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1、第四章第四章 空间任意力系空间任意力系第一节第一节 空间任意力系的简化空间任意力系的简化第二节第二节 空间任意力系的平衡条件空间任意力系的平衡条件第三节第三节 一般平行分布力的简化一般平行分布力的简化第四节第四节 重心、质心和形心重心、质心和形心 工程中常常存在着很多各力的作用线不在同一平面内的力工程中常常存在着很多各力的作用线不在同一平面内的力系，即空间力系，空间力系是最一般的力系。系，即空间力系，空间力系是最一般的力系。(a)图为空间汇交力系；图为空间汇交力系；(b)图为空间任意力系；图为空间任意力系；(b)图中去了风力为空间平行力系。图中去了风力为空间平行力系。迎 面风 力侧 面风 力b
2、gFxyO力的三要素：大小、方向、作用点(线)大小：大小：作用点作用点：在物体的哪点就是哪点方向方向：由、g三个方向角确定 由仰角 与俯角 来确定。力在空间坐标轴上的投影力在空间坐标轴上的投影力在空间坐标轴上的投影力在空间坐标轴上的投影一、力在空间的表示一、力在空间的表示：1、一次投影法（直接投影法）、一次投影法（直接投影法）由图可知：二、力在空间坐标轴上的投影二、力在空间坐标轴上的投影2、二次投影法（间接投影法）、二次投影法（间接投影法）当力与各轴正向夹角不易确定时，可先将 F 投影到xy面上，然后再投影到x、y轴上，即三、力沿坐标轴分解三、力沿坐标轴分解：若以 表示力沿直角坐标轴的正交分量
3、，则：而：所以：FxFyFz力对轴的矩力对轴的矩力对轴的矩力对轴的矩 力对点的矩力对点的矩力对点的矩力对点的矩 合力矩定理合力矩定理合力矩定理合力矩定理 一、力对轴的矩的概念与计算一、力对轴的矩的概念与计算定义：定义：1 1、空间任意力系向作用面内一点简化、空间任意力系向作用面内一点简化称为空间力偶系的主矩称为空间力偶系的主矩称为力系的主矢量称为力系的主矢量空间力偶系的合力偶矩空间力偶系的合力偶矩空间汇交力系的合力空间汇交力系的合力第一节第一节 空间任意力系的简化空间任意力系的简化第一节第一节 空间任意力系的简化空间任意力系的简化 空间力系向一点（简化中心）简化的空间力系向一点（简化中心）简化
4、的结果一般是一个力和一个力偶，这个力作结果一般是一个力和一个力偶，这个力作用于简化中心，等于原力系中所有各力的用于简化中心，等于原力系中所有各力的矢量和，亦即等于原力系的主矢量；这个矢量和，亦即等于原力系的主矢量；这个力偶的矩等于原力系中所有各力对于简化力偶的矩等于原力系中所有各力对于简化中心的矩的矢量和，亦即等于原力系对于中心的矩的矢量和，亦即等于原力系对于简化中心的主矩。简化中心的主矩。一个力系的主矢量是一常量，与简化中心位置无关，而一个力系的主矢量是一常量，与简化中心位置无关，而主矩一般与简化中心有关主矩一般与简化中心有关。第一节第一节 空间任意力系的简化空间任意力系的简化主矢和主矩的解
5、析计算主矢和主矩的解析计算第一节第一节 空间任意力系的简化空间任意力系的简化主矩主矩大小和方向：大小和方向：第一节第一节 空间任意力系的简化空间任意力系的简化2 2、任意力系简化结果讨论任意力系简化结果讨论（）（）若若FR=0，MO0，则原力系简化为一个力偶，力偶矩则原力系简化为一个力偶，力偶矩等于原力系对于简化中心的主矩。在这种情况下，主矩（即等于原力系对于简化中心的主矩。在这种情况下，主矩（即力偶矩）将不因简化中心位置的不同而改变。力偶矩）将不因简化中心位置的不同而改变。（）（）若若FR，MO，而，而FRMO ，表明力偶表明力偶MO与与FR在同一平面内，可进一在同一平面内，可进一步简化为一
6、个合力。步简化为一个合力。合力的位置必须满足：合力的位置必须满足：合力矩定理：合力矩定理：第一节第一节 空间任意力系的简化空间任意力系的简化 若空间任意力系可简化成为一个合力，则合力对任一点若空间任意力系可简化成为一个合力，则合力对任一点（或轴）的矩等于原力系各力对同一点（或轴）的矩的矢量和（或轴）的矩等于原力系各力对同一点（或轴）的矩的矢量和（或代数和）（或代数和）。这一结论称为合力矩定理合力矩定理。（）若（）若FR ，MO ，且，且FR与与MO不相垂直。不相垂直。FR与与MO同方向，则称为同方向，则称为右手螺旋右手螺旋右手螺旋右手螺旋；如；如FR与与MO方向相方向相反，则称为左手螺旋。反，
7、则称为左手螺旋。例题例题 将图所示的力系向点简化，求主矢量和主矩。已知将图所示的力系向点简化，求主矢量和主矩。已知F1=50N，F2=100N，F3=200N。图中长度单位为。图中长度单位为。解：为了下面计算方便，先将各解：为了下面计算方便，先将各力沿坐标轴分解：力沿坐标轴分解：例题例题第三节第三节 一般平行分布力的简化一般平行分布力的简化体力（重力等）体力（重力等）分布力分布力面力（水压力等）面力（水压力等）作用线平行作用线平行平行分布力平行分布力沿线分布的分布力沿线分布的分布力沿面分布的分布力沿面分布的分布力沿体积分布的分布力沿体积分布的分布力单位长度或单位面积上所受的力，称为分布力在该处
8、的集度单位长度或单位面积上所受的力，称为分布力在该处的集度 如果分布力的集度处处相同，则称为匀布力或匀布荷载；如果分布力的集度处处相同，则称为匀布力或匀布荷载；否则就称为非匀布力或非匀布荷载。否则就称为非匀布力或非匀布荷载。表示集度大小分布情况及分布力作用方向的图形称为荷载图。表示集度大小分布情况及分布力作用方向的图形称为荷载图。qAB简化结果为合力。简化结果为合力。合力作用线位置：合力作用线位置：结论：合力通过荷载图的形心。结论：合力通过荷载图的形心。第三节第三节 一般平行分布力的简化一般平行分布力的简化例题例题简化结果为一个合力。简化结果为一个合力。合力作用线位置：合力作用线位置：平行分布
9、的面力的合力的大小等于荷载图的体积平行分布的面力的合力的大小等于荷载图的体积，合力合力通过荷载图体积的形心。通过荷载图体积的形心。第三节第三节 一般平行分布力的简化一般平行分布力的简化 建立空间任意力系平衡方程的方法与平面力系的方法相同，建立空间任意力系平衡方程的方法与平面力系的方法相同，都是采取力系向一点简化的方法。只是对于空间力系推导平衡都是采取力系向一点简化的方法。只是对于空间力系推导平衡条件的过程比较复杂。这里只用比较直观的方法得出空间任意条件的过程比较复杂。这里只用比较直观的方法得出空间任意力系平衡方程。力系平衡方程。空间任意力系的平衡方程空间任意力系的平衡方程空间任意力系的平衡方程
10、空间任意力系的平衡方程 空间约束空间约束空间约束空间约束 设作用在刚体上有设作用在刚体上有空间任意力系空间任意力系 如果该物体平衡，则必须要使该物体不能沿如果该物体平衡，则必须要使该物体不能沿x、y、z三三轴轴移动，也不能绕移动，也不能绕x、y、z三轴三轴转动。转动。即满足：空间任意力系的平衡方程空间任意力系的平衡方程空间任意力系平衡的充要条件是：空间任意力系平衡的充要条件是：各力在三个坐标轴上的投影的代数和及各力对此三个各力在三个坐标轴上的投影的代数和及各力对此三个轴力矩的代数和都必须分别等于零。轴力矩的代数和都必须分别等于零。共六个独立方程，只能求解独立的六个未知数。共六个独立方程，只能求
11、解独立的六个未知数。还有四矩式，五矩式和六矩式，同时各有一定限制条件。对于空间汇交力系：（设各力汇交于原点对于空间汇交力系：（设各力汇交于原点）则成为恒等式成为恒等式故空间汇交力系的平衡方程为：故空间汇交力系的平衡方程为：对于空间平行于对于空间平行于 z 轴的平行力系：轴的平行力系：则成为恒等式成为恒等式OxyzF1F2F3故空间平行于故空间平行于 z 轴的平行力系的平衡方程为：轴的平行力系的平衡方程为：Fn1、球形铰链、球形铰链二、空间约束二、空间约束 观察物体在空间的六种（沿三轴移动和绕三轴转动）可能观察物体在空间的六种（沿三轴移动和绕三轴转动）可能的运动中，有哪几种运动被约束所阻碍，有阻
12、碍就有约束反力。的运动中，有哪几种运动被约束所阻碍，有阻碍就有约束反力。阻碍移动为反力，阻碍转动为反力偶。阻碍移动为反力，阻碍转动为反力偶。例例球形铰链球形铰链2、向心轴承，蝶铰链，滚珠、向心轴承，蝶铰链，滚珠(柱柱)轴承轴承3、滑动轴承、滑动轴承 4、止止推推轴轴承承 5、带有销子的夹板、带有销子的夹板6、空间固定端、空间固定端例例 已知:RC=100mm,RD=50mm,Px=466N,Py=352N,Pz=1400N 求：平衡时(匀速转动)力Q=？和轴承A,B的约束反力？最好使每一个方程有一个未知数，方便求解。(Q力作用在C轮的最低点）解解：选研究对象 作受力图 选坐标列方程第四节第四节
13、 重心、质心和形心重心、质心和形心一、一、重心的基本公式重心的基本公式 二、二、均质物体均质物体形心的基本公式形心的基本公式 对对于于曲曲面面或或曲曲线线，只只须须在在上上述述公公式式中中分分别别将将Vi改改为为Ai(面面积积)或或Li(长长度度)，V改改A为为或或L，即即可可得得相相应应的的重重心心坐坐标标公式。公式。形心、对称性形心、对称性第四节第四节 重心、质心和形心重心、质心和形心三、三、组合形体的重心或形心组合形体的重心或形心 形心、对称性形心、对称性三维物体三维物体板板杆件杆件第四节第四节 重心、质心和形心重心、质心和形心例题例题求图示均质板的重心位置。求图示均质板的重心位置。xy2m2m2m2m2mC1(x1,y1)C3(x3,y3)C2(x2,y2)解解 将板分成三块。将板分成三块。对称性、负面积对称性、负面积例题例题解：用负面积法，为三部分组成，设大半圆面积为解：用负面积法，为三部分组成，设大半圆面积为A1，小半圆小半圆（半径为（半径为r+b）面积面积为为A2。设小圆（半径为。设小圆（半径为r）面积为）面积为A3。由对。由对称性，有称性，有xc=0由由而而得得求：其重心坐标求：其重心坐标.已知：等厚均质偏心块的已知：等厚均质偏心块的