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1、第四章第四章 空间力系空间力系 重心重心 下一页下一页第四章第四章 空间力系空间力系 重心重心第一节第一节 力在空间直角坐标轴上的投影力在空间直角坐标轴上的投影第二节第二节 空间汇交力系的合成与平衡空间汇交力系的合成与平衡第三节第三节 力对轴之矩力对轴之矩第四节第四节 空间任意力系的平衡方程式空间任意力系的平衡方程式第五节第五节 重心重心 概述概述 下一页下一页上一页上一页 力系中各力的作用线不在同一平面内,该力系称为空间力系。空间力系空间汇交力系空间任意力系概述概述 下一页下一页上一页上一页1.一次投影法（直接投影法）一次投影法（直接投影法）由图可知：Fx=FcosFy=FcosFz=Fco
2、szyxFFxyOFxFyFz 下一页下一页上一页上一页第一节第一节 力在空间直角坐标轴上的投影力在空间直角坐标轴上的投影2.二次投影法（间接投影法）二次投影法（间接投影法）当力与各轴正向夹角不易确定时，可先将F 投影到xy 面上，然后再投影到x、y 轴上，即 Fx=Fsincos=Fxycos=FcoscosFy=Fsinsin=Fxysin=FcossinFz=Fcos=FsinzyxFFxyOFxFyFz 下一页下一页上一页上一页例1 已知圆柱斜齿轮所受的总啮合力F=1410N，齿轮压 力角=20，螺旋角=25。试计算齿轮所收的圆周力Ft，轴向力Fa和径向力Fr。解：先将总啮合力F向z轴
3、和oxy坐 标平面投影Fz=Fr=Fsin=-1410sin20=482NFxy=Fn=Fcos=1410cos20=1325NxzFFtOyFnFxyFaFr=下一页下一页上一页上一页然后再把力Fn投影到x、y轴Fx=Fa=-Fnsin=-1325sin25=-560NFy=Ft=-Fncos=-1325cos25=-1200NFnFxyFtxy 下一页下一页上一页上一页一、空间汇交力系的合成一、空间汇交力系的合成用力多边形法求合力FR=F1+F2+Fn=F将上式向x、y、z三坐标轴投影FRx=F1x+F2x+Fnx=Fx 同理可得 FRy=Fy,FRz=Fz合力大小：合力的方向：下一页下一
4、页上一页上一页第二节第二节 空间汇交力系的合成与平衡空间汇交力系的合成与平衡222)()()(+=zyxRFFFFRzRyRxFFFFFF=gbacos,cos,cos二、空间汇交力系的平衡条件及平衡方程式二、空间汇交力系的平衡条件及平衡方程式1.平衡条件平衡条件 力系的合力为零,即 FR=F=02.平衡方程平衡方程Fx=0Fy=0Fz=0 下一页下一页上一页上一页 下一页下一页上一页上一页例2 有一空间支架固定在相互垂直的墙上。支架垂直于两墙的铰接二力杆OA、OB和钢绳 OC组成。已知：=30，=60，O点吊一重力为G=1.2kN的重物。试求两杆和钢绳所受的力。图中O、A、B、D四点都在同一
5、水平面上，杆和绳的重量均略去不计。j解：取O为研究对象 画受力图列平衡方程，求未知量Fx=0 FB-Fcossin=0Fy=0 FA-Fcoscos=0Fz=0 Fsin-G=0解得：FA=F coscos=2.4cos30cos60=1.04kNFB=F cossin=2.4cos30 sin60=1.8kN 下一页下一页上一页上一页 由于Fz平行于z轴，不能使门转动，所以 Mz(F)=MO(Fxy)=Fxyd+-下一页下一页上一页上一页第三节第三节 力对轴之矩力对轴之矩 力对轴的矩是代数量，其值等于此力在垂直于该轴平面上的投影对该轴与此平面的交点之矩。合力矩定理：合力矩定理：合力FR对某轴
6、之矩等于各分力对 同轴力矩的代数和。Mz(FR)=Mz(F)下一页下一页上一页上一页例3 已知：F=100N，=60，AB=20cm，BC=40cm，CD=15cm，A、B、C、D处于同一水平面。求：F对x、y、z轴之矩。解：Fx=Fcos Fz=-Fsin Mx(F)=-Fz(AB+CD)=-100sin60(20+15)=-3031NcmMy(F)=-FzBC=-100sin60 40=-3464NcmMz(F)=-Fx(AB+CD)=-100cos60(20+15)=-1750Ncm 下一页下一页上一页上一页xyzOF1F2F3F4 某物体在空间任意力系作用下如果平衡，则该物体必须不沿x
7、、y、z三轴方向移动，也不绕x、y、z三轴转动。即满足Fy=0Fz=0Mx(F)=0My(F)=0Mz(F)=0Fx=0空间任意力系的平衡方程空间任意力系的平衡方程 六个独立平衡方程式可以求解六个未知量。还有 四矩式、五矩式和六矩式。下一页下一页上一页上一页第四节第四节 空间任意力系的平衡方程式空间任意力系的平衡方程式对于空间平行力系（力平行于z轴）故空间平行力系的平衡方程式为：xyzOF1F2F3F4空间汇交力系和空间平行力系均为空间一般力系的特殊情况。Mz(F)=0Fx=0Fy=0Fz=0Mx(F)=0My(F)=0 下一页下一页上一页上一页例4 已知：AH=BH=0.5m,CH=1.5m
8、,EH=0.3m,ED=0.5m,G=1.5kN 求：A、B、C三轮所受的压力。解：取小车平板为研究对象并 画受力图 下一页下一页上一页上一页建立坐标系，列平衡方程Mx(F)=0 FcHC GED=0 My(F)=0 G EB Fc HB FA AB=0 Fz=0 FA+FB+FCG=0 FB=G FA FC=1.5 0.95 0.5=0.05kN 下一页下一页上一页上一页FAzFAyFBzFBy 例5 脚踏拉杆装置。已知FP=500N，AB=40cm，AB=CD=20cm，HC=EH=10cm,拉杆与水平成30角，求拉杆的拉力和A、B两轴承的约束反力。解：去整体为研究对象并画受力图建立坐标系
9、，列平衡方程Fy=0 FAy+FByFcos30=0Fz=0 FAz+FBzFsin30 FP=0Mx(F)=0 Fcos30 10 FP20=0My(F)=0 FP20+Fsin3030 FAz40=0Mz(F)=0 -Fcos3030+FAy40=0解得：F=1155N，FAz=683N,FAy=750N FBz=394.5N,FBy=250N 下一页下一页上一页上一页例6 有一起重绞车的鼓轮轴。已知W=10kN,b=c=30cm,a=20cm,大齿轮半径R=20cm,在最高处E点受Fn力作用，Fn与齿轮分度圆切线之夹角为=20，鼓轮半径r=10cm,A、B两端为向心轴承试求齿轮的作用力F
10、n以及AB两轴承承受的压力。FAzFAxFBzFBx解：取鼓轮轴为研究对象，画受力图 下一页下一页上一页上一页建立坐标系，列平衡 方程Fx=0 FAx+FBx+Fncos=0Fz=0 FAz+FBz+FnsinW=0Mx(F)=0 FAz(a+b+c)W(a+b)Fnsina=0My(F)=0 Fncos R Wr=0Mz(F)=0 -Fncos a FAx(a+b+c)=0解得：Fn=5.32kN,FAx=-1.25kN,FAz=6.7kN FBx=-3.75kN,FBz=5.12kN 下一页下一页上一页上一页 在机械工程中，对轴类零件进行设计计算时，常将空间受在机械工程中，对轴类零件进行设
11、计计算时，常将空间受力图投影到三个坐标平面上，得到三个平面力系，分别列出它力图投影到三个坐标平面上，得到三个平面力系，分别列出它们的平衡方程，同样可以解出所有的未知量。这种方法称为空们的平衡方程，同样可以解出所有的未知量。这种方法称为空间问题的平面解法。间问题的平面解法。下一页下一页上一页上一页例7 用平面解法解例6。yz面xy面BFBxFncosAFAx 下一页下一页上一页上一页xz面解：列平衡方程 x z平面：MA(F)=0 FncosRWr=0 y z平面：MB(F)=0 FAz(a+b+c)W(a+b)Fnsina=0 Fz=0 FBz+FAz Fnsin W=0 x y平面：MB(F
12、)=0 FAx(a+b+c)Fncos a=0 Fx=0 Fncos FAx FBx=0 与上题解得结果相同 下一页下一页上一页上一页一、重心的概念一、重心的概念 地球对物体质量的引力即为重力。物体重力的作用点称为物体的重心。二、重心坐标公式二、重心坐标公式由合力矩定理Wxc=(Wk)xkWyc=(Wk)ykWzc=(Wk)zk 下一页下一页上一页上一页第五节第五节 重心重心Wk=Vk 密度令Vk 0 k 则均质物体 下一页下一页上一页上一页三、图形的形心三、图形的形心 对于等厚度的均质平板，其重心位置由(xc,yc)即可确定令则 Sx、Sy称为平面图形对x轴和y轴的面积矩面积矩或静矩静矩。仅
13、对几何图形而言，重心又称为形心形心。下一页下一页上一页上一页关于静矩和形心应注意：关于静矩和形心应注意：根据静矩的定义，同一图形对于不同的坐标轴，静矩各 不相同，可能为正、为负或为零。Sx1 0,Sx20,Sx3=Sy=0若图形对于某一轴的静矩等于零，则该轴必须通过形心。Cyx1x3x2 下一页下一页上一页上一页四、重心及形心位置的求法四、重心及形心位置的求法1.组合法组合法 对于一些常见的简单图形，如圆形、矩形、三角形、正方形等，其形心都是熟知的。利用这些简单图形的形心由组合法即可确定由这些简单图形组成的组合图形的形心。对于由规则图形中去掉一部分或几部分而形成的组合图形，将去掉部分的面积视为负值。下一页下一页上一页上一页例8 已知：R=10cm,r2=3cm,r3=1.7cm 求：偏心块的形心解：x3=0 ,y3=0 xc=0 下一页下一页上一页上一页例9 求T字形截面的形心。解：由于图形对称y轴，故xc=0=45mmxy1202012020A1A2 下一页下一页上一页上一页2.实验法实验法悬挂法称重法MB(F)=0上一页上一页