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1、数学试卷一、填空题1.已知集合|02Axx，集合|1Bxx，则ABU=_2.设复数z满足21(i zi i为虚数单位)，则复数z=_3.某路口一红绿灯东西方向的红灯时间为45s，黄灯时间为3s，绿灯时间为60s从西向东行驶的一辆公交车通过该路口，遇到红灯的概率为_4.在某频率分布直方图中，从左往右有10个小矩形，若第一个小矩形的面积等于其余9 个小矩形的面积和的15，且第一组数据的频数为25，则样本容量为_5.图中是一个算法的流程图，则输出的k 的值为 _6.各棱长都为2 的正四棱锥的体积为_.7.将函数()sin06f xx的图象向左平移3个单位后，所得图象关于直线x对称，则的最小值为 _.
2、8.已知()f x 是定义在 R 上的偶函数.当0 x时，23()1xf xx，则不等式(ln)fx的解集为_.9.已知公差不为零的等差数列na的前n项和为nS，且26a，若137,a aa成等比数列，则8S=_.10.若椭圆22221yxab的焦点在x轴上，过点11,2作圆221xy+=的切线，切点分别为A B,，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是_.11.已知函数()lnf xmx 图像与函数()2g xx 图像在交点处切线方程相同，则m的值为_.12.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线1l ymx:与曲线3()2f xxx 从左至右依次交于A B C,三点，若直线2:2
3、lykx上存在P 满足1PAPCuu u ru uu r，则实数k 的取值范围是_.13.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:1Oxy，圆22:(4)4Cxy,动点P 在直线320 xy上的两点,E F之间，过点P 分别作圆,O C的切线，切点为,A B.若满足2PBPA，则线段EF的长度为 _.14.若ABC中，2,8,45ABBCB，D 为ABC所在平面内一点且满足()()4AB ADACADuuu r uuu ruuu ruuu r，则AD长度的最小值为_.二、解答题15.如图，在ABC 中，a b c,为A B C,所对的边，CDAB 于D，且12BDADc（1）求证：sin2si
4、n()CAB；（2）若3cos5A，求 tanC 的值16.如图，在三棱柱111ABCA B C中，已知,M N分别为线段11,BB AC的中点，MN与1AA所成角的大小为 90，且1MAMC(1)求证平面1AMC平面11A ACC；(2)求证/MN平面 ABC 17.已知点O 为坐标原点，椭圆2222:10yxCabab的左、右焦点分别为12,F F，离心率为22，点,I J分别是椭圆C 的右顶点、上顶点，IOJ的边 IJ 上的中线长为32(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点2,0H的直线交椭圆C 于,A B两点，若11AFBF，求直线AB的方程18.某校有一块圆心O,为半径为200 米,
5、圆心角为23的扇形绿地OPQ,半径,OP OQ 的中点分别为,M N A为弧PQ 上的一点,设AOQ,如图所示,拟准备两套方案对该绿地再利用.(1)方案一：将四边形绿地OMAN 建成观赏鱼池,其面积记为1S,试将1S表示为关于的函数关系式;并求为何值时,1S取得最大？(2)方案二：将弧AQ 和线段,AN NQ 围成区域建成活动场地,其面积记为2S,试将2S表示为关于的函数关系式;并求为何值时,2S取得最大？19.已知正项数列na，其前n项和为nS，满足22nnnSaa，*nN.（1）求数列na的通项公式na；（2）如果对任意正整数n，不等式22nnncaaa都成立，求证：实数c的最大值为120
6、.已知函数()xaxbf xe（其中,a bR）（1）当1a时，若函数()yf x 在0,上单调递减，求b的取值范围；（2）当1b，0a时，求函数()yf x的极值；设函数()yf x图象上任意一点处的切线为l，求l在x轴上的截距的取值范围21.已知矩阵A 的逆矩阵111334133A求矩阵A 的特征值和相应的特征向量22.在极坐标系中，已知圆C 的圆心极坐标为(2,)4，且圆 C 经过极点，求圆C 的极坐标方程23.已知,a b c为正实数，33311127abcabc的最小值为m24.把编号为1，2，3，4，5的五个大小、形状相同的小球，随机放入编号为1，2，3，4，5的五个盒子 里每个盒
7、子里放入一个小球(1)求恰有两个球的编号与盒子的编号相同的概率；(2)设小球的编号与盒子编号相同的情况有X 种，求随机变量X 的分布列与期望25.设0()(1)nkknkmP nmCmk，()nn mQ nmC，其中*mnN，（1）当1m时，求(1)(1)P nQ n，的值；（2）对*mN，证明：()()P nmQ nm，恒为定值参考答案1.答案：|0 xx解析：由并集定义可得|0ABx xU.2.答案：1355i解析：由(21)i zi，得：112131322()()()()2555iiiiziiii，故答案为1355i.3.答案：512解析：某路口一红绿灯东西方向的红灯吋间为45s，黄灯吋
8、间为3s，绿灯时间为60s，从西向东行驶的一辆公交车通过该路口，遇到红灯的概率为4554536012p.4.答案：150 解析：设第一个小矩形面积为x，由 61x，得16x，从而样本容量为256150.5.答案：7 解析：第 1 次循环1,3Sk，第 2 次循环3,5Sk，第 3 次循环1510,7Sk，输出.6.答案：4 23解析：设正四棱锥的底面中心为O，连结 OP，则 PO底面 ABCD.底面四边形ABCD 是正方形，2AB，2AO.222OPPAAO.正四棱锥的体积2114 222333VSABCDPO正方形.7.答案：12解析：利用函数sinyAx（）的图象变换规律求得g x（）的解
9、析式，再利用正弦函数的图象的对称性求得的最小值8.答案：441,ee解析：fx是定义在 R 上的偶函数，不等式lnfxl等价为lnfxl，当0 x时,2152352111xxfxxxx,则函数fx 为增函数，由2311xfxx,得4x,即41f，则不等式|lnfxl等价为4|ln|fxf，则 ln4x，即4ln4x，即441xee，即不等式的解集为441,ee.9.答案：88 解析：设公差不为零的等差数列na的公差为d，21376,aa a a 成等比数列，213176,adaa a，即211126,0adaadd.解得14,2ad,则887842882S.10.答案：22154yx解析：由题
10、意可设斜率存在的切线的方程为11(2yk xk为切线的斜率),即 22210kxyk,由221144kk,解得34k,所以圆221xy的一条切线方程为3450 xy,求得切点3 4,5 5A,易知另一切点1,0B,则直线AB的方程为22yx,令0y得右焦点为1,0,令0 x得上顶点为0,2,所以2225abc,故得所求椭圆方程为22154yx.11.答案：e解析：设切点为00(),P xy，由1,()()mf xg xxx则有题意得0000ln21mxxmxx，解得me.12.答案：15k或15k解析：13.答案：2 393解析：由|2PBPA 得22|PBPA，所以22|44(|1)PCPO
11、，所以22|4|PCPO，设(,)P x y，所以22816033xyx，即22464()39xy，点 P 在圆22464()39xy上及圆内，圆心4(,0)3到直线320 xy的距离410|2|5332313d，因为EF为直线截圆所得的弦，所以22 39645392()29393EF.14.答案：2解析：建立如图的平面坐标系如图，则1,1,7,1BC,设,D x y，则1,1,7,1ABAC，则,ADx y，,7AB ADxy ACADxy，()()4AB ADACAD,74xyxy，即74xyyx，设7xymyxn得4mn,且18178xmnymn，则22221872AD sqrtxymn
12、mn当且仅当22502mn，即 5mn时取等号，即AD长度的最小值为2.15.答案：(1)因为12BDADc，所以1coscos2aBbAc，由正弦定理，得1sincossincossin2ABBAC，所以 sin2sin()CAB(2)由 1 得，sin()2sin()ABAB，所以 sincoscossin2(sincoscossin)ABABABAB，化简，得 3cossinsincosABAB 又3cos5A，所以4sin5A，所以4tan3A，4tan9B，所以tantan48tantan1tantan11ABCABAB解析：16.答案：(1)因为 MN 与1AA所成角的大小为90，
13、所以1MNAA，因为1MAMC，且N 是1AC的中点，所以1MNAC又11111,AAACA ACAAI,平面11A ACC，故 MN平面11A ACC，因为 MN平面1AMC，所以平面1AMC平面11A ACC(2)取 AC 中点P，连结NP BP,因为 N 为1AC中点，P 为 AC 中点，所以1/PNAA，且112PNAA在三棱柱111ABCABC中，11/BBAA，且11BBAA又 M 为1BB中点，故1/BMAA，且112BMAA所以/PNBM，且 PNBM，于是四边形PNMB 是平行四边形，从而/MNBP 又 MN平面,ABC BP平面 ABC，故/MN平面 ABC 解析：17.答
14、案：(1)由题意得IOJ为直角三角形，且其斜边上的中线长为32，所以3IJ设椭圆 C 的半焦距为c，则22222223caababc，解得21ab，所以椭圆 C 的标准方程为2212xy(2)由题知，点1F的坐标为1,0，显然直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为20yk xk，点11,A x y，22,B xy联立22122xyyk x，消去y，得2222128820kxk xk，所以2222284 12828 120kkkk，所以2102k*且22121222882,1212kkxxx xkk因为11AFBF，所以110AFBFuu ur uuu r，则1122110 xyxy,，1212
15、1210 xxx xy y，121 2121220 xxx xk xk x，整理得2221212121140kxxkx xk+即22222221828121401212kkkkkkk化简得2410k，解得12k因为12k都满足*式，所以直线AB的方程为122yx或122yx即直线AB的方程为220 xy或220 xy解析：18.答案：(1)由已知，AOQ,20,3，1ONAOMASSS；故110000 3sin6S（平方米），当3时，1max10000 3S（平方米）.(2)由已知，2ONAAOQSSS扇形，210000 2sinS；210000 2cosS，故20S；2S在20,3上为增函数
16、，当23时，2max341000032S（平方米）.解析：19.答案：(1)当1n时，21112Saa，解得11a，或10a（舍）.由22nnnSaa 得，21112nnnSaa，2211122()()nnnnnnSSaaaa，即221112()()nnnnnaaaaa，也就是2211()()0nnnnaaaa，11()(1)0nnnnaaaa，由于数列 na各项均为正数，所以110nnaa，即11nnaa.所以数列na是首项为 1，公差为1 的等差数列，所以数列 na的通项公式为nan.(2)对任意正整数n，222222()2(2)1222nnnnnaaannnnnnn，所以c的最大值为ma
17、x1c.另一方面，任取实数1a时.2222222nnnaaaaannannnn22(2)(2)22(2)2(2)nannanannnnnnn.当2a时，对任意的正整数n，都有22nnnaaaa；当 12a时，只要(2)20ana n，即22(2)(2)ana n，也就是2(2)2(1)ana时，就有22nnnaaaa.所以满足条件的1c，从而max1c.因此c的最大值为1.解析：20.答案：（1）1a时，()xxbf xe的导函数1()xxbfxe，由题意知对任意0,x有1()0 xxbfxe，即10 xbmin1bx，即1b.（2）1b时，1()xaxf xe的导函数1()xaxafxe，(
18、i)当0a时，有1(,),()0axfxa；1(,),()0axfxa，函数()yfx 在1(,)axa单调递增，1(,)axa单调递减，函数()yfx 在1axa取得极大值1aaa e，没有极小值(ii)当0a时，有1(,),()0axfxa；1(,),()0axfxa，函数()yfx 在1(,)axa单调递减，1(,)axa单调递增，函数()yfx 在1axa取得极小值1aaa e，没有极大值综上可知:当0a时，函数()yf x 在1axa取得极大值1aaa e，没有极小值；当0a时，函数()yfx 在1axa取得极小值1aaa e，没有极大值设切点为1(,)tatT te，则曲线在点T
19、处的切线l 方程为11()ttatatayxtee，当1ata时，切线l的方程为11aatatya ee，其在x轴上的截距不存在当1ata时，令0y，得切线l 在x轴上的截距为1(1)11111111atataaaxttttataataatata1111211taata当110ta时，11111111221241111xttaaaaattaa，当110ta时，1111111122121111xttaaaaattaa，当切线l 在x轴上的截距范围是11,4,aaU.解析：21.答案：由111334133A，得1141A，由特征多项式211(1)4041，得1231，所以特征值13对应的特征向量1
20、21，特征值21对应的特征向量122解析：22.答案：设圆C 上任意一点的极坐标(,)P，过 OC 的直径的另一端点为B，连接,PO PB则在直角三角形OPB 中，,24OPBPOB所以4cos()4，即为圆C 的极坐标方程解析：23.答案：关于x的不等式12xxm 因为,0a b c，所以333333311111127327abcabcabcabc332722718abcabcabcabc，当且仅当313abc时，取“=”，所以18m所以不等式12xxm 即1218xx，所以2181218xxx，解得193x，所以原不等式的解集为19(,)3解析：24.答案：(1)记恰有 2 个小球与盒子编
21、号相同为事件A，将 5 个小球随机放入五个盒子中，每个盒子放一个共有55A 即 120 种不同的放法，事件A 共有24220C种放法，201()1206P A答：恰有 2 个盒子与小球编号相同的概率为16.(2)随机变量X 的可能值为0,1,2,3,5 15(2333)4411(0)12012030CP X15(333)453(1)1201208CP X252201(2)1201206CP X35101(3)12012012CP X1(5)120P Xx0 1 2 3 5 P113038161121120113111()012351308612120E x解析：25.答案：(1)当1m时，11
22、00111(1)(1)(1)111nnkkkknnkkP nCCknn，又11(1)1nQ nCn，显然(1)(1)1P nQ n，.(2)0()(1)nkknkmP nmCmk，111111(1)()(1)nkkknnnkmmCCmkmk1111111(1)(1)nnkkkknnkkmmCCmkmk111(1,)(1)nkknkmP nmCmk0(1,)(1)nkknkmmP nmCnmk(1,)(,)mP nmP n mn即()(1)nP n mP nmmn，由累乘，易求得!1()(0)()!nn mn mP n mPmnmC，又()nn mQ n mC，所以()()1P nmQ nm，解析：