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1、1 _第 9 课_二 _次_函_数_ 1.熟练掌握二次函数的图象和性质2.掌握二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的联系，会用二次函数的图象和性质讨论一元二次方程根的分布3.能解决与二次函数有关的一些综合性问题.1.二次函数的三种形式：一般式、顶点式和两根式，会根据条件选择合适的形式2.二次函数的图象是抛物线，具有许多优美的性质，如对称性、单调性等，结合这些图象特征解决二次函数的问题，可以化难为易，形象直观3.二次函数性质的研究：首先根据二次函数的图象开口向上或向下，分a0 或 a0，f（2）42（2m1）42m0，2 解得m32，m3，所以 m3，故实数m 的取值范围是(，3)范例导航
2、考向?通过分类讨论对称轴与区间的位置关系，利用数形结合求最值例 1求函数 f(x)x22ax2(x 2，4)的最小值解析：f(x)图象的对称轴是直线xa，可分以下三种情况：当 a2 时，f(x)在2，4上为增函数，所以f(x)minf(2)64a；当 2a 4 时，f(x)minf(a)2a2；当 a4 时，f(x)在2，4上为减函数，所以f(x)minf(4)18 8a.综上所述，f(x)min64a，a4.已知函数 f(x)x22x2(xt，t1)的最小值为g(t)，求 g(t)的表达式解析：由题意得，f(x)(x1)21.当 t 11，即 t1 时，g(t)f(t)t2 2t 2.综上所
3、述，g(t)t21，t1.考向?利用三个二次之间的关系，以二次函数为核心解决问题例 2已知二次函数yf(x)(x R)的图象过点(0，3)，且 f(x)0 的解集为(1，3)(1)若函数 f(x)f(x)mx 在区间(0，1)上单调递增，求实数m 的取值范围；(2)求函数 G(x)f(sinx)在 x 0，2上的最值解析：(1)因为 f(x)0 的解集为(1，3)，所以二次函数与x 轴的交点为(1，0)和(3，0)，所以可设 f(x)a(x1)(x3)又因为函数图象过点(0，3)，代入 f(x)得 3a 3，解得 a 1，所以 f(x)(x1)(x3)x24x3，所以f(x)x24x3mx x
4、2(4m)x3.因为函数 f(x)在区间(0，1)上单调递增，所以4m2（1）1，解得 m2，故实数 m 的取值范围是(，2(2)由题意得，G(x)sin2x4sinx 3(sinx2)21.3 因为 x0，2，所以 sinx0，1，所以当 sinx0 时，G(x)min 3；当 sinx1 时，G(x)max0，故函数 G(x)的最大值为0，最小值为 3.若关于 x 的方程 sin2xcosxa0 有实数根，试确定实数a 的取值范围解析：由已知得a sin2xcosxcos2xcosx1 cosx12254.因为 1cosx1，所以 a 的取值范围是54，1.考向?与绝对值综合的二次函数问题
5、例 3已知 aR，函数 f(x)x|xa|.(1)当 a2 时，写出函数yf(x)的单调增区间；(2)当 a2 时，求函数yf(x)在区间 1，2上的最小值；(3)设 a0，函数 yf(x)在区间(m，n)上既有最大值又有最小值，请分别求出m，n 的取值范围(用 a 表示)解析：(1)当 a2 时，f(x)x|x2|x（x2），x2，x（2x），x2，x1，2，所以 f(x)x(ax)x2axxa22a24.当 1a232，即 232，即 a3 时，f(x)minf(1)a 1，所以 f(x)min2a4，23.(3)f(x)x（xa），xa，x（ax），x0 时，图象如图1 所示.由ya24
6、，yx（xa），得 x122a，所以 0ma2，an212a.当 a0 时，图象如图2 所示4 由ya24，yx（ax），得 x122a，所以212ama，a2n0.图 1 图 2 自测反馈1.已知 f(x)ax2bx3a b 是定义在 a1，2a上的偶函数，则 a，b 的值为 _13，0_解析：由题意得，f(x)f(x)，即 ax2bx3abax2bx3ab，即 2bx0 对任意 x 恒成立，所以b0.又因为 a1 2a，解得 a13，所以 a，b 的值分别为13，0.2.函数 y x22|x3 的单调减区间是_ 1，0和1，)_解析：令 f(x)x2 2|x|3，所以 f(x)x22x3，
7、x 0，x22x3，x0，即 f(x)（x1）24，x0，（x1）24，x0，所以当 x0 时，函数f(x)的减区间为(1，)；当 x0 时，函数f(x)的减区间为(1，0)，故单调减区间为(1，0)和(1，)3.若函数 f(x)x22x1 在区间a，a2上的最大值为4，则 a的值为 _1 或 1_解析：由题意得，f(x)x2 2x1(x1)2，对称轴为直线x1.当 a0 时，f(a 2)4，即(a2)22(a2)14，解得 a1 或 a 3(舍去)；当 a0 时，f(a)4，即 a22a14，解得 a 1 或 a3(舍去)综上，a 的值为 1 或 1.4.若不等式x4 2x2a2a20对任意实数x 恒成立，则实数 a的取值范围是_(，12，)_.解析：由题意得x42x2a2a20，即(x21)2 a2a3，所以 a2a 31，解得 a 2 或 a 1，所以实数 a 的取值范围是(，12，)1.求二次函数在给定区间上的值域时，要注意对称轴和给定区间的位置关系，必要时进行讨论2.抓住三个二次的核心，运用二次函数的图象和性质解决有关二次型问题3.你还有哪些体悟，写下来：5 6