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1、4.2 4.2 拉普拉斯变换的定义、收敛域拉普拉斯变换的定义、收敛域主要内容主要内容重点：重点：一些常用函数的拉氏变换一些常用函数的拉氏变换难点：拉氏变换的收敛难点：拉氏变换的收敛从傅里叶变换到拉普拉斯变换从傅里叶变换到拉普拉斯变换拉氏变换的收敛拉氏变换的收敛一些常用函数的拉氏变换一些常用函数的拉氏变换一一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换从傅里叶变换到拉普拉斯变换由前章已知傅里叶变换对：由前章已知傅里叶变换对：考考虑虑到到实实际际中中遇遇到到的的信信号号都都是是有有始始（因因果果）信信号号，即即 t t 0 0 时时f f(t t)=0 0，以以及及信信号号虽虽然然不不起起始始于于 0 0，而而问
2、问题题的的讨讨论论只只须须考考虑虑信信号号 的的部部分分。在在这这种种情情况况下下，正正变变换换表表示示式式可可改写为：改写为：但逆变换式的积分限不变。但逆变换式的积分限不变。则则两两式式中中称称F(sF(s）是是f f(t t)的的象象函函数数，f f(t)(t)是是F(sF(s)的的原原函函数数。他他们们称称为为拉拉普普拉拉斯斯变变换换对对，可可以以用用双双箭箭头头表表示示f f(t t)与与F(sF(s)之之 间这种变换与反变换的关系间这种变换与反变换的关系由由上上我我们们可可以以看看到到拉拉氏氏变变换换和和傅傅氏氏变变换换的的形形式式相相似似，拉拉普普拉拉斯斯变变换换与与傅傅里里叶叶变
3、变换换的的基基本本区区别别在在于于：傅傅里里叶叶变变换换是是将将时时间间域域函函数数f f(t t)变变换换为为频频率率域域函函数数F(F()，或或作作相相反反的的变变换换，此此处处时时域域变变量量 t t 和和频频域域变变量量 都都是是实实数数；而而拉拉普普拉拉斯斯变变换换则则是是将将时时间间域域函函数数f f(t t)变变换换为为复复频频域域函函数数F(sF(s)，或或作作相相反反的的变变换换，这这里里时时域域变变量量 t t 是是实实数数，复复频频变变量量 s s 是是复复数数。概概括括地地说说，傅傅里里叶叶变变换换建建立立了了时时域域和和频频域域 (域域)间间的的联联系系，而而拉拉普普
4、拉斯变换则建立了时域和复频域（拉斯变换则建立了时域和复频域（S S域）间的联系。域）间的联系。从以上讨论可知，当信号从以上讨论可知，当信号f(t)f(t)乘以收敛因子乘以收敛因子e e-t t后，就有后，就有可能满足绝对可积的条件。然而，是否一定满足，还要看可能满足绝对可积的条件。然而，是否一定满足，还要看f f(t)(t)的性质与的性质与 值的相对关系而定。也就是说，对于某一函值的相对关系而定。也就是说，对于某一函数数f(t)f(t)，通常并不是在所有的，通常并不是在所有的 值上都能使式值上都能使式(4.1-5)(4.1-5)的的积分收敛，即并不是对所有的积分收敛，即并不是对所有的 值而言，
5、函数值而言，函数 f(t)f(t)都存在拉普拉斯变换，而只是在都存在拉普拉斯变换，而只是在 值的一定范围内，值的一定范围内，f(t f(t)才存在拉普拉斯变换。才存在拉普拉斯变换。在收敛域内，函数的拉普拉斯变在收敛域内，函数的拉普拉斯变换存在，在收敛域外，函数的拉普拉斯变换不存在。换存在，在收敛域外，函数的拉普拉斯变换不存在。二拉氏变换的收敛二拉氏变换的收敛 通常把使通常把使 f(t)ef(t)e-t t满足绝对可积条件的满足绝对可积条件的 值的范围称为拉普值的范围称为拉普拉斯变换的收敛域，实际上就是拉氏变换存在的条件。拉斯变换的收敛域，实际上就是拉氏变换存在的条件。有关拉氏变换收敛域的几点说明有关拉氏变换收敛域的几点说明6.6.一般求函数的单边拉氏变换可以不加注其收敛范围。一般求函数的单边拉氏变换可以不加注其收敛范围。三一些常用函数的拉氏变换三一些常用函数的拉氏变换1.阶跃函数2.2.指数函数指数函数3 3t tn nu(tu(t)（n n是正整数）是正整数）全全s域平面收敛域平面收敛 3.3.单位冲激信号单位冲激信号思考题思考题1.1.什么是拉普拉斯变换及其逆变换？什么是拉普拉斯变换及其逆变换？2.2.拉普拉斯变换存在的条件？拉普拉斯变换存在的条件？3.3.常用函数的拉氏变换（阶跃函数、指数常用函数的拉氏变换（阶跃函数、指数 函数等函数等)