《概率论与数理统计 第二章1.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论与数理统计 第二章1.ppt（28页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学概率论与数理统计 在第一章我们研究了随机事件及其概率问题，在那里计算事件的概率往往是通过事件间的运算进行的，这对于一些简单的问题是很奏效的。但是对于一些较为复杂的问题只有事件运算是不够的。为了便于应用数学理论研究随机现象，需要将随机事件数量化，这就是本章所要研究的主要内容随机变量，有了随机变量，我们就可以通过随机变量的运算来计算一些随机事件的概率。第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布理学院University of Sh
2、anghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学概率论与数理统计1 随机变量及其分布函数随机变量及其分布函数理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学概率论与数理统计在随机现象中有许多试验的结果本身就是数量，如电子在随机现象中有许多试验的结果本身就是数量，如电子元件的使用寿命、掷骰子出现的点数等等。但是也有一元件的使用寿命、掷骰子出现的点数等等。但是也有一些随机试验的结果不是数量，如抛掷硬币观
3、察其反正面、些随机试验的结果不是数量，如抛掷硬币观察其反正面、做某各实验是否成功等。然而只要稍加留心，就会发现做某各实验是否成功等。然而只要稍加留心，就会发现对于那些结果不是数量的试验，我们是可以将试验结果对于那些结果不是数量的试验，我们是可以将试验结果与数量对应起来，用数量表示。如抛掷硬币观察其反正与数量对应起来，用数量表示。如抛掷硬币观察其反正面，我们可以规定出现正面用面，我们可以规定出现正面用1表示、出现反面用表示、出现反面用0表示表示（当然也可以反过来用（当然也可以反过来用0表示正面用表示正面用1表示反面）。这样表示反面）。这样一来的好处在于，我们可以定义一个变量，将随机试验一来的好处
4、在于，我们可以定义一个变量，将随机试验的每一个结果与变量的某个数值对应起来。用于表示随的每一个结果与变量的某个数值对应起来。用于表示随机试验的结果变量我们称为随机变量。机试验的结果变量我们称为随机变量。理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学概率论与数理统计定义定义 设设=是随机试验是随机试验E的样本空间，的样本空间，X()是定义在是定义在 的函数，的函数，并且对于任意实数并且对于任意实数x(，)，事件，事件|X()x都有确定都有确定的概率，则称的概率，则称X()为随机
5、试验为随机试验E上的一个上的一个随机变量随机变量(random variable)一般地，随机变量用大写的英文字母一般地，随机变量用大写的英文字母X，Y，Z表示，其取值用表示，其取值用小写字母小写字母x,y,z表示。表示。值得注意的，随机变量的定义域是样本空间，自变量是样本点，值得注意的，随机变量的定义域是样本空间，自变量是样本点，其取值是实数。其取值是实数。有了随机变量，我们就可以用它来表示随机事件了，并将事有了随机变量，我们就可以用它来表示随机事件了，并将事件件|X()x简记为简记为X()x，或，或X x等。同理，用等。同理，用X=x表表示使随机变量示使随机变量X取值为取值为x的事件，的事
6、件，PX=x表示该事件的概率表示该事件的概率 理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学概率论与数理统计用随机变量来计算事件的概率，则有用随机变量来计算事件的概率，则有PX=0=1/8,PX=1=3/8,PX=2=3/8,PX=3=1/8,例例2.1.3 将一枚硬币抛掷三次，观察正面将一枚硬币抛掷三次，观察正面H，反面，反面T出现的情况，则出现的情况，则样本空间样本空间=HHH，HHT，HTH，THH，HTT，THT，TTH，TTT，现设出现正面的次数为，现设出现正面的次
7、数为X，则，则X是随机变量，并且是随机变量，并且X与样与样本点的对应关系为：本点的对应关系为：样样本点本点HHHHHTHTHTHHHTTTHTTTHTTTX32221110那么随机事件与随机变量那么随机事件与随机变量X的对应关系为：的对应关系为：事件事件TTTHTT THTTTHHHTHTHTHHHHHX0123理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学概率论与数理统计例例2.1.4 掷一枚骰子，观察出现的点数，试用随机变量表示事件掷一枚骰子，观察出现的点数，试用随机变量
8、表示事件(1)A：“出现的点数为奇数出现的点数为奇数”;(2)B：“出现的点数不超过出现的点数不超过4”;(3)A B；(4)A B.解解 设设X表示随机掷一枚骰子出现的点数那么，表示随机掷一枚骰子出现的点数那么，X是随机变量是随机变量(1)事件事件A:“出现奇数点出现奇数点”可表示为可表示为A=X|X=1,3,5=1,3,5；(2)事件事件B:出现的点数不超过出现的点数不超过4可表示为可表示为B=X 4；(3)A B=X|X=1,2,3,4,51,2,3,4,5，即或掷出，即或掷出“1，3，5”A发生，或掷出发生，或掷出“1，2，3，4”B发生；发生；(4)A B表示表示A发生发生掷出掷出“
9、1，3，5”中的一个，并且中的一个，并且B发生发生掷出掷出“1，2，3，4”中的一个，于是中的一个，于是A B=X|X=1,3=1,3.理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学概率论与数理统计定义定义 设设X是随机变量，对于任意实数是随机变量，对于任意实数x(，)，称函数，称函数F(x)=PX x 为为X的的分布函数分布函数 分布函数有下列性质：分布函数有下列性质：1、F(x)单调不减，即任意单调不减，即任意x1x2，则，则F(x1)F(x2)；2、F(x)非负，且不超
10、过非负，且不超过1，即，即0 F(x)1；3、4、F(x)右连续，即右连续，即F(x+0)=F(x).任何随机变量的分布函数都具有以上几条性质，反之，满足以上几任何随机变量的分布函数都具有以上几条性质，反之，满足以上几条性质的函数条性质的函数F(x)一定是某个随机变量一定是某个随机变量X的分布函数因此，这的分布函数因此，这四条性质常被用于检验一个函数是否为某个随机变量的分布函数四条性质常被用于检验一个函数是否为某个随机变量的分布函数理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大
11、学概率论与数理统计O1231/8在例在例2.1.3中，当中，当x0时，时，X x为不可能事件，故为不可能事件，故F(x)=PX x=0；当当0 x1时，时，X x=X=0=TTT，于是，于是F(x)=PX x=1/8，同，同理可得其他情况，于是理可得其他情况，于是X的分布函数为：的分布函数为：理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学概率论与数理统计当已知随机变量当已知随机变量X的分布函数的分布函数F(x)时，可利用以下几个公时，可利用以下几个公式计算概率：式计算概率：(
12、1)P aa=1 P X a=1 F(a);(3)P X=a=F(a)F(a 0).理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学概率论与数理统计离散型离散型非离散型非离散型随机变量的分类随机变量的分类 其中一种重要的类型为 连续性连续性 r.v.引入引入 r.v.重要意义重要意义 任何随机现象可任何随机现象可 用用 r.v.描述描述 借助微积分方法借助微积分方法 将讨论进行到底将讨论进行到底理学院University of Shanghai for Science and
13、TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学概率论与数理统计2 离散型随机变量及其分布律离散型随机变量及其分布律理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学概率论与数理统计定义定义若随机变量若随机变量 X 的可能取值是的可能取值是有限个有限个或或可列个可列个,则称则称 X 为为离散型随机变量离散型随机变量为了研究离散型随机变量的统计规律性，给出分布律的概念为了研究离散型随机变量的统计规律性，给出分布律的概念 定义定义 设设X=X()是一
14、个离散型随机变量，是一个离散型随机变量，X的所有可能取值为的所有可能取值为x1，x2，xn，称，称X取值为取值为xi时的概率时的概率为为X的的分布律分布律。分布律也可以用表格形式表示：分布律也可以用表格形式表示：X P 理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学概率论与数理统计例例 现有现有10件产品，其中有件产品，其中有7件合格，件合格，3件不合格，做有放回抽样检件不合格，做有放回抽样检测，直到检测到不合格产品为止，设随机变量测，直到检测到不合格产品为止，设随机变量X表
15、示检测次数，表示检测次数，则则X的分布律为的分布律为离散型随机变量的分布律的性质：离散型随机变量的分布律的性质：1、非负性：、非负性：0 pi 1，i=1，2，n，；2、规范性：、规范性：理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学概率论与数理统计例例 设随机变量设随机变量X的分布律为的分布律为X0123P1/6r1/32r(1)求常数求常数r；(2)写出写出X的分布函数。的分布函数。解解 (1)由分布律的性质知：由分布律的性质知：解之得解之得 理学院University
16、of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学概率论与数理统计(2)X的分布函数的分布函数O1231/61/32/31理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学概率论与数理统计解解例例1 1 设汽车在开往甲地途中需经过设汽车在开往甲地途中需经过 4 盏信号灯盏信号灯,每盏每盏信号灯独立地以概率信号灯独立地以概率 p 允许汽车通过允许汽车通过.出发地出发地甲地甲地令令 X 表示首次停
17、下时已通过的信号灯盏数表示首次停下时已通过的信号灯盏数,求求 X 的概的概率分布与率分布与 p=0.4 时的分布函数时的分布函数.理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学概率论与数理统计代入，有k01234pk0.60.240.0960.03840.0256理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学概率论与数理统计01234xx 理学院Univer
18、sity of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学概率论与数理统计例例 同时掷两枚骰子，设随机变量同时掷两枚骰子，设随机变量X表示两枚骰子出现表示两枚骰子出现的点数之和，写出的点数之和，写出X的分布律。的分布律。X23456789101112P1/361/181/121/95/361/65/361/91/121/181/38理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学概率论与数
19、理统计二、几种常见的离散型随机变量及其分布律二、几种常见的离散型随机变量及其分布律(1)(0 1)分布分布凡试验只有两个结果凡试验只有两个结果,常用常用(0 1)分布描述分布描述,如如产品是否合格、人口性别统计、系统是否正常、产品是否合格、人口性别统计、系统是否正常、电力消耗电力消耗应用应用场合场合或或若随机变量若随机变量X的可能取值只有的可能取值只有0和和1，它的分布律为，它的分布律为:PX=1=p，PX=0=1 p，即，即X01P1 pp则称则称X服从参数为服从参数为p的的(01)分布分布，或，或两点分布两点分布。理学院University of Shanghai for Science
20、and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学概率论与数理统计例例 从装有从装有6只红球和只红球和4只白球的盒子里，随机取出一球，设随机变只白球的盒子里，随机取出一球，设随机变量量X表示取得红球数，写出表示取得红球数，写出X的分布律的分布律 解解 该问题中该问题中X服从服从(01)分布，并且分布，并且p0.6，则，则X的分布律为：的分布律为：X01P0.40.6理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学概率论与数理统计(2)二项
21、分布二项分布设事件设事件A 在在1次试验中发生的概率为次试验中发生的概率为P(A)=p,n 重重Bernoulli 试验试验中中,设设X 表示事件表示事件A 在在 n 次试验中发生的次数次试验中发生的次数,则则定义：若随机变量定义：若随机变量X的分布律如上式所示，的分布律如上式所示，则称则称 X 服从参数为服从参数为n,p 的的二项分布二项分布，记作，记作例例 文具厂生产铅笔，每文具厂生产铅笔，每10支一包包装出售，已知厂铅笔的合格率支一包包装出售，已知厂铅笔的合格率为为95%，用随机变量，用随机变量X表示一包中不合格铅笔的支数。表示一包中不合格铅笔的支数。(1)写出写出X的分布律；的分布律；
22、(2)厂商承诺，若一包铅笔中有有厂商承诺，若一包铅笔中有有2支及以上的铅笔不合格，则支及以上的铅笔不合格，则整包退货，试计算出售铅笔的退货率。整包退货，试计算出售铅笔的退货率。理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学概率论与数理统计解解 由题意知由题意知X B(10，0.05).(1)X的分布律为：的分布律为：pkPnX=k=Cnkpk(1 p)n kC10k0.05k0.9510 k；(2)用用A表示表示“某包产品被退货某包产品被退货”，则，则即售出产品的退货率为即售
23、出产品的退货率为9%.这是一个不小的概率，若厂方提高质量，将铅笔的合格率提高这是一个不小的概率，若厂方提高质量，将铅笔的合格率提高到到99%，则退货率迅速降为，则退货率迅速降为0.4266%.特别的，当特别的，当n1时，二项分布即为时，二项分布即为(01)分布。分布。理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学概率论与数理统计3、泊松分布、泊松分布如果离散型随机变量如果离散型随机变量X的分布律为的分布律为 其中其中 k=0，1，2，则称则称X服从参数为服从参数为 的的泊松分
24、布泊松分布，记作，记作X P()。事实上，有许多随机变量服从泊松分布，如在一段时间内电话事实上，有许多随机变量服从泊松分布，如在一段时间内电话交换机接到的转接次数，某地区一个时期内所发生的交通事故交换机接到的转接次数，某地区一个时期内所发生的交通事故数，一本书的一页中的印刷错误数等，均被认为服从泊松分布。数，一本书的一页中的印刷错误数等，均被认为服从泊松分布。对于服从二项分布的随机变量对于服从二项分布的随机变量X B(n，p)，当，当n很大时计算很大时计算pkPnX=k=Cnkpk(1 p)n k较为繁琐，人们发现并证明，当较为繁琐，人们发现并证明，当n很大，很大，p很小，而很小，而 np适中
25、时，有近似公式：适中时，有近似公式：因此，当因此，当n很大，很大，p很小，而很小，而 np适中时，也可利用近似计算某事件发生适中时，也可利用近似计算某事件发生k次次的概率。的概率。理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学概率论与数理统计例例 为保证设备正常工作，需要配备一些维修工人，如果为保证设备正常工作，需要配备一些维修工人，如果每台设备发生故障是相互独立的，且每台设备发生故障每台设备发生故障是相互独立的，且每台设备发生故障的概率都是的概率都是1%，试在以下各种情况下
26、求设备发生故障，试在以下各种情况下求设备发生故障而不能及时修理的概率而不能及时修理的概率(1)每位维修工人负责每位维修工人负责20台设备；台设备；(2)3名维修工同时负责名维修工同时负责90台设备；台设备；(3)12名维修工同时负责名维修工同时负责400台设备台设备 解：解：(1)设设20台设备同时发生故障的台数为台设备同时发生故障的台数为 X1，则则X1 B(20,0.01),于是所求概率为于是所求概率为理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学概率论与数理统计(2)设
27、设90台设备同时发生故障的台数为台设备同时发生故障的台数为 X2，则，则 X2B(90,0.01),而且只有当而且只有当3台以上的机器同时发生故障时，台以上的机器同时发生故障时，才会不能及时修理，于是所求概率为才会不能及时修理，于是所求概率为(3)设设400台设备同时发生故障的台数为台设备同时发生故障的台数为 X2，则，则 X2B(400,0.01),而且只有当而且只有当12台以上的机器同时发生故障时，台以上的机器同时发生故障时，才会不能及时修理，于是所求概率为才会不能及时修理，于是所求概率为理学院University of Shanghai for Science and Technolog
28、yCollege of Science 上海理工大学上海理工大学概率论与数理统计通过前面的计算不难看出，如果由通过前面的计算不难看出，如果由12人同时负责维修人同时负责维修400台机器，设备发生故障而不能及时修理的概率要比台机器，设备发生故障而不能及时修理的概率要比3名名维修工同时负责维修工同时负责90台设备时的情况小得多，这样大大提台设备时的情况小得多，这样大大提高了工作效率高了工作效率由于在由于在(3)中，用式二项分布计算量较大，且中，用式二项分布计算量较大，且n=400很大，很大，p=0.01很小，而很小，而=np=4比较适中，可用泊松分布近似比较适中，可用泊松分布近似计算公式，得计算公式，得 理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学概率论与数理统计作作 业业P384、5P442、3、5、7