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1、 第 3 节简易逻辑2021/8/8 星期日11命题可以 叫命题，命题由 和 两部分构成判断真假的语句判断真假的语句条件条件结论结论2021/8/8 星期日22逻辑联结词(1)常用的逻辑联结词有 、(2)真值表或或且且非非pq非pp或qp且q真真 真假假真假假假假真真真真假假假假真真假假假假真真真真真真假假2021/8/8 星期日33.四种命题及其相互关系(1)四种命题一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用綈p和綈q分别表示p、q的否定，于是四种命题形式为：原命题：_；逆命题：_；否命题：_；逆否命题：_.2021/8/8 星期日4(2)四种命题的关系2021/8/8 星期日5(3)四
2、种命题的真假性(1)两个命题互为_命题，它们有相同的真假性(2)两个命题为_或_，它们的真假性没有关系2021/8/8 星期日64充分条件、必要条件与充要条件的判定(1)从逻辑推理关系上看若_，则p是q的充分不必要条件；若_，则p是q的必要不充分条件；若_，则p是q的充要条件；若_，则p是q的既不充分也不必要条件且且且且且且且且2021/8/8 星期日7(2)从集合与集合之间关系上看记法Ax|p(x)，Bx|q(x)关系图示结论p是q的充分不必要条件p是q的必要不充分条件p是q的充要条件p是q的既不充分又不必要条件2021/8/8 星期日8(3)从命题真假性上看把p与q分别记作命题的条件与结论
3、，则原命题与逆命题的真假同p与q之间的关系如下：若原命题 逆命题 ，则p是q的充分不必要条件；若原命题 逆命题 ，则p是q的必要不充分条件；若原命题与逆命题都 ，则p是q的充要条件；若原命题与逆命题都 ，则p是q的既不充分又不必要条件真真假假假假真真真真假假2021/8/8 星期日91集合Ax|x2|1，Bx|x24x0，那么“aA”是“aB”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【解析】由已知得Ax|1x3，Bx|0 xb，则a2b2”的逆否命题；“若x3，则x2x60”的否命题；“对顶角相等”的逆命题其中真命题的个数是()A0 B1C2 D3【解析】逆命
4、题“若x、y互为相反数，则xy0”为真；原命为假，如a1，b2，则其逆否命题为假；否命题“若x3，则x2x60”为假，如x3时；逆命题“相等的角是对顶角”为假【答案】B2021/8/8 星期日113命题“若x21，则1x1”的逆否命题是()A若x21，则x1或x1B若1x1，则x21或x1D若x1或x1，则x21【解析】原命题的条件与结论分别否定后再交换位置故选D.【答案】D2021/8/8 星期日124存在一个实数，使得x2x10的否定是_；否命题是_【解析】原命题的否定是“不存在实数x，使得x2x10”，即“对所有的实数x，有x2x10”；否命题是“不存在实数x，使得x2x10”，即“对所
5、有的实数x，有x2x10”【答案】对所有的实数x，有x2x10”对所有的实数x，有x2x10”2021/8/8 星期日13 已知命题p：方程x2mx10有两个不等的负实数根，命题q：方程4x24(m2)x10无实数根若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求m的取值范围【思路点拨】由题意知“p或q”为真，“p且q”为假推出p、q一真一假，再分类求解2021/8/8 星期日14【解析】由p得 则m2.由q知，16(m2)21616(m24m3)0，则1m3.“p或q”为真，“p且q”为假，p为真，q为假，或p为假，q为真则 或 ，解得m3或1m2.m的取值范围为m3或1m2.2021/8/8
6、星期日15【答案】m3或11是|ab|1的充要条件命题q：函数y 的定义域是(，13，)，则()A“p或q”为假B“p且q”为真Cp真q假 Dp假q真2021/8/8 星期日17【解析】命题p的判断可举反例：a2，b3，则|a|b|1，但|ab|1，故命题p是假命题命题q：由函数解析式知|x1|20，解得x1或x3，所以命题q是真命题故选D.【答案】D2021/8/8 星期日18 判断命题“若a0，则x2xa0有实根”的逆否命题的真假【思路点拨】可先写出该命题的逆否命题，再判断其真假性；也可利用命题间的关系，判断其等价命题的真假性；还可利用充要条件与集合的包含、相等关系来解决2021/8/8
7、星期日19【解析】解法一写出逆否命题，再判断其真假原命题：若a0，则x2xa0有实根逆否命题：若x2xa0无实根，则a0.判断如下：x2xa0无实根，14a0，a 0，“若x2xa0无实根，则a0，方程x2xa0的判断式4a10，方程x2xa0有实根，故原命题“若a0，则x2xa0有实根”为真命题又因原命题与其逆否命题等价，所以“若a0，则x2xa0有实根”的逆否命题为真命题2021/8/8 星期日21解法三利用充要条件与集合的包含、相等关系命题p：a0，q：x2xa0有实根，p：Aa|a0，q：Ba|方程x2xa0有实根a|a 即AB，“若p则q”为真“若p则q”的逆否命题“若綈q则綈p”为
8、真“若a0，则x2xa0有实根”的逆否命题为真2021/8/8 星期日22解法四设p：a0，q：x2xa0有实根，则綈p：a0，綈q：x2xa0无实根，綈p：Aa|a0，綈q：Ba|方程x2xa0无实根a|a BA，“若綈q则綈p”为真，即“若方程x2xa0无实根，则a)所有的任一个至少一个至多一个词语的否定不是不都是不大于()某些某个一个也没有至少两个2021/8/8 星期日252设原命题是“已知a，b，c，d是实数，若ab，cd，则acbd”写出它的逆命题、否命题和逆否命题，并分别说明它们的真假【解析】逆命题为“已知a，b，c，d是实数，若acbd，则ab，cd”否命题为“已知a，b，c，
9、d是实数，若ab或cd，则acbd”逆否命题为“已知a，b，c，d是实数，若acbd，则ab或cd”2021/8/8 星期日26由等式性质知，原命题为真；由3526，但32,56说明逆命题为假；由57,42，但5472，说明否命题为假(由否命题与逆命题互为逆否命题，可知否命题为假)；逆否命题为真也可如下说明：若acbd，可分为两种情况(1)ab，于是命题为真(2)ab，从而推出cd(否则acbd)，命题也为真.2021/8/8 星期日27 已知函数f(x)是(，)上的增函数，a，bR，对命题“若ab0，则f(a)f(b)f(a)f(b)”：(1)写出逆命题，判断其真假，并证明你的结论；(2)写
10、出其逆否命题，并证明你的结论2021/8/8 星期日28【解析】(1)逆命题：已知函数f(x)是(，)上的增函数，a，bR.“若f(a)f(b)f(a)f(b)，则ab0”，假设ab0，则ab，ba.因为f(x)是(，)上的增函数，则f(a)f(b)，f(b)f(a)，所以f(a)f(b)f(a)f(b)，与条件矛盾，所以逆命题为真2021/8/8 星期日29(2)逆否命题：若f(a)f(b)f(a)f(b)，则ab0.下面用反证法给出证明：假设ab0，则ab且ba；又f(x)为增函数，f(a)f(b)，f(b)f(a)；两式相加，得f(a)f(b)f(a)f(b)这与题设条件f(a)f(b)
11、f(a)f(b)矛盾，故假设不成立ab0.2021/8/8 星期日30【方法技巧】反证法的步骤：(1)假设结论的反面成立；(2)从这个假设出发，经推理论证，得出矛盾；(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确2021/8/8 星期日31【温馨提示】反证法的适用题型：(1)当“结论”的反面比“结论”本身更简单、更具体、更明确时，考虑用反证法证明；(2)否定型命题(命题的结论是“不可能”，“不能表示为”“不是”，“不存在”“不等于”“不具有某种性质”等)、唯一性命题、存在性命题、“至少、至多”型命题、某些命题的逆命题等都可用反证法证明；(3)有的肯定此命题，由于已知或结论涉及到无限个元素，
12、如“无限多个数”、“无穷多交点”等，由于直接证明无限的情形比较困难，因而也往往采用反证法2021/8/8 星期日323已知实数a、b、c、d满足条件：2bdca0.命题p：二次方程ax22bx10有实根；命题q：二次方程cx22dx10有实根；求证：“p或q”为真命题2021/8/8 星期日33【证明】假设“p或q”为假命题，则p与q均为假命题即 b2d2ac.又2bdca0，2bdac，b2d20，ab10，即ab1，综上可知，当ab0时ab1的充要条件是a3b3aba2b20.2021/8/8 星期日37【方法技巧】有关充要条件的证明问题，要分清哪个是条件，哪个是结论，由“条件”“结论”是
13、证明命题的充分性，由“结论”“条件”是证明命题的必要性，证明要分两个环节：一是充分性；二是必要性2021/8/8 星期日384关于x的不等式或方程：(1)证明x2pxq0的解集只含有一个元素的充要条件是p24q；(2)求(1a)x2(a2)x40(aR)有两个正根的充要条件2021/8/8 星期日39 【证明】(1)先证明必要性：解x2pxq0，若p24q0，则不等式的解集为x|x ，与题意不符；若0恒成立，则不等式的解集为，也与题意不符；所以只能p24q0，即p24q使得原不等式的解集中只含有一个元素x|x 2021/8/8 星期日40再证明充分性：由p24q，则原不等式可以整理成x2pxq
14、x2px (x )20，因此解集为x|x ，只有一个元素综上所述，x2pxq0的解集只含有一个元素的充要条件是p24q.2021/8/8 星期日41(2)设(1a)x2(a2)x40(aR)有两个正根x1，x2，则0且x1x20和x1x20，即(a2)216(1a)0，0，0，解得1a2或a10；反之若10，x1x2 0，即x1，x2为两个正根，即(1a)x2(a2)x40(aR)有两个正根的充要条件是1a2或a10.2021/8/8 星期日421“|x1|2成立”是“x(x3)0成立”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【解析】由|x1|2得2x12，
15、1x3；由x(x3)0得0 x3.因此“|x1|2成立”是“x(x3)0，a1)在其定义域内是减函数，则loga20”的逆否命题是()A若loga20，a1)在其定义域内不是减函数B若loga20，则函数f(x)logax(a0，a1)在其定义域内不是减函数C若loga20，a1)在其定义域内是减函数D若loga20，则函数f(x)logax(a0，a1)在其定义域内是减函数2021/8/8 星期日45【解析】由原命题与其逆否命题的关系易知选B.【答案】B2021/8/8 星期日464用反证法证明“若x1且x2，则x23x20”时的假设应为()Ax1或x2 Bx23x20Cx23x20 Dx2
16、3x20【解析】用反证法证明命题中的假设是原命题结论的否定，“x23x20”的否定为“x23x20”，故选B.【答案】B2021/8/8 星期日475(2009年福建福州八中)“a1”是“函数f(x)|xa|在区间1，)上为增函数”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【解析】函数f(x)|xa|在区间1，)上为增函数，得出a1，所以“a1”是“函数f(x)|xa|在区间1，)上为增函数”的充分不必要条件故选A.【答案】A2021/8/8 星期日486“a0”是“方程ax22x10至少有一个负数根”的()A必要不充分条件 B充分不必要条件C充分必要条件 D既
17、不充分也不必要条件【解析】当a0时，由韦达定理知x1x20，故此一元二次方程有一正根和一负根，符合题意；当ax22x10至少有一个负数根时，a可以为0，因为当a0时，该方程仅有一根为，所以a不一定小于0.由上述推可理知，“a0”是“方程ax22x10至少有一个负数根”的充分不必要条件【答案】B2021/8/8 星期日49二、填空题7由命题p：42,3，q：22,3构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的复合命题中，真命题有_个【解析】p：42,3是假命题，q：22,3是真命题，据真值表知“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为真，故答案为2.【答案】22021/8/8 星期日508命题“若a
18、b0，则a、b中至少有一个为零”的逆否命题是_【答案】若a0且b0，则ab0.2021/8/8 星期日519(创新预测题)下列有关命题的说法正确的是_命题“若x21，则x1”的否命题为：“若x21，则x1”；“x1”是“x25x60”的必要不充分条件；命题“若x21，则1x1”的否定是：“若x21，则x1或x1”；命题“若xy，则sin xsin y”的逆否命题为真命题2021/8/8 星期日52【解析】正确的否命题为“若x21，则x1”；应为充分不必要条件；的否定是“若x20)，若綈p是綈q的必要不充分条件，则实数m的取值范围为_ 2021/8/8 星期日54【解析】|1|2解得2x10.x
19、22x1m20，(x1m)(x1m)0解得1mx1m.故綈p：x10或x10或x1m或x1m或x0，解得m9为所求【答案】9，)2021/8/8 星期日56三、解答题11已知c0，设p：函数ycx在R上递减；q：不等式x|x2c|1的解集为R，如果“p或q”为真，且“p且q”为假，求c的范围2021/8/8 星期日57【解析】p：函数ycx在R上为减函数，所以0c1的解集为R.设f(x)x|x2c|f(x)的最小值为2c，即2c1，c .“p或q”为真，且“p且q”为假，p真q假或p假q真2021/8/8 星期日58当p真q假时，c的取值范围为0c .当p假q真时，c的取值范围为c1.因此c的取值范围为(0，1，)【答案】(0，1，)2021/8/8 星期日5912(理科)(2009年南通模拟)设函数f(x)x|xa|b，求证f(x)为奇函数的充要条件是a2b20.【证明】充分性：若a2b20，ab0，f(x)x|x|对任意的xR都有f(x)f(x)0，f(x)为奇函数，故充分性成立必要性：若f(x)为奇函数，则对任意的xR都有f(x)f(x)0恒成立，即x|xa|bx|xa|b0，令x0，得b0，令xa，得a0，a2b20.2021/8/8 星期日602021/8/8 星期日612021/8/8 星期日62