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1、第十三章第十三章 拉普拉斯变换拉普拉斯变换内容提要内容提要:本章介绍拉普拉斯变换法在线性电路分析本章介绍拉普拉斯变换法在线性电路分析中的应用。中的应用。主要内容有：拉普拉斯变换的主要内容有：拉普拉斯变换的定义定义，拉普，拉普拉斯变换与电路分析有关的一些基本拉斯变换与电路分析有关的一些基本性质性质，求，求拉普拉斯反变换的拉普拉斯反变换的部分分式法部分分式法(分解定理分解定理)，还，还将介绍将介绍KCL和和KVL的运算形式，运算阻抗，运的运算形式，运算阻抗，运算导纳及算导纳及运算电路模型运算电路模型并通过实例说明它们并通过实例说明它们在电路分析中的在电路分析中的应用应用。13-1 拉普拉斯变换的定
2、义拉普拉斯变换的定义 13-2 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质 13-3 拉普拉斯反变换的部分分式展开拉普拉斯反变换的部分分式展开 13-4 运算电路运算电路 13-5 应用拉普拉斯变换法分析线性电路应用拉普拉斯变换法分析线性电路v 重重 点点1、电路电路的运算的运算(复频域复频域)模型模型2、拉普拉斯反变换的部分分式展开拉普拉斯反变换的部分分式展开3、应用拉氏变换分析线性电路、应用拉氏变换分析线性电路v 难难 点点 部分分式展开部分分式展开序序 1、变换、变换-电路分析的桥梁和杠杆电路分析的桥梁和杠杆2、拉普拉斯变换的优点、拉普拉斯变换的优点（1）微分方程）微分方程 代数方程代
3、数方程（2）运算法）运算法 相量法相量法（3）直接求得暂态响应和稳态响应）直接求得暂态响应和稳态响应（4）面对一切解析激励）面对一切解析激励 对于具有多个动态元件的复杂电路，用直接求解微分对于具有多个动态元件的复杂电路，用直接求解微分方程的方法比较困难方程的方法比较困难。例如对于一个。例如对于一个n阶方程，直接求解阶方程，直接求解时需要知道变量及其各阶导数时需要知道变量及其各阶导数直至直至(n-1)价导数价导数在在t=0+时刻的值，而电路中给定的初始状态是各电感电流时刻的值，而电路中给定的初始状态是各电感电流和电容电压和电容电压t=0+时刻的值，从这些值求得所需初始条件时刻的值，从这些值求得所
4、需初始条件的工作量很大。的工作量很大。积分变换法积分变换法是通过积分变换，把已知的时域函数变换是通过积分变换，把已知的时域函数变换为频域函数，从而把时域的微分方程化为频域函数的代数为频域函数，从而把时域的微分方程化为频域函数的代数方程。求出频域函数后，再作反变换，返回时域，可以求方程。求出频域函数后，再作反变换，返回时域，可以求得满足电路初始条件的原微分方程的解答，而不需要确定得满足电路初始条件的原微分方程的解答，而不需要确定积分常数。积分常数。拉普拉斯变换和傅里叶变换都是积分变换，但拉普拉拉普拉斯变换和傅里叶变换都是积分变换，但拉普拉斯变换比傅里叶变换有更广泛的适用性，所以斯变换比傅里叶变换
5、有更广泛的适用性，所以拉普拉斯变拉普拉斯变换法是求解高阶复杂动态电路的有效而重要的方法之一换法是求解高阶复杂动态电路的有效而重要的方法之一。13-1 拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义1、拉氏变换定义、拉氏变换定义 名词名词 F(s)为为f(t)的的象函数象函数象函数象函数f(t)为为F(s)的的原函数原函数原函数原函数S=+j 为为复频率复频率复频率复频率2、常用的拉氏变换对、常用的拉氏变换对 正正变换变换 反变换反变换 13-2 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质1、线性性质、线性性质基本性质基本性质:唯一性：唯一性：原函数原函数f(t)与象函数与象函数F(s)一一对应一一对应
6、线性性：线性性：，则：，则：L 时域导数特性：时域导数特性：时域积分特性：时域积分特性：LLL线性动态电路方程的拉氏变换解线性动态电路方程的拉氏变换解反反变换的概念变换的概念 13-3 拉普拉斯反变换的部分分式展开拉普拉斯反变换的部分分式展开一、关于象函数一、关于象函数F(s)一般为实系数有理分式要求要求,否则,先化为真分数(用分式除法)n n m求其反求其反变换变换 f(t)的基本思路是的基本思路是 作部分分式展开查表得之二、部分分式法求反拉氏变换二、部分分式法求反拉氏变换1、当、当D(s)=0有有n个不同的实根时个不同的实根时其中：其中：i =1,2,3,n有有:即即有有当当求反拉氏变换求
7、反拉氏变换例题例题已知已知求求其中：其中：所以所以2、当、当D(s)=0有有q个相同实根时个相同实根时其中：其中：例题例题求求其中：其中：已知已知所以所以3、当、当D(s)=0有共轭复根时有共轭复根时其中：其中：反变换反变换:例题例题求求已知已知其中：其中：所以所以13-4 运算电路运算电路直接列写关于象函数的电路方程直接列写关于象函数的电路方程建立电路元件的运算模型建立电路元件的运算模型建立运算形式的建立运算形式的KCL,KVL关系关系建立运算电路模型建立运算电路模型求解求解基本思路：基本思路：一、一、运算形式的运算形式的KCL、KVL：二、元件的二、元件的运算运算模型模型1、电阻、电阻2、
8、电容、电容3、电感、电感当动态元件初始储能为零时：当动态元件初始储能为零时：+U1(s)U2(s)SL1SL2sMI1(s)I2(s)+L1i1(0_)L2i2(0_)Mi2(0_)Mi1(0_)(b)4、互感、互感L1L2+u 1 u 2M i 1 i 2(a)三、三、电路的运算模型实例电路的运算模型实例:运算运算电路电路135 应用拉普拉斯变换法分析线性电路应用拉普拉斯变换法分析线性电路 运算法运算法与与相量法相量法的的基本思想类似基本思想类似。相量法把正弦量变换为相量相量法把正弦量变换为相量(复数复数)，从而把求解线性电路的正，从而把求解线性电路的正弦稳态问题归结为以弦稳态问题归结为以相
9、量为变量的线性代数方程相量为变量的线性代数方程。运算法把时间函数变换为对应的象函数，从而把问题归结为求运算法把时间函数变换为对应的象函数，从而把问题归结为求解解以象函数为变量的线性代数方程以象函数为变量的线性代数方程。当电路的所有独立初始条件为。当电路的所有独立初始条件为零时，电路元件零时，电路元件VAR的相量形式与运算形式是类似的，加之的相量形式与运算形式是类似的，加之KCL和和KVL的相量形式与运算形式也是类似的，所以对于同一电路列出的的相量形式与运算形式也是类似的，所以对于同一电路列出的相量方程和零状态下的运算形式的方程在形式上相量方程和零状态下的运算形式的方程在形式上 相似，但这两种方
10、相似，但这两种方程具有不同的意义。在非零状态条件下，电路方程的运算形式中还程具有不同的意义。在非零状态条件下，电路方程的运算形式中还应考虑附加电源的作用。应考虑附加电源的作用。当电路中的非零当电路中的非零 独立初始条件考虑成附加独立初始条件考虑成附加电源之后，电路方程的运算形式与相量方程类似电源之后，电路方程的运算形式与相量方程类似。可见相量法中各种计算方法和定理在形式上完全可以移用于运可见相量法中各种计算方法和定理在形式上完全可以移用于运算法。在运算法中求得象函数之后，利用拉氏反变换就可以求得对算法。在运算法中求得象函数之后，利用拉氏反变换就可以求得对应的时间函数。应的时间函数。一、运算法的
11、基本思想一、运算法的基本思想:二、具体步骤二、具体步骤 1、作电路的运算模型，注意、作电路的运算模型，注意 、仍仍在时域电路求取；在时域电路求取；2、采用相量法中的各种方法，列出待求象函数的、采用相量法中的各种方法，列出待求象函数的电路方程；电路方程；3、解出象函数，然后作部分分式展开，查表求得、解出象函数，然后作部分分式展开，查表求得待求量时域值。待求量时域值。三、三、例题例题1、求电路的零状态响应、求电路的零状态响应 运算运算电路电路其中其中2、求、求uR、iC2 运算运算电路电路所以所以3、已知：、已知：求：响应求：响应 uc(t),iL(t)运算运算电路电路据节点法：据节点法：结语：结语：变换是变换是更高级复杂意义上的更高级复杂意义上的简化。简化。变换变换是是电路分析的电路分析的杠杆和桥梁。杠杆和桥梁。