是一种加权平均.注 意 点第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学10 February 202310 February 2023第第3131页页2.2.3 数学期望的性质定理2.2.1 设 Y=g(X)是随机变量X的函数，若 E(g(X)存在，则第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学10 February 202310 February 2023第第3232页页例2.2.2
16、 设随机变量 X 的概率分布为求 E(X2+2).=(02+2)1/2+(12+2)1/4+(22+2)1/4=1+3/4+6/4=13/4解:E(X2+2)X 0 1 2P 1/2 1/4 1/4第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学10 February 202310 February 2023第第3333页页数学期望的性质(1)E(c)=c(2)E(aX)=aE(X)(3)E(g1(X)+g2(X)=E(g1(X)+E(g2(X)第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学10 February 202310 February
17、 2023第第3434页页例2.2.3设 X 求下列 X 的函数的数学期望.(1)2X1,(2)(X 2)2解:(1)E(2X 1)=1/3,(2)E(X 2)2=11/6.第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学10 February 202310 February 2023第第3535页页2.3 随机变量的方差与标准差数学期望反映了X 取值的中心.方差反映了X 取值的离散程度.第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学10 February 202310 February 2023第第3636页页2.3.1 方差与标准差的定义定
18、义2.3.1 若 E(XE(X)2 存在，则称 E(XE(X)2 为 X 的方差，记为Var(X)=D(X)=E(XE(X)2 第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学10 February 202310 February 2023第第3737页页(2)称注 意 点X=(X)=(1)方差反映了随机变量相对其均值的偏离程度.方差越大,则随机变量的取值越分散.为X 的标准差.标准差的量纲与随机变量的量纲相同.第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学10 February 202310 February 2023第第3838页页2.3.
19、2 方差的性质(1)Var(c)=0.性质 2.3.2(2)Var(aX+b)=a2 Var(X).性质 2.3.3(3)Var(X)=E(X2)E(X)2.性质 2.3.1第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学10 February 202310 February 2023第第3939页页例2.3.1 设 X,求 E(X),Var(X).解:(1)E(X)=1(2)E(X2)=7/6所以,Var(X)=E(X2)E(X)2=7/6 1=1/6第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学10 February 202310 Febr
20、uary 2023第第4040页页课堂练习 设则方差 Var(X)=()。问题：Var(X)=1/6,为什么？第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学10 February 202310 February 2023第第4141页页随机变量的标准化 设 Var(X)0,令则有 E(Y)=0,Var(Y)=1.称 Y 为 X 的标准化.第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学10 February 202310 February 2023第第4242页页2.3.3 切比雪夫不等式 设随机变量X的方差存在(这时均值也存在),则 对任意正
21、数，有下面不等式成立第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学10 February 202310 February 2023第第4343页页 例2.3.2设 X证明证明:E(X)=n+1E(X2)=(n+1)(n+2)所以,Var(X)=E(X2)(EX)2=n+1,(这里,=n+1)由此得第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学10 February 202310 February 2023第第4444页页定理 2.3.2 Var(X)=0P(X=a)=1第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学1
22、0 February 202310 February 2023第第4545页页2.4 常用离散分布 2.4.1 二项分布 记为 X b(n,p).X为n重伯努里试验中“成功”的次数,当n=1时，称 b(1,p)为 0-1分布.第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学10 February 202310 February 2023第第4646页页 试验次数为 n=4,“成功”即取得合格品的概率为 p=0.8,所以,X b(4,0.8)思考：若 Y 为不合格品件数，Y？Y b(4,0.2)一批产品的合格率为0.8,有放回地抽取4次,每次一件,则取得合格品件数 X 服
23、从二项分布.第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学10 February 202310 February 2023第第4747页页 例2.4.1 设X b(2,p)，Y b(4,p)，已知 P(X1)=8/9，求 P(Y1).解:由 P(X1)=8/9，知 P(X=0)=1/9.由此得：P(Y1)=1 P(Y=0)所以 1/9=P(X=0)=(1p)2，从而解得:p=2/3.=1-(1p)4=80/81.第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学10 February 202310 February 2023第第4848页页若随机
24、变量 X 的概率分布为则称 X 服从参数为 的泊松分布,记为 X P().2.4.2 泊松分布第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学10 February 202310 February 2023第第4949页页泊松定理定理2.4.1(二项分布的泊松近似)在n重伯努里试验中，记 pn 为一次试验中成功的概率.若 npn，则第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学10 February 202310 February 2023第第5050页页记为 X h(n,N,M).超几何分布对应于不返回抽样模型：N 个产品中有 M 个不合格品
25、，从中抽取n个，不合格品的个数为X.2.4.3 超几何分布第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学10 February 202310 February 2023第第5151页页记为 X Ge(p)X 为独立重复的伯努里试验中，“首次成功”时的试验次数.几何分布具有无记忆性，即：P(X m+n|X m)=P(X n)2.4.4 几何分布第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学10 February 202310 February 2023第第5252页页负二项分布(巴斯卡分布)记为X Nb(r,p).X 为独立重复的伯努里试验中，
26、“第 r 次成功”时的试验次数.第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学10 February 202310 February 2023第第5353页页注 意 点(1)二项随机变量是独立 0-1 随机变量之和.(2)负二项随机变量是独立几何随机变量之和.第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学10 February 202310 February 2023第第5454页页常用离散分布的数学期望 几何分布Ge(p)的数学期望 =1/p 0-1 分布的数学期望 =p 二项分布 b(n,p)的数学期望 =np 泊松分布 P()的数学期望
27、 =第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学10 February 202310 February 2023第第5555页页常用离散分布的方差 0-1 分布的方差 =p(1p)二项分布 b(n,p)的方差=np(1p)泊松分布 P()的方差=几何分布Ge(p)的方差=(1p)/p2第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学10 February 202310 February 2023第第5656页页2.5 常用连续分布正态分布、均匀分布、指数分布、伽玛分布、贝塔分布。第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东
28、师范大学10 February 202310 February 2023第第5757页页记为X N(,2),其中 0，是任意实数.是位置参数.是尺度参数.2.5.1 正态分布第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学10 February 202310 February 2023第第5858页页yxO第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学10 February 202310 February 2023第第5959页页正态分布的性质(1)p(x)关于 是对称的.p(x)x0在 点 p(x)取得最大值.(2)若 固定,改变,(3)若
29、固定,改变,小大p(x)左右移动,形状保持不变.越大曲线越平坦;越小曲线越陡峭.第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学10 February 202310 February 2023第第6060页页p(x)x0 xx标准正态分布N(0,1)密度函数记为(x),分布函数记为(x).第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学10 February 202310 February 2023第第6161页页(x)的计算(1)x 0 时,查标准正态分布函数表.(2)x a)=1(a);(3)P(aXb)=(b)(a);(4)若a 0,则 P
30、(|X|a)=P(aX1.96),P(|X|1.96)P(|X|1/2,所以 b 0,反查表得:(1.66)=0.9515,故 b=1.66而(a)=0.0495 1/2,所以 a 0,(a)=0.9505,反查表得:(1.65)=0.9505,故 a=1.65例2.5.2第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学10 February 202310 February 2023第第6464页页一般正态分布的标准化定理2.5.1 设 X N(,2),则 Y N(0,1).推论:若 X N(,2),则第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范
31、大学10 February 202310 February 2023第第6565页页若 X N(,2),则 P(Xa)=第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学10 February 202310 February 2023第第6666页页 设 X N(10,4),求 P(10X13),P(|X10|2).解:P(10X13)=(1.5)(0)=0.9332 0.5P(|X10|2)=P(8Xk=PXk,则 k=().3课堂练习(1)第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学10 February 202310 February 2
32、023第第6969页页 设 X N(,42),Y N(,52),记 p1=PX 4，p2=PY+5,则()对任意的 ，都有 p1=p2 对任意的 ，都有 p1 p2课堂练习(2)第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学10 February 202310 February 2023第第7070页页 设 X N(,2),则随 的增大，概率 P|X|()单调增大 单调减少 保持不变 增减不定课堂练习(3)第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学10 February 202310 February 2023第第7171页页正态分布的
33、3 原则设 X N(,2),则 P(|X|)=0.6828.P(|X|2)=0.9545.P(|X|3,则 P(A)=P(X 3)=2/3设 Y 表示三次独立观测中 A 出现的次数,则 Y b(3,2/3)，所求概率为 P(Y2)=P(Y=2)+P(Y=3)=20/27例2.5.5第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学10 February 202310 February 2023第第7474页页2.5.3 指数分布记为 X Exp(),其中 0.特别：指数分布具有无忆性，即：P(X s+t|X s)=P(X t)第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布
34、 华东师范大学华东师范大学10 February 202310 February 2023第第7575页页2.5.4 伽玛分布记为 X Ga(,),其中 0，0.为伽玛函数.称第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学10 February 202310 February 2023第第7676页页注意点(1)(1)=1,(1/2)=(n+1)=n!(2)Ga(1,)=Exp()Ga(n/2,1/2)=2(n)第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学10 February 202310 February 2023第第7777页页2.5
35、.5 贝塔分布记为 X Be(a,b),其中a 0，b 0.称为贝塔函数.第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学10 February 202310 February 2023第第7878页页注意点(1)(2)B(a,b)=B(b,a)B(a,b)=(a)(b)/(a+b)(3)Be(1,1)=U(0,1)第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学10 February 202310 February 2023第第7979页页常用连续分布的数学期望 均匀分布 U(a,b):E(X)=(a+b)/2 指数分布 Exp():E(X)=
36、1/正态分布 N(,2):E(X)=伽玛分布 Ga(,):E(X)=/贝塔分布 Be(a,b):E(X)=a/(a+b)第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学10 February 202310 February 2023第第8080页页常用连续分布的方差 均匀分布 U(a,b)的方差=(b a)2/12 指数分布 Exp()的方差=1/2 正态分布 N(,2)的方差=2第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学10 February 202310 February 2023第第8181页页例2.5.6 已知随机变量 X 服从二项
37、分布，且 E(X)=2.4,Var(X)=1.44,则参数 n,p 的值为多少？例2.5.7 设 X 表示 10 次独立重复射击命中目标 的次数,每 次射中目标的概率为0.4,则 E(X2)的值为多少？解：从 2.4=np,1.44=np(1p)中解得解：因为 E(X)=np=4,Var(X)=2.4,所以n=6,p=0.4.E(X2)=Var(X)+(E(X)2=2.4+16=18.4第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学10 February 202310 February 2023第第8282页页 设 E(X)=，Var(X)=2，则对任意常 数 C，必
38、有（）.课堂练习第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学10 February 202310 February 2023第第8383页页2.6 随机变量函数的分布问题：已知 X 的分布，求 Y=g(X)的分布。例如：Y1=4X+3；Y2=|X|；Y3=X2.第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学10 February 202310 February 2023第第8484页页 当 X 为离散随机变量时，Y=g(X)为离散随机变量.将g(xi)一一列出,再将相等的值合并即可.2.6.1 离散随机变量函数的分布第二章第二章 随机变量及
39、其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学10 February 202310 February 2023第第8585页页2.6.2 连续随机变量函数的分布定理2.6.1 设 X pX(x)，y=g(x)是 x 的严格 单调函数，记 x=h(y)为 y=g(x)的反函数,且h(y)连续可导，则Y=g(X)的密度函数为:第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学10 February 202310 February 2023第第8686页页例2.6.1 设 X 求 Y=eX 的分布.y=ex 单调可导,反函数 x=h(y)=lny,所以当 y 0 时,由此得解
40、：第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学10 February 202310 February 2023第第8787页页正态变量的线性不变性定理2.6.2 设 X N(,2)，则当a 0 时，Y=aX+b N(a+b,a22).由此得：若 X N(,2)，则 Y=(X)/N(0,1).第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学10 February 202310 February 2023第第8888页页对数正态分布定理2.6.3 设 X N(,2)，则 Y=e X 的服从第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大
41、学华东师范大学10 February 202310 February 2023第第8989页页伽玛分布的有用结论定理2.6.4 设 X Ga(,)，则当k 0 时，Y=kX Ga(,/k).第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学10 February 202310 February 2023第第9090页页均匀分布的有用结论 定理2.6.5 设 X FX(x)，若FX(x)为严格单调增的连 续函数，则Y=FX(X)U(0,1).第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学10 February 202310 February 202
42、3第第9191页页2.7 分布的其它特征数矩、变异系数、分位数、中位数第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学10 February 202310 February 2023第第9292页页2.7.1 k 阶原点矩和中心矩 k 阶原点矩：k=E(Xk)，k=1,2,.注意:1=E(X).k 阶中心矩：k=EXE(X)k，k=1,2,.注意:2=Var(X).定义2.7.1第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学10 February 202310 February 2023第第9393页页2.7.2 变异系数定义2.7.2 为 X
43、 的变异系数.作用：称CV 是无量纲的量,用于比较量纲不同的两个随机变量的波动大小.第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学10 February 202310 February 2023第第9494页页2.7.3 分位数P(X xp)=F(xp)=p定义2.7.3 设 0 p 1，若 xp 满足则称 xp 为此分布 p-分位数，亦称 xp 为下侧 p-分位数.第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学10 February 202310 February 2023第第9595页页注 意 点(1)因为 X 小于等于 xp 的可能性为
44、 p，所以 X 大于 xp 的可能性为 1 p.(2)对离散分布不一定存在 p-分位数.(3)第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学10 February 202310 February 2023第第9696页页上侧 p-分位数若记 xp 为上侧 p-分位数，即则P(X xp)=p 第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学10 February 202310 February 2023第第9797页页2.7.4 中位数定义2.7.4 称 p=0.5 时的p 分位数 x0.5 为中位数.第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学10 February 202310 February 2023第第9898页页中位数与均值 相同点：都是反映随机变量的位置特征.不同点：含义不同.第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学10 February 202310 February 2023第第9999页页统计中常用的 p-分位数(1)N(0,1)：Z,U(2)2(n)：(3)t(n)：(4)F(n,m)：