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1、2.4 2.4 正态分布正态分布 临高中学临高中学 杨亮杨亮弗朗西斯弗朗西斯高尔顿高尔顿(1822(18221911)1911)英国科学家和探险家，英国科学家和探险家，入选入选英国皇家学会英国皇家学会，晚，晚年受封为爵士。他的学年受封为爵士。他的学术研究兴趣广泛，包括术研究兴趣广泛，包括人类学、地理、数学、人类学、地理、数学、力学、气象学、心理学、力学、气象学、心理学、统计学等方面。统计学等方面。高尔顿板高尔顿板他是他是达尔文达尔文的表弟，关的表弟，关于人类官能的研究开辟了于人类官能的研究开辟了个体心理和心理测验研究个体心理和心理测验研究的新途径。的新途径。“物物竞竞天天择择，适适者者生生存存
2、”达尔文达尔文 你见过高尔顿板吗？如图所示你见过高尔顿板吗？如图所示的就是一块高尔顿板示意图的就是一块高尔顿板示意图.在一在一块木板上钉着若干块木板上钉着若干排排相互平行相互平行但但相互错开相互错开的的圆柱形小木块圆柱形小木块，小木，小木块之间块之间留有适当的空隙作为通留有适当的空隙作为通道道，前面挡有一块玻璃，前面挡有一块玻璃.让一个让一个个个小球从小球从高尔顿板高尔顿板上方的通道口落下上方的通道口落下，小球在下落过，小球在下落过程中程中与层层小木块碰撞与层层小木块碰撞，最后掉入高尔顿板，最后掉入高尔顿板下方的某下方的某一球槽内一球槽内.高尔顿板高尔顿板温故引新（置疑）温故引新（置疑）置置疑
3、疑发发现现认认识识应应用用再再发发现现再再认认识识再再应应用用内内化化当球的数目相当大，它们在底板将组成近似中间高两当球的数目相当大，它们在底板将组成近似中间高两头低，成左右对称的图形头低，成左右对称的图形.知识目标：知识目标：1 1利用实际问题的直方图，利用实际问题的直方图，了解正态曲线的特征和了解正态曲线的特征和正态正态曲线所表示的曲线所表示的意义意义2 2能借助正态曲线的图象理解能借助正态曲线的图象理解正态曲线的性质正态曲线的性质及意义及意义(重点重点)3 3会根据正态曲线的性质会根据正态曲线的性质求随机变量在某一求随机变量在某一特定特定区间的区间的概率概率(难点难点)核心素养：核心素养
4、：1.1.通过本节重点正态曲线解析式与相应图像剖析渗透数学通过本节重点正态曲线解析式与相应图像剖析渗透数学抽象素养及数形结合的思想方法。抽象素养及数形结合的思想方法。2.2.通过本节难点如何求某一区间概率提升学生数学运算及通过本节难点如何求某一区间概率提升学生数学运算及数据分析的核心素养。数据分析的核心素养。重点：重点：能借助正态曲线的图象理解正态曲线的性质及意义能借助正态曲线的图象理解正态曲线的性质及意义尝试解题（应用）尝试解题（应用）置置疑疑发发现现认认识识应应用用再再发发现现再再认认识识再再应应用用内内化化重点：重点：能借助正态曲线的图象理解正态曲线的性质及意义能借助正态曲线的图象理解正
5、态曲线的性质及意义难点：难点：会根据正态曲线的性质求随机变量在某一会根据正态曲线的性质求随机变量在某一特定特定区间的概率区间的概率变式提升（应用）变式提升（应用）深入剖析（再发现）深入剖析（再发现）置置疑疑发发现现认认识识应应用用再再发发现现再再认认识识再再应应用用内内化化难点：难点：会根据正态曲线的性质求随机变量在某一会根据正态曲线的性质求随机变量在某一特定特定区间的概率区间的概率能力提升（再认识）能力提升（再认识）置置疑疑发发现现认认识识应应用用再再发发现现再再认认识识再再应应用用内内化化难点：难点：会根据正态曲线的性质求随机变量在某一会根据正态曲线的性质求随机变量在某一特定特定区间的概率
6、区间的概率素养提升（再应用）素养提升（再应用）置置疑疑发发现现认认识识应应用用再再发发现现再再认认识识再再应应用用内内化化|4|4|2|2|6|6|68.27%68.27%95.45%95.45%99.73%99.73%正态曲线的性质正态曲线的性质正态分布正态分布正态分布与正态分布与正态曲线的概念正态曲线的概念正态分布的简单计算正态分布的简单计算非负性非负性 定值性定值性对称性对称性 单调性单调性总结（内化）总结（内化）置置疑疑发发现现认认识识应应用用再再发发现现再再认认识识再再应应用用内内化化难点：难点：会根据正态曲线的性质求随机变量在某一会根据正态曲线的性质求随机变量在某一特定特定区间的概
7、率区间的概率重点：重点：能借助正态曲线的图象理解正态曲线的性质及意义能借助正态曲线的图象理解正态曲线的性质及意义总结（内化）总结（内化）置置疑疑发发现现认认识识应应用用再再发发现现再再认认识识再再应应用用内内化化在本节课的重点正态曲线性质的研究中对比指数在本节课的重点正态曲线性质的研究中对比指数函数与二次函数培养了大家函数与二次函数培养了大家逻辑推理逻辑推理和和数学抽象数学抽象的核心素养及的核心素养及数形结合数形结合的思想方法的思想方法在本节课的难点正态分布曲线在某一特定区间在本节课的难点正态分布曲线在某一特定区间概率的研究中训练了大家概率的研究中训练了大家数据分析数据分析和和数学运算数学运算
8、及及数学建模数学建模的核心素养及构造转化的数学思想的核心素养及构造转化的数学思想方法。方法。难点：难点：会根据正态曲线的性质求随机变量在某一会根据正态曲线的性质求随机变量在某一特定特定区间的概率区间的概率重点：重点：能借助正态曲线的图象理解正态曲线的性质及意义能借助正态曲线的图象理解正态曲线的性质及意义【研讨交流研讨交流】难点：难点：会根据正态曲线的性质求随机变量在某一会根据正态曲线的性质求随机变量在某一特定特定区间的概率区间的概率置置疑疑发发现现认认识识应应用用再再发发现现再再认认识识再再应应用用内内化化高尔顿（钉）板与杨辉三角及二项分布的关系高尔顿（钉）板与杨辉三角及二项分布的关系 从入口
9、处放入一个直径略小于两颗钉子间隔的小球，当从入口处放入一个直径略小于两颗钉子间隔的小球，当小球从两钉之间的间隙下落时，由于碰到下一排铁钉，它将小球从两钉之间的间隙下落时，由于碰到下一排铁钉，它将以相等的可能性向左或向右落下，接着小球再通过两钉的间以相等的可能性向左或向右落下，接着小球再通过两钉的间隙，又碰到下一排铁钉。如此继续下去，小球最后落入下方隙，又碰到下一排铁钉。如此继续下去，小球最后落入下方条状的格子内。（在条状的格子内。（在n n3 3、4 4、5 5、k k条件下）条件下）1 1计算小球落入各个格子所有可能路线的数目。（提示：考计算小球落入各个格子所有可能路线的数目。（提示：考虑它
10、与杨辉三角的关系）虑它与杨辉三角的关系）2 2计算小球落入各个格子的概率。（提示：考虑它与二项分计算小球落入各个格子的概率。（提示：考虑它与二项分布的关系）布的关系）【研讨交流研讨交流】如果我们投一辈子石块，即使闭着眼睛，也肯定有一次击中成功.“物物竞竞天天择择，适适者者生生存存”再见再见探究点探究点1 1 正态分布的相关概念正态分布的相关概念问题一：问题一：通过高尔顿板试验通过高尔顿板试验，你有什么，你有什么发现发现？能？能解释一下产生这种现象的理由吗？解释一下产生这种现象的理由吗？落在中间球槽内的小落在中间球槽内的小球多，落在两边球槽内的球多，落在两边球槽内的小球少；小球落在中间球小球少；
11、小球落在中间球槽内的概率比落在两边球槽内的概率比落在两边球槽内的概率大槽内的概率大.探究新知（探究新知（发现发现）置置疑疑发发现现认认识识应应用用再再发发现现再再认认识识再再应应用用内内化化重点：重点：能借助正态曲线的图象理解正态曲线的性质及意义能借助正态曲线的图象理解正态曲线的性质及意义知识目标知识目标1.1.正态曲线的特征和正态曲线所表示的意义正态曲线的特征和正态曲线所表示的意义问题二：问题二：以球槽的编号为横坐标，小球落入各个球以球槽的编号为横坐标，小球落入各个球槽内的频率值为纵坐标，则在各个球槽内小球的分槽内的频率值为纵坐标，则在各个球槽内小球的分布情况用频率分布直方图如何表示？布情况
12、用频率分布直方图如何表示？探究新知（探究新知（发现发现）置置疑疑发发现现认认识识应应用用再再发发现现再再认认识识再再应应用用内内化化知识目标知识目标1.1.正态曲线的特征和正态曲线所表示的意义正态曲线的特征和正态曲线所表示的意义问题三：问题三：频率分布的折线图大致是一条什么形状的频率分布的折线图大致是一条什么形状的曲线？曲线？x xy yO O钟形曲线钟形曲线探究新知（探究新知（发现发现）置置疑疑发发现现认认识识应应用用再再发发现现再再认认识识再再应应用用内内化化知识目标知识目标1.1.正态曲线的特征和正态曲线所表示的意义正态曲线的特征和正态曲线所表示的意义 这条曲线是函数这条曲线是函数的图象
13、，其中的图象，其中 和和(0)0)为参数，并称该函数为参数，并称该函数的图象为的图象为正态分布密度曲线正态分布密度曲线，简称简称正态曲线正态曲线.x xy yO O钟形曲线钟形曲线知识目标知识目标1.1.正态曲线的特征和正态曲线所表示的意义正态曲线的特征和正态曲线所表示的意义置置疑疑发发现现认认识识应应用用再再发发现现再再认认识识再再应应用用内内化化问题五：问题五：从正态曲线分析，随机变量从正态曲线分析，随机变量X X在区间在区间(a(a，bb内取值的概率有什么几何意义？在理论上如何计算？内取值的概率有什么几何意义？在理论上如何计算？x xy yO Oab知识目标知识目标1.1.正态曲线的特征
14、和正态曲线所表示的意义正态曲线的特征和正态曲线所表示的意义探究新知（探究新知（发现发现）置置疑疑发发现现认认识识应应用用再再发发现现再再认认识识再再应应用用内内化化几何意义：由正态曲线，过点（几何意义：由正态曲线，过点（a,0a,0）和点（）和点（b,0b,0）的两条的两条x x轴的垂线，及轴的垂线，及x x轴所围成的平面图形的面积，轴所围成的平面图形的面积，就是就是x x落在区间（落在区间（a,ba,b的概率的近似值的概率的近似值.知识目标知识目标1.1.正态曲线的特征和正态曲线所表示的意义正态曲线的特征和正态曲线所表示的意义x xy yO Oab置置疑疑发发现现认认识识应应用用再再发发现现
15、再再认认识识再再应应用用内内化化 一般地，如果对于任何实数一般地，如果对于任何实数a,b(aa,b(ab)b)，随机，随机变量变量X X满足满足 ，则称，则称X X的分的分布为正态分布，记作布为正态分布，记作X XN(N(，2 2).).其中其中 ，为为参数参数.知识目标知识目标1.1.正态曲线的特征和正态曲线所表示的意义正态曲线的特征和正态曲线所表示的意义探究新知（探究新知（发现发现）置置疑疑发发现现认认识识应应用用再再发发现现再再认认识识再再应应用用内内化化问题六：问题六：X XN(N(，2 2).).其中参数其中参数 ，分别是随机变分别是随机变量取值的什么特征数？量取值的什么特征数？参数
16、参数 是反映随机变量取值的平均水平的特征是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；数，可以用样本的均值去估计；参数参数是衡量随机变量总体波动大小的特征数，是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计可以用样本的标准差去估计.知识目标知识目标1.1.正态曲线的特征和正态曲线所表示的意义正态曲线的特征和正态曲线所表示的意义置置疑疑发发现现认认识识应应用用再再发发现现再再认认识识再再应应用用内内化化探究新知（探究新知（发现发现）已知正已知正态态分布密度函数分布密度函数为为 x(-,+),x(-,+),则该则该正正态态分布的均分布的均值为值为_,_,标标准差准差为为
17、_._.【解析解析】对对照正照正态态分布密度函数分布密度函数,(x)=(x)=x(-,+)x(-,+)可得可得=0,=.=0,=.答案答案:0 0【即时训练即时训练】知识目标知识目标：正态曲线的特征和正态曲线所表示的意义：正态曲线的特征和正态曲线所表示的意义置置疑疑发发现现认认识识应应用用再再发发现现再再认认识识再再应应用用内内化化探究新知（探究新知（发现发现）问题一：问题一：观察正态曲线，正态曲线的特点有哪些观察正态曲线，正态曲线的特点有哪些？（1 1）曲线位于）曲线位于x x轴上方，与轴上方，与x x轴不相交轴不相交.x xy yO O(2)(2)曲线是单峰的，它关于直曲线是单峰的，它关于
18、直线线x x 对称对称.(4)(4)曲线与曲线与x x轴之间的面积为轴之间的面积为1.1.(3)(3)曲线在曲线在x x 处达到峰值处达到峰值 .重点：重点：能借助正态曲线的图象理解正态曲线的性质及意义能借助正态曲线的图象理解正态曲线的性质及意义点拔强化（认识）点拔强化（认识）置置疑疑发发现现认认识识应应用用再再发发现现再再认认识识再再应应用用内内化化知识目标知识目标：正态曲线的特征和正态曲线所表示的意义：正态曲线的特征和正态曲线所表示的意义问题二：问题二：根据函数根据函数 (x)(x)的解析式分析，若的解析式分析，若为为定值，当定值，当 变化时正态曲线如何变化？变化时正态曲线如何变化？变化时
19、曲线沿变化时曲线沿x x轴左右平移轴左右平移.点拔强化（认识）点拔强化（认识）重点：重点：能借助正态曲线的图象理解正态曲线的性质及意义能借助正态曲线的图象理解正态曲线的性质及意义置置疑疑发发现现认认识识应应用用再再发发现现再再认认识识再再应应用用内内化化问题三：问题三：若若 为定值，当为定值，当变化时正态曲线的极值变化时正态曲线的极值大小如何变化？正态曲线的形状如何变化？大小如何变化？正态曲线的形状如何变化？x xy yO O越小，曲线越越小，曲线越“瘦高瘦高”，总体，总体分布越集中；分布越集中；越大，曲线越越大，曲线越“矮胖矮胖”，总，总体分布越分散体分布越分散.1 1=1=1=0.5=0.
20、5=1=1=2=2点拔强化（认识）点拔强化（认识）重点：重点：能借助正态曲线的图象理解正态曲线的性质及意义能借助正态曲线的图象理解正态曲线的性质及意义置置疑疑发发现现认认识识应应用用再再发发现现再再认认识识再再应应用用内内化化P(P(X X )0.68270.6827，P(P(22X X 2)2)0.95450.9545，P(P(33X X 3)3)0.99730.9973，如何理解这几个数据的实际意义？如何理解这几个数据的实际意义？正态分布在各正态分布在各邻域内取值的概率邻域内取值的概率.问题四：问题四：正态分布的正态分布的33原则原则|4|4|2|2|6|6|68.27%68.27%95.
21、45%95.45%99.73%99.73%难点：难点：会根据正态曲线的性质求随机变量在某一会根据正态曲线的性质求随机变量在某一特定特定区间的概率区间的概率置置疑疑发发现现认认识识应应用用再再发发现现再再认认识识再再应应用用内内化化22223333难点：难点：会根据正态曲线的性质求随机变量在某一会根据正态曲线的性质求随机变量在某一特定特定区间的概率区间的概率深入剖析（再发现）深入剖析（再发现）置置疑疑发发现现认认识识应应用用再再发发现现再再认认识识再再应应用用内内化化x xy yO O=2=1-13-+P(P(X X )0.68270.6827P(P(22X X 2)2)0.95450.9545
22、，P(P(33X X 3)3)0.99730.9973，由由P(P(33X X 3)3)0.997 30.997 3可知，正态可知，正态总体有总体有99.73%99.73%的取值落在区间的取值落在区间(3,3,33内，即在此区间外取值的概率只有内，即在此区间外取值的概率只有0.002 7.0.002 7.通常认为通常认为在一次试验中，随机变量取这个区间外的值几乎不在一次试验中，随机变量取这个区间外的值几乎不可能发生，或者认为如果随机变量可能发生，或者认为如果随机变量X XN(N(，2 2)，则则X X只取区间只取区间(3,3,33内的值，这个理论内的值，这个理论称为称为33原则原则.正态分布的正态分布的33原则原则置置疑疑发发现现认认识识应应用用再再发发现现再再认认识识再再应应用用内内化化