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1、2.4 正态分布正态分布高二数学高二数学 选修选修2-3 引入引入 连续型随机变量可能取某个区间上的任何值，所连续型随机变量可能取某个区间上的任何值，所以通常感兴趣的是它落在某个区间的概率以通常感兴趣的是它落在某个区间的概率.离散型随离散型随机变量的概率分布规律用分布列描述，而机变量的概率分布规律用分布列描述，而连续型随连续型随机变量的概率分布规律用密度曲线描述机变量的概率分布规律用密度曲线描述.思考：思考：连续型随机变量的概率分布规律又怎样研连续型随机变量的概率分布规律又怎样研究呢？究呢？频率分布频率分布直方图直方图教教 学学 情情 景景 96 114 128 106 89 97 103 1
2、14 109 101106 104 97 93 117 108 104 113 94 108 87 112 109 117 102 97 113 109 89 101105 104 99 101 117 108 104 97 94 99103 112 98 85 106 89 97 103 125 109 101 106 124 97 109 117 108 104 104 94 108 96 106 85 106 89 99 106 112 103 129 89 96 123 85 106 102 97 103 114 109 101 106 115 97 93 117 108 104 11
3、2 113 108 96 98 85 106 89 97 103 114第一步：求极差第一步：求极差；1298544第二步：确定组数，组距；第二步：确定组数，组距；44/5=8.8第三步：将数据分第三步：将数据分9组；组；85,90,(90,95,(125,130区区间间号号区区间间频频数数频频率率频频率率/组组距距185,9020.020.0042(90,9570.070.0143(95,100110.110.0224(100,105150.150.0305(105,110250.250.0506(110,115200.200.0407(115,120120.120.0248(120,125
4、60.060.1209(125,13020.020.004第四步：列出频率分布表第四步：列出频率分布表第五步：画出频率分布直方图第五步：画出频率分布直方图xy频率频率/组距组距0 85 90 95 100 105 110 115 120 125 1300.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 中间高，两头低，左右大致对称频率组距组距ab 若数据无限增多且组距无限缩小，那么频率分布直方图的顶边缩小乃至形成一条光滑的曲线，我们称此曲线为总体密度曲线总体在区间 内取值的概率总体密度曲线总体密度曲线的形状特征“中间高，两头低，左右对称”总体密度曲线总体密度曲线.,.,.14.2?的某
5、一球槽内的某一球槽内最后掉入高尔顿板下方最后掉入高尔顿板下方与层层小木块碰撞与层层小木块碰撞程中程中小球在下落过小球在下落过通道口落下通道口落下上方的上方的让一个小球从高尔顿板让一个小球从高尔顿板前面挡有一块玻璃前面挡有一块玻璃隙作为通道隙作为通道空空小木块之间留有适当的小木块之间留有适当的木块木块形小形小柱柱互平行但相互错开的圆互平行但相互错开的圆排相排相在一块木板上钉上若干在一块木板上钉上若干图图板示意板示意所示的就是一块高尔顿所示的就是一块高尔顿图图你见过高尔顿板吗你见过高尔顿板吗-我们以球槽的编号为横坐标，以小球落入各个球槽的我们以球槽的编号为横坐标，以小球落入各个球槽的频率值为纵坐标
6、，可以画出频率分布直方图频率值为纵坐标，可以画出频率分布直方图123456 球槽编号球槽编号频率频率组距组距 新课探究新课探究7891011试验试验思考：球槽数增加，重复次数增加，频思考：球槽数增加，重复次数增加，频率分布直方图怎么变化？率分布直方图怎么变化？频率频率组距组距随着重复次数的增加，球槽数增加随着重复次数的增加，球槽数增加直方图的形状会越来越像一条直方图的形状会越来越像一条“钟钟形形”曲线曲线 球槽编号球槽编号 新课探究新课探究这条曲线（这条曲线（就是或近似地是）就是或近似地是）下面函数的图象：下面函数的图象：正态分布密度曲线定义：正态分布密度曲线定义：例例1、下列函数是正态密度函
7、数的是（、下列函数是正态密度函数的是（）A.B.C.D.B 若用若用X表示落下的小球第表示落下的小球第1次与高尔顿板底部接触时次与高尔顿板底部接触时的坐标的坐标,则则X是一个随机变量是一个随机变量.X落在区间落在区间(a,b的概率为的概率为:2.正态分布的定义正态分布的定义:如果对于任何实数如果对于任何实数 ab,随机变量随机变量X满足满足:则称为则称为X 的正态分布的正态分布.正态分布由参数、唯一确定.正态分布记作N（，2）.如果随机变量如果随机变量X服从正态分布，服从正态分布，则记作则记作 X N（，2）m m 的意义的意义产品 尺寸(mm)x1x2总体平均数总体平均数反映总体随机变量的反
8、映总体随机变量的 平均水平平均水平x3x4平均数x x=产品 尺寸(mm)总体标准差总体标准差反映总体随机变量的反映总体随机变量的 集中与分散的程度集中与分散的程度平均数平均数 s s的意义的意义正态总体正态总体的函数表示式的函数表示式当=0，=1时标准正态总体标准正态总体的函数表示式的函数表示式012-1-2xy-33=0=1标准正态曲线3、正态曲线的性质、正态曲线的性质012-1-2xy-3=-1=0.5012-1-2xy-33=0=1012-1-2xy-334=1=2具有具有两头低、中间高、左右对称两头低、中间高、左右对称的基本特征的基本特征012-1-2xy-3=-1=0.5012-1
9、-2xy-33=0=1012-1-2xy-334=1=2（1 1）曲线在）曲线在x轴的上方，与轴的上方，与x轴不相交轴不相交.（2）曲线是单峰的）曲线是单峰的,它关于直线它关于直线x=对称对称.正态曲线的性质正态曲线的性质（4）曲线与）曲线与x轴之间的面积为轴之间的面积为1（3）曲线在）曲线在x=处达到峰值处达到峰值(最高点最高点)方差相等、均数不等的正态分布图示方差相等、均数不等的正态分布图示312=0.5=-1=0=1若若 固定固定,随随 值值的变化而的变化而沿沿x轴平轴平移移,故故 称为位置称为位置参数；参数；均值相等、方差不等的正态分布图示均值相等、方差不等的正态分布图示=0.5=1=
10、2=0若若 固定固定,大大时时,曲线矮而胖；曲线矮而胖；小时小时,曲线瘦曲线瘦而高而高,故称故称 为形状参数。为形状参数。=0.5012-1-2xy-33X=1=2(6)当当一定时，曲线的形状由一定时，曲线的形状由确定确定.越大，曲线越越大，曲线越“矮胖矮胖”，表示总体的分布越分散；，表示总体的分布越分散；越小，曲线越越小，曲线越“瘦高瘦高”，表示总体的分布越集中，表示总体的分布越集中.（5）当）当 x时时,曲线下降曲线下降.并且当曲线并且当曲线向左、右两边无限延伸时向左、右两边无限延伸时,以以x轴为渐近线轴为渐近线,向它无限靠近向它无限靠近.正态曲线的性质正态曲线的性质例例 把一个正态曲线把
11、一个正态曲线a沿着横轴方向向右移动沿着横轴方向向右移动2个单位，个单位，得到新的一条曲线得到新的一条曲线b。下列说法中不正确的是（。下列说法中不正确的是（）A.曲线曲线b仍然是正态曲线；仍然是正态曲线；B.曲线曲线a和曲线和曲线b的最高点的纵坐标相等的最高点的纵坐标相等;C.以曲线以曲线b为概率密度曲线的总体的期望比以曲线为概率密度曲线的总体的期望比以曲线a为为概率密度曲线的总体的期望大概率密度曲线的总体的期望大2;D.以曲线以曲线b为概率密度曲线的总体的方差比以曲线为概率密度曲线的总体的方差比以曲线a为为概率密度曲线的总体的方差大概率密度曲线的总体的方差大2。D正态曲线下的面积规律正态曲线下
12、的面积规律X轴与正态曲线所夹面积恒等于轴与正态曲线所夹面积恒等于1。对称区域面积相等。对称区域面积相等。S(-,-X)S(X,)S(-,-X)正态曲线下的面积规律正态曲线下的面积规律对称区域面积相等。对称区域面积相等。S(-x1,-x2)-x1 -x2 x2 x1S(x1,x2)=S(-x2,-x1)4、特殊区间的概率、特殊区间的概率:m m-am m+ax=若若XN ,则对于任何实数则对于任何实数a0,概率概率 为如图中的阴影部分的面积，对于固定的为如图中的阴影部分的面积，对于固定的 和和 而言，该面而言，该面积随着积随着 的减少而变大。这说明的减少而变大。这说明 越小越小,落在区间落在区间
13、 的概率越大，即的概率越大，即X集中在集中在 周围概率越大。周围概率越大。特别地有特别地有 我们从上图看到，正态总体在我们从上图看到，正态总体在 以外取值的概率只有以外取值的概率只有4.6，在，在 以外以外取值的概率只有取值的概率只有0.3。由于这些概率值很小（一般不超过由于这些概率值很小（一般不超过5 ），），通常称这些情况发生为通常称这些情况发生为小概率事件小概率事件。例例4、在某次数学考试中，考生的成绩、在某次数学考试中，考生的成绩 服从一个正服从一个正态分布，即态分布，即 N(90,100).（1）试求考试成绩）试求考试成绩 位于区间位于区间(70,110)上的概率是上的概率是多少？多
14、少？（2）若这次考试共有）若这次考试共有2000名考生，试估计考试成绩名考生，试估计考试成绩在在(80,100)间的考生大约有多少人？间的考生大约有多少人？练习：练习：1、已知一次考试共有、已知一次考试共有60名同学参加，考生的名同学参加，考生的成绩成绩X ，据此估计，大约应有，据此估计，大约应有57人的分人的分数在下列哪个区间内？（数在下列哪个区间内？（）A.(90,110 B.(95,125 C.(100,120 D.(105,115A0.954413652、已知、已知XN(0,1)，则，则X在区间在区间 内取值的概率内取值的概率等于（等于（）A.0.9544 B.0.0456 C.0.9772 D.0.02283、设离散型随机变量、设离散型随机变量XN(0,1),则则 =,=.4、若、若XN(5,1),则则P(6X7)=D0.50.95445、若已知正态总体落在区间、若已知正态总体落在区间 的概率为的概率为0.5，则，则相应的正态曲线在相应的正态曲线在x=时达到最高点。时达到最高点。0.30.1359