《概率论与数理统计_第二章.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论与数理统计_第二章.ppt（83页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、1 河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计 随机变量及其分布随机变量及其分布随机变量及其分布随机变量及其分布 离散型随机变量及其分布律离散型随机变量及其分布律离散型随机变量及其分布律离散型随机变量及其分布律 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度 几种重要的随机变量几种重要的随机变量几种重要的随机变量几种重要的随机变量 随机变量函数的分布随机变量函数的分布随机变量函数的分布随机变量函数的分布第二章第二章第二章第二章 随机变
2、量及其分布随机变量及其分布随机变量及其分布随机变量及其分布 2 河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计 【引例引例引例引例1 1 1 1】设设随机随机随机随机试验试验E E E E：抛一枚硬：抛一枚硬：抛一枚硬：抛一枚硬币币，观观察正面察正面察正面察正面H H H H与与与与 反面反面反面反面T T T T的出现情况。的出现情况。的出现情况。的出现情况。样样本空本空本空本空间为间为S=HS=HS=HS=H，TTTT，现现在我在我在我在我们们将试验的每个结果将试验的每个结果将试验的每个结果
3、将试验的每个结果 (样样本点本点本点本点)与一个与一个与一个与一个实实数建立数建立数建立数建立联联系系系系,即相当于在即相当于在即相当于在即相当于在S S S S上定上定上定上定义义一个一个一个一个 函数函数函数函数:11、随机变量及其分布函数、随机变量及其分布函数一、随机变量一、随机变量一、随机变量一、随机变量 这样这样一来一来一来一来,“出出出出现现正面正面正面正面H H H H”的事件的事件的事件的事件为为X=1,X=1,X=1,X=1,“出出出出现现反反反反 面面面面T T T T”的事件为的事件为的事件为的事件为X=0,X=0,X=0,X=0,且易知且易知且易知且易知3 河南理工大学
4、精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计 【引例引例引例引例2 2 2 2】设设随机随机随机随机试验试验E E E E：测试测试灯泡寿命灯泡寿命灯泡寿命灯泡寿命(小小小小时时).).).).样样本空本空本空本空间为间为S=t|t0S=t|t0S=t|t0S=t|t0，现现在我在我在我在我们们将试验的灯泡寿命将试验的灯泡寿命将试验的灯泡寿命将试验的灯泡寿命 记为记为记为记为X X X X,令令令令则则则则X X X X是定义在样本空间为是定义在样本空间为是定义在样本空间为是定义在样本空间为S=t|t0S
5、=t|t0S=t|t0S=t|t0上的函数，其值域为上的函数，其值域为上的函数，其值域为上的函数，其值域为|且取且取且取且取值值具有随机性具有随机性具有随机性具有随机性.“灯炮寿命在灯炮寿命在灯炮寿命在灯炮寿命在10001000100010002500250025002500小小小小时时”的事件可表示的事件可表示的事件可表示的事件可表示为为 上面两例中上面两例中上面两例中上面两例中,我们是在随机试验样本空间上定义了实我们是在随机试验样本空间上定义了实我们是在随机试验样本空间上定义了实我们是在随机试验样本空间上定义了实 值函数值函数值函数值函数X,X,X,X,显然它取值具有随机性显然它取值具有随
6、机性显然它取值具有随机性显然它取值具有随机性,故称它们为随机变量故称它们为随机变量故称它们为随机变量故称它们为随机变量.4 河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计注意注意注意注意 普通函数的定义域是实数普通函数的定义域是实数普通函数的定义域是实数普通函数的定义域是实数 集集集集,而随机变量的定义域是样本而随机变量的定义域是样本而随机变量的定义域是样本而随机变量的定义域是样本 空间空间空间空间(样本点不一定为实数样本点不一定为实数样本点不一定为实数样本点不一定为实数););););S eX
7、(e)R 定义定义定义定义1 1 1 1 设随机试验设随机试验设随机试验设随机试验E E E E的样本空间为的样本空间为的样本空间为的样本空间为S=e,S=e,S=e,S=e,称定义在称定义在称定义在称定义在 S S S S上上上上单值实值单值实值函数函数函数函数 X=X=X(eX(e)()(e eS S)为为为为随机变量随机变量随机变量随机变量,记为记为r.v.X.(randomr.v.X.(randomr.v.X.(randomr.v.X.(random variable X)variable X)variable X)variable X)。随机变量与普通函数的区别随机变量与普通函数的区
8、别随机变量与普通函数的区别随机变量与普通函数的区别:5 河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计 普通函数随自变量变化所取的函数值无概率可普通函数随自变量变化所取的函数值无概率可普通函数随自变量变化所取的函数值无概率可普通函数随自变量变化所取的函数值无概率可 言言言言,而随机变量随样本点变化所取的函数值是具有一定而随机变量随样本点变化所取的函数值是具有一定而随机变量随样本点变化所取的函数值是具有一定而随机变量随样本点变化所取的函数值是具有一定 概率的概率的概率的概率的;此外此外此外此外,因
9、试验的随机性使得随机变量的取值也具因试验的随机性使得随机变量的取值也具因试验的随机性使得随机变量的取值也具因试验的随机性使得随机变量的取值也具 有随机性有随机性有随机性有随机性,即知道随机变量的取值范围即知道随机变量的取值范围即知道随机变量的取值范围即知道随机变量的取值范围,但在一次试验前但在一次试验前但在一次试验前但在一次试验前 无法确定它取何值无法确定它取何值无法确定它取何值无法确定它取何值.利用随机变量可以描述随机事件利用随机变量可以描述随机事件利用随机变量可以描述随机事件利用随机变量可以描述随机事件:随机随机随机随机变变量量量量X X在任意在任意在任意在任意实实数集数集数集数集L L上
10、取上取上取上取值值,记为记为 XXL=L=e|X(e)e|X(e)L L,它表示一切使随机它表示一切使随机它表示一切使随机它表示一切使随机变变量量量量X X取取取取值值在在在在L L上的上的上的上的样样本点所构成的本点所构成的本点所构成的本点所构成的 事件事件事件事件,从而从而从而从而6 河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计 例如例如例如例如,在在在在试验试验E:“E:“掷掷一枚骰子一枚骰子一枚骰子一枚骰子,观观察出察出察出察出现现的点数的点数的点数的点数”中中中中,如如如如果果果果
11、定定定定义义随机随机随机随机变变量量量量X=X=k(ek(e=“=“出出出出现现k k点点点点”,k=1,2,3,4,5,6),k=1,2,3,4,5,6),则则事件事件事件事件“出出出出现现偶数点偶数点偶数点偶数点”就可表示就可表示就可表示就可表示为为 XXL=L=e|X(e)e|X(e)L L,其中其中其中其中L=2,4,6,L=2,4,6,事件事件事件事件“出出出出现现3 3点点点点”就可表示就可表示就可表示就可表示为为 X=3.X=3.显显然然然然,X,X1,3,51,3,5表示表示表示表示“出出出出现现奇数点奇数点奇数点奇数点”,X1,X1为为不不不不可能可能可能可能 事件事件事件事
12、件,X,XRR为为必然事件必然事件必然事件必然事件,等等等等等等等等.7 河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计 随机变量与随机事件的关系随机变量与随机事件的关系随机变量与随机事件的关系随机变量与随机事件的关系:随机事件是从静态的角度研究随机现象，而随机变随机事件是从静态的角度研究随机现象，而随机变随机事件是从静态的角度研究随机现象，而随机变随机事件是从静态的角度研究随机现象，而随机变 量是从动态的角度研究随机现象。量是从动态的角度研究随机现象。量是从动态的角度研究随机现象。量是从动态的
13、角度研究随机现象。随机变量可以描述随机事件，它涵盖了随机事件，随机变量可以描述随机事件，它涵盖了随机事件，随机变量可以描述随机事件，它涵盖了随机事件，随机变量可以描述随机事件，它涵盖了随机事件，是一个更为广泛的概念。是一个更为广泛的概念。是一个更为广泛的概念。是一个更为广泛的概念。随机随机随机随机变变量的引入使得利用数学方法研究随机量的引入使得利用数学方法研究随机量的引入使得利用数学方法研究随机量的引入使得利用数学方法研究随机现现象成象成象成象成 为为可能可能可能可能，是实现随机现象，是实现随机现象，是实现随机现象，是实现随机现象“数量化数量化数量化数量化”的重要工具的重要工具的重要工具的重要
14、工具。因此，。因此，。因此，。因此，随机随机随机随机变变量的研究是概率量的研究是概率量的研究是概率量的研究是概率论论的中心内容。的中心内容。的中心内容。的中心内容。为了更好地利用数学知识研究随机变量统计规律为了更好地利用数学知识研究随机变量统计规律为了更好地利用数学知识研究随机变量统计规律为了更好地利用数学知识研究随机变量统计规律 性，引入下列分布函数的概念，它是一个普通实函数。性，引入下列分布函数的概念，它是一个普通实函数。性，引入下列分布函数的概念，它是一个普通实函数。性，引入下列分布函数的概念，它是一个普通实函数。8 河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大
15、学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计 定义定义定义定义2 2 2 2 设设设设X X X X为随机变量为随机变量为随机变量为随机变量,x,x,x,x为为为为任意实数任意实数任意实数任意实数,函数函数函数函数为随机变量为随机变量为随机变量为随机变量X X X X的的的的分布函数分布函数分布函数分布函数(distribution function)(distribution function)(distribution function)(distribution function)，记记 为为为为d.f.F(xd.f.F(xd.f.F(xd.f.F(x)。
16、分布函数分布函数分布函数分布函数F(xF(xF(xF(x)是随机事件是随机事件是随机事件是随机事件 XxXxXxXx 的的的的概率概率概率概率,它是一个它是一个它是一个它是一个 普通函数普通函数普通函数普通函数,因而可用微因而可用微因而可用微因而可用微积积分的方法来研究随机分的方法来研究随机分的方法来研究随机分的方法来研究随机变变量量量量.随机点随机点实数点实数点二、分布函数二、分布函数二、分布函数二、分布函数事件概率事件概率事件概率事件概率 普通函数普通函数普通函数普通函数9 河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计概
17、率论与数理统计概率论与数理统计 利用概率性质等知识可以证明分布函数具有下列性利用概率性质等知识可以证明分布函数具有下列性利用概率性质等知识可以证明分布函数具有下列性利用概率性质等知识可以证明分布函数具有下列性 质质质质:1 1、F(xF(x)是是是是单调不减函数单调不减函数单调不减函数单调不减函数,即对任意实数即对任意实数即对任意实数即对任意实数x x1 1,x,x2 2(x(x1 1xx2 2),),有有有有F(xF(x1 1)F(x F(x2 2););4 4、0 0 F(x)F(x)1;1;2 2、F(xF(x)至多有可列个间断点至多有可列个间断点至多有可列个间断点至多有可列个间断点,且
18、在其间断点处是且在其间断点处是且在其间断点处是且在其间断点处是 右连续右连续右连续右连续.3 3、F(-F(-)=0,F(+)=0,F(+)=1)=1图像值域范围图像值域范围图像值域范围图像值域范围图像左右趋势图像左右趋势图像左右趋势图像左右趋势间断点右连续间断点右连续间断点右连续间断点右连续图像自左至右呈上升图像自左至右呈上升图像自左至右呈上升图像自左至右呈上升5 5、PxPx1 1XX x x2 2=F(x=F(x2 2)-F(x)-F(x1 1)利用分布函数计算事件概率利用分布函数计算事件概率利用分布函数计算事件概率利用分布函数计算事件概率满足满足满足满足1 1 1 1，2 2 2 2，
19、3 3 3 3的函的函的函的函 数即为某随机变数即为某随机变数即为某随机变数即为某随机变 量的分布函数量的分布函数量的分布函数量的分布函数参见：课本参见：课本参见：课本参见：课本P.34-35P.34-35P.34-35P.34-35。10 河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计【例例例例1 1 1 1】设随机变量设随机变量设随机变量设随机变量X X X X的分布函数为的分布函数为的分布函数为的分布函数为试求试求试求试求 (1)(1)(1)(1)系数系数系数系数A,BA,BA,BA,B；
20、(2)X(2)X(2)X(2)X取值落在（取值落在（取值落在（取值落在（-1-1-1-1，1111中的概率。中的概率。中的概率。中的概率。解解解解（1 1 1 1）由）由）由）由 解得：解得：解得：解得：于是，分布函数为：于是，分布函数为：于是，分布函数为：于是，分布函数为：11 河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计 （2 2 2 2）由分布函数计算事件概率公式得：）由分布函数计算事件概率公式得：）由分布函数计算事件概率公式得：）由分布函数计算事件概率公式得：分布函数完全描述了随机分布
21、函数完全描述了随机分布函数完全描述了随机分布函数完全描述了随机变变量的量的量的量的统计规统计规律性。律性。律性。律性。下面，分下面，分下面，分下面，分别讨论实际问题别讨论实际问题最常最常最常最常见见的两的两的两的两类类随机随机随机随机变变量量量量 离散型随机离散型随机离散型随机离散型随机变变量和量和量和量和连续连续型随机型随机型随机型随机变变量。量。量。量。请请大家注意它大家注意它大家注意它大家注意它们们的定的定的定的定义义和和和和讨论讨论方法的异同。方法的异同。方法的异同。方法的异同。12 河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率
22、论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计22、离散型随机变量、离散型随机变量 定义定义定义定义1 1 1 1 全部可能取全部可能取全部可能取全部可能取值为值为有限个或可列无限个的随有限个或可列无限个的随有限个或可列无限个的随有限个或可列无限个的随 机变量称为机变量称为机变量称为机变量称为离散型随机变量离散型随机变量离散型随机变量离散型随机变量.描述一个离散型随机描述一个离散型随机描述一个离散型随机描述一个离散型随机变变量量量量X X必必必必须须且只需知道且只需知道且只需知道且只需知道:X:X的所的所的所的所 有可能取的有可能取的有可能取的有可能取的值值以及以及以及以及X X取每个可能取每个
23、可能取每个可能取每个可能值值的概率的概率的概率的概率.一、概念一、概念一、概念一、概念二、概率分布及其性质二、概率分布及其性质二、概率分布及其性质二、概率分布及其性质 设设离散型随机离散型随机离散型随机离散型随机变变量量量量X X X X所有可能取所有可能取所有可能取所有可能取值为值为 ,且且且且X X X X取各个可能值的概率为取各个可能值的概率为取各个可能值的概率为取各个可能值的概率为13 河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计上式称为离散型随机变量上式称为离散型随机变量上式称为离散
24、型随机变量上式称为离散型随机变量X X X X的的的的概率分布概率分布概率分布概率分布(分布律或分布列分布律或分布列分布律或分布列分布律或分布列).).).).数列数列:分布列的分布列的分布列的分布列的表示表示表示表示:表格表格:矩矩阵:图形形:在随机在随机变量每个可能取量每个可能取值的点的点处画一画一长度度为相相 应概率概率值的的线段。段。P.36:图2-1 14 河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计 由概率的性由概率的性由概率的性由概率的性质质易知离散型随机易知离散型随机易知离散型
25、随机易知离散型随机变变量的量的量的量的分布列分布列分布列分布列 满足下列特征满足下列特征满足下列特征满足下列特征性质性质性质性质:概率的非负性公理概率的非负性公理概率的非负性公理概率的非负性公理 概率的完备性公理概率的完备性公理概率的完备性公理概率的完备性公理 分布函数与分布列关系分布函数与分布列关系分布函数与分布列关系分布函数与分布列关系 是非负数列为是非负数列为是非负数列为是非负数列为离散随机变量分布离散随机变量分布离散随机变量分布离散随机变量分布列的充要条件列的充要条件列的充要条件列的充要条件 可见可见可见可见,离散型随机变量的离散型随机变量的离散型随机变量的离散型随机变量的分布列分布列
26、分布列分布列与与与与分布函数分布函数分布函数分布函数均能完整均能完整均能完整均能完整 地描述离散型随机变量的统计规律性地描述离散型随机变量的统计规律性地描述离散型随机变量的统计规律性地描述离散型随机变量的统计规律性.15 河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计分布列的分布列的分布列的分布列的求法求法求法求法:利用古典概率、条件概率等计算方法及运算性质利用古典概率、条件概率等计算方法及运算性质利用古典概率、条件概率等计算方法及运算性质利用古典概率、条件概率等计算方法及运算性质 求事件求事件
27、求事件求事件X=X=X=X=x x x xk k k k 概率概率概率概率;利用已知的重要分布的分布列利用已知的重要分布的分布列利用已知的重要分布的分布列利用已知的重要分布的分布列;利用分布函数利用分布函数利用分布函数利用分布函数.分布列的分布列的分布列的分布列的应用应用应用应用:确定分布列中的待定参数确定分布列中的待定参数确定分布列中的待定参数确定分布列中的待定参数;求分布函数；求分布函数；求分布函数；求分布函数；求随机事件的概率求随机事件的概率求随机事件的概率求随机事件的概率.16 河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数
28、理统计概率论与数理统计概率论与数理统计分布律的形象化解释分布律的形象化解释 设想有一设想有一设想有一设想有一单位单位单位单位质量的物质质量的物质质量的物质质量的物质(如一克面粉如一克面粉如一克面粉如一克面粉),),被分配被分配被分配被分配在在在在 随机变量随机变量随机变量随机变量X X的所有可能取值的所有可能取值的所有可能取值的所有可能取值处处处处,其各点物质的分配量依次相应为其各点物质的分配量依次相应为其各点物质的分配量依次相应为其各点物质的分配量依次相应为个单位个单位个单位个单位,这就是一个这就是一个这就是一个这就是一个概率分布概率分布概率分布概率分布.如何计算离散如何计算离散随机变量落在
29、随机变量落在一个区间内的一个区间内的概率？概率？17 河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计 【例例例例1 1 1 1】设设一汽一汽一汽一汽车车在开往目的地的道路上需在开往目的地的道路上需在开往目的地的道路上需在开往目的地的道路上需经过经过四四四四盏盏信号灯，每盏信号灯均以信号灯，每盏信号灯均以信号灯，每盏信号灯均以信号灯，每盏信号灯均以p p p p的概率允许汽车通过，各信号的概率允许汽车通过，各信号的概率允许汽车通过，各信号的概率允许汽车通过，各信号灯的工作是相互独立的。设灯的工作是
30、相互独立的。设灯的工作是相互独立的。设灯的工作是相互独立的。设X X X X表示表示表示表示“汽车首次停下时已通汽车首次停下时已通汽车首次停下时已通汽车首次停下时已通过的信号灯的盏数过的信号灯的盏数过的信号灯的盏数过的信号灯的盏数”，求，求，求，求X X X X的分布律的分布律的分布律的分布律P.37P.37P.37P.37 为为便于理解便于理解便于理解便于理解,设设事件事件事件事件 :“第第第第k k k k盏盏灯灯灯灯为绿为绿灯灯灯灯(通行通行通行通行)”,由由由由独立性独立性独立性独立性得得得得:解解设X X是是“汽汽车首次停下已首次停下已经通通过的信号灯的的信号灯的盏数数”,则则X X
31、为随机变量为随机变量,其可能取值为其可能取值为0,1,2,3,4;0,1,2,3,4;现求现求X X取取各值的概率各值的概率.18 河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计即所求即所求即所求即所求分布律分布律分布律分布律为为为为19 河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计 【例例例例2 2】一袋中装有一袋中装有一袋中装有一袋中装有5 5只球，编号为只球，编号为只球，编号为只球，编号为
32、1,2,3,4,5.1,2,3,4,5.在袋中在袋中在袋中在袋中 同时取同时取同时取同时取3 3只只只只,以以以以X X表示取出的表示取出的表示取出的表示取出的3 3只球的最大号码只球的最大号码只球的最大号码只球的最大号码,写出随写出随写出随写出随机机机机 变量变量变量变量X X的分布律和分布函数。的分布律和分布函数。的分布律和分布函数。的分布律和分布函数。P.65:3P.65:3 【解解】由于由于X表示取出的表示取出的3只球的最大号码只球的最大号码,故故X的所的所 有可能取值为有可能取值为3,4,5。必取必取3号球号球,只能再取只能再取1,2号球号球必取必取4号球号球,再从再从1,2,3号球
33、中取号球中取2只只必取必取5号球号球,再从再从1,2,3,4号球中取号球中取2只只由古典概率可得：由古典概率可得：20 河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计Xpk3450.10.30.6即所求分布律为即所求分布律为:由分布函数概念可知：由分布函数概念可知：分布函数是累积和。因此，分布函数是累积和。因此，对离散型随机变量由分布列求分布函数时需分段考虑，对离散型随机变量由分布列求分布函数时需分段考虑，X X的所有可能取值就是分界点，即应该就的所有可能取值就是分界点，即应该就x x分别位于区
34、间分别位于区间 （-，3 3），），33，4 4），），44，5 5），），55，+）来分别计）来分别计 算事件算事件 X Xx x 的概率。的概率。当当 时时,21 河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计 当当 时时,当当 时时,基本事基本事基本事基本事件互斥件互斥件互斥件互斥 当当 时时,故故故故X X X X的分布函数为的分布函数为的分布函数为的分布函数为22 河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与
35、数理统计概率论与数理统计 分布函数的图形为分布函数的图形为:右连续右连续右连续右连续的阶梯的阶梯的阶梯的阶梯函数函数函数函数23 河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计 【例例3】设随机变量设随机变量X的分布律为的分布律为 【解解】由概率可加性与分布函数定义可得分布函数由概率可加性与分布函数定义可得分布函数求求X的分布函数和概率的分布函数和概率PX0.5,P1.5X 2.5,P2 X 3.24 河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理
36、统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计 由分布列求分布函数时：用由分布列求分布函数时：用X X可能取的值可能取的值 分分(-(-，+）为）为k+1个区间个区间分别就分别就x落在上述各区间内计算落在上述各区间内计算Xx的值概率的值概率累积和累积和 即求出即求出F(x)的值；的值；注意几点：注意几点：注意几点：注意几点：离散型随机变量离散型随机变量X落在区间落在区间I内的概率可以利用分内的概率可以利用分布列或分布函数计算，即含于布列或分布函数计算，即含于I内点的概率之和或分布内点的概率之和或分布函数在函数在I上的增量，必要时加减端点概率值。上的增量，必要时加减端点概率值。25 河南理
37、工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计 离散型随机变量离散型随机变量X的分布函数是一个的分布函数是一个右连续右连续的的 阶梯函数阶梯函数，其，其定义域定义域是是(-(-,+,+),),值域值域是是0,10,1。三、几种重要的离散型随机变量三、几种重要的离散型随机变量三、几种重要的离散型随机变量三、几种重要的离散型随机变量 定义定义定义定义2 2 2 2 设随机变量设随机变量设随机变量设随机变量X X X X可能取值为可能取值为可能取值为可能取值为0 0 0 0，1 1 1 1，2 2 2 2，
38、n n n n，且其分布列为，且其分布列为，且其分布列为，且其分布列为1、二项分布、二项分布则称则称X X服从参数服从参数n n，p p的二的二项分布，分布，记为 特特特特别别的，当的，当的，当的，当n=1n=1n=1n=1时时，称之，称之，称之，称之为为两点分布或两点分布或两点分布或两点分布或0-10-10-10-1分布分布分布分布。26 河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计 二项分布分布律满足二项分布分布律满足二项分布分布律满足二项分布分布律满足:二项式二项式公式公式 二项分布分布
39、律的图形二项分布分布律的图形:27 河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计 二项分布是离散型随机变量中最重要的一种分布，二项分布是离散型随机变量中最重要的一种分布，二项分布是离散型随机变量中最重要的一种分布，二项分布是离散型随机变量中最重要的一种分布，它所适用的模型就是贝努里试验。它所适用的模型就是贝努里试验。它所适用的模型就是贝努里试验。它所适用的模型就是贝努里试验。设随机试验设随机试验设随机试验设随机试验E E E E的只有两个样本点：的只有两个样本点：的只有两个样本点：的只有两个样
40、本点：，其中，其中，其中，其中 则则则则n n n n重贝努里试验重贝努里试验重贝努里试验重贝努里试验E E E En n n n中中中中“事件事件事件事件A A A A发生发生发生发生 的次数的次数的次数的次数”X X X X就是服从二项分布就是服从二项分布就是服从二项分布就是服从二项分布 ，即，即，即，即 E E E En n n n中的样本点都是中的样本点都是中的样本点都是中的样本点都是“n n n n个格子中有个格子中有个格子中有个格子中有k k k k格放格放格放格放A A A A，其余的，其余的，其余的，其余的n-kn-kn-kn-k 个格子放个格子放个格子放个格子放A”A”A”A
41、”，这样的样本点共有，这样的样本点共有，这样的样本点共有，这样的样本点共有 ，由基本事件的互，由基本事件的互，由基本事件的互，由基本事件的互 斥性与试验的独立性可得上述结果。斥性与试验的独立性可得上述结果。斥性与试验的独立性可得上述结果。斥性与试验的独立性可得上述结果。以三重贝努里试验中以三重贝努里试验中以三重贝努里试验中以三重贝努里试验中A A A A发生发生发生发生2 2 2 2次的概率计算为例。次的概率计算为例。次的概率计算为例。次的概率计算为例。28 河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论
42、与数理统计 设设设设A A A Ai i i i为第为第为第为第i i i i次出现次出现次出现次出现A A A A（i=1,2,3i=1,2,3i=1,2,3i=1,2,3）,X,X,X,X表示表示表示表示“三次试验中三次试验中三次试验中三次试验中A A A A 发生的次数发生的次数发生的次数发生的次数”，则，则，则，则“三次试验中三次试验中三次试验中三次试验中A A A A发生发生发生发生2 2 2 2次次次次”的事件为：的事件为：的事件为：的事件为：由概率有限可加性与独立性可得：由概率有限可加性与独立性可得：由概率有限可加性与独立性可得：由概率有限可加性与独立性可得：29 河南理工大学精
43、品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计 【例例例例4 4】一大楼装有一大楼装有一大楼装有一大楼装有5 5个同类型的供水设备个同类型的供水设备个同类型的供水设备个同类型的供水设备.调查表调查表调查表调查表明在任一时刻明在任一时刻明在任一时刻明在任一时刻t t每个设备被使用的概率为每个设备被使用的概率为每个设备被使用的概率为每个设备被使用的概率为0.1,0.1,问在同一问在同一问在同一问在同一时刻时刻时刻时刻 (1)(1)恰有恰有恰有恰有2 2个设备被使用的概率是多少个设备被使用的概率是多少个设备被使用的
44、概率是多少个设备被使用的概率是多少?(2)(2)至少有至少有至少有至少有3 3个设备被使用的概率是多少个设备被使用的概率是多少个设备被使用的概率是多少个设备被使用的概率是多少?(3)(3)至多有至多有至多有至多有3 3个设备被使用的概率是多少个设备被使用的概率是多少个设备被使用的概率是多少个设备被使用的概率是多少?(4)(4)至少有一个设备被使用的概率是多少至少有一个设备被使用的概率是多少至少有一个设备被使用的概率是多少至少有一个设备被使用的概率是多少?【解解解解】设设设设X X表示表示表示表示“5 5个设备中同时被使用的个数个设备中同时被使用的个数个设备中同时被使用的个数个设备中同时被使用的
45、个数”,则则则则 有有有有r.vr.v.XB(5,0.1).XB(5,0.1).于是，于是，于是，于是，(1).(1).恰有恰有2 2个设备被使用个设备被使用的概率为的概率为 30 河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计 (2).(2).至少有三个设备被使用至少有三个设备被使用的概率为的概率为 =0.0081+0.00045+0.00001=0.00856.=0.0081+0.00045+0.00001=0.00856.(3).至多有三个设备被使用至多有三个设备被使用的概率为的概率为 =
46、1-0.00045-0.00001=0.99954.31 河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计 (4).至少有一个设备被使用至少有一个设备被使用的概率为的概率为 =1-0.59049=0.40951.请看教材请看教材P.41:例例3.关于关于关于关于二项分布的近似计算二项分布的近似计算二项分布的近似计算二项分布的近似计算,当当当当n n 20,p20,p 0.050.05特别特别特别特别,n n 100,100,=npnp 1010时时时时,有如下的有如下的有如下的有如下的泊松公式泊松
47、公式泊松公式泊松公式:学会查学会查附表附表3:泊松分布表泊松分布表.32 河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计 【例例例例5 5】为保证设备正常工作为保证设备正常工作为保证设备正常工作为保证设备正常工作,需配备适量的维修需配备适量的维修需配备适量的维修需配备适量的维修工人工人工人工人(配备多了就浪费配备多了就浪费配备多了就浪费配备多了就浪费,少了会影响工作少了会影响工作少了会影响工作少了会影响工作),),现有同类型现有同类型现有同类型现有同类型设备设备设备设备300300台台台台,各台
48、工作是相互独立的各台工作是相互独立的各台工作是相互独立的各台工作是相互独立的,发生故障的概率均发生故障的概率均发生故障的概率均发生故障的概率均为为为为0.01.0.01.一台设备的故障可由一个维修工人来处理一台设备的故障可由一个维修工人来处理一台设备的故障可由一个维修工人来处理一台设备的故障可由一个维修工人来处理,问至问至问至问至少需配备多少维修工人少需配备多少维修工人少需配备多少维修工人少需配备多少维修工人,才能保证设备发生故障但不能才能保证设备发生故障但不能才能保证设备发生故障但不能才能保证设备发生故障但不能及时维修的概率小于及时维修的概率小于及时维修的概率小于及时维修的概率小于0.01.
49、0.01.参考参考参考参考P.45:P.45:例例例例55 【解解解解】设设设设X X表示表示表示表示“300300台设备中同时发生故障的台台设备中同时发生故障的台台设备中同时发生故障的台台设备中同时发生故障的台数数数数”,则有则有则有则有r.vr.v.XB(300,0.01).XB(300,0.01).又设需要配备维修工人又设需要配备维修工人又设需要配备维修工人又设需要配备维修工人N N人人人人.由由由由题题题题意意意意“设设设设备备备备发发发发生生生生故故故故障障障障但但但但不不不不能能能能及及及及时时时时维维维维修修修修”即即即即发发生生生生故障的故障的故障的故障的设备设备数大于数大于数
50、大于数大于维维修工人数修工人数修工人数修工人数 的概率的概率的概率的概率 由由泊松公式泊松公式得得:33 河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计 学查学查附表附表3:泊松分布表泊松分布表.P.296 在在P.297找到找到=np=3000.01=3一列一列,向下找到第向下找到第 一个小于一个小于0.01的值为的值为0.003803,横向左找到横向左找到x=9,即即N+1=9,得得:N=8.答答:至少需配备至少需配备8个维修工人个维修工人.请自学请自学P.45:例例5.注意其实际意义注意其