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1、第二章第二章 概率论与数理概率论与数理统计统计1 随机变量及其分布函数1.随机变量定义定义定义 设 是某一随机试验的样本空间，若对 中每个样本点 都有唯一的实数 与之对应，则称此定义在 上的单值实值函数 为随机变量随机变量。（random variable 简记为 r.v.）某些随机试验的结果可以对应于实数值。如：1）连续抛一枚匀质硬币3次，观察币值 一面向上的次数。若币值一面向上，用“1”表示，图案一面向上，用“0”表示，则随机试验所有可能的结果是（0，0，0）（1，0，0）（0，1，0）（0，0，1）（1，1，0）（1，0，1）（0，1，1）（1，1，1）用 表示币值一面向上的次数样本点
2、对应的实数（0，0，0）0（1，0，0）（0，1，0）（0，0，1）1（1，1，0）（1，0，1）（0，1，1）2（1，1，1）3 可能的取值是 0，1，2，32）测试灯泡的使用寿命。试验的样本空间 =t t 若用Y表示测试对象的使用寿命，则有 Y=t，0 t +，即 中每个样本点本身就是一个实数。有的随机试验的结果不是数值，如：从一批产品中随机地抽取一件，观察取到的是合格品或是次品。可以为试验结果赋值，若用Z 表示抽验结果。则有 抽验到次品，令 Z=0；抽验到合格品，令 Z=1。综上，随机试验的样本空间中的每一个样本点都可以与某一个实数对应，这样的实数（实变量）即是随机变量。试验前不能确定随
3、机变量取哪一值，但是，可以知道随机变量所有可能的取值及以多大的概率取某一个值。随机变量的表示：大写字母 X、Y、Z、希腊字母 随机变量的取值表示为 小写字母 x、y、z、随机变量的特征：（1）随机变量的取值具有随机性；（2）随机变量的取值具有统计规律性。随机变量的类型离散型：随机变量的取值是有限个或 可列个（即取值可以一一列举）连续型：随机变量的取值充满某一个 区间2随机变量的分布函数定义 设 是随机变量，是任意实数，则称 为随机变量 的分布函数，记作 ，即 =。对于任意的实数 ，随机变量 落在区间 里的概率可以用分布函数值表示：分布函数的性质：（1）是其自变量的单调不减函数，即当 时有 ；（
4、2），且 ；（3），即 是右连续的函数。例1 已知随机变量 的取值是0，1，2，3，且知（1）写出 的分布函数 ；（2）求 。解（1）的取值是 0，1，2，3，且 =实数 10且p 0.1时，即有 例2 某保险公司承接一项意外伤害险业务。投保人数为2500，期限一年，各投保人在保期内是否发生意外伤害具有独立性。约定每人缴保费100元，若发生意外伤害保险公司将赔付每位受害者20000元，保险公司在此项业务上的成本是10000元。（1）若投保人发生意外伤害的概率是 0.002，求保险公司在此项业务上至少获利100000元的概率；（2）若投保人发生意外伤害的概率为 0.004，求保险公司在此项业务上
5、亏本的概率。解 设投保人中发生意外伤害的人数是 随机变量 ，由题设，（1）p=0.002事件保险公司至少获利100000元=1002500-10000-20000 100000=7 ，=25000.002=5查泊松分布表得到各项数值，P 7 0.876628（2）p=0.004 ，=25000.004=10 事件保险公司亏本=1002500-1000012（2）泊松分布 若随机变量 的可能取值是0,1,2,且则称随机变量 服从参数为 的泊松分布，分布律为容易验证：例3 设某商店一小时内接待的顾客数 ，求（1）P =6；（2）P 3。解 （1）（2）4）几何分布 若随机变量 的可能取值是1,2,3,且 ，则称随机变量 服从参数为 p的几何分布，分布律是容易验证：例4 相同条件下向某一目标射击，若每次射击的命中率p=0.3，且约定击中目标即停止，否则继续。用 表示击中目标时射击的次数，求（1）的分布律；（2）P 3。解 由题设，击中目标时射击的次数 服从参数为0.3的几何分布。（1）的分布律是（2）