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1、数学试卷一、填空题1.已知集合2|0,1,0,Ax xxB则AB_ 2.已知复数22izi(i为虚数单位),则z的模为 _ 3.函数12logyx的定义域为 _ 4.如图是一个算法的伪代码,运行后输出b的值为 _ 5.某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析,随机抽取了150分到450分之间的1000名学生的成绩,并根据这1000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图),则成绩在250,400内的学生共有_人6.在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线222210,0 xyabab的一条渐近线方程为20,xy则该双曲线的离心率为_ 7.连续2次抛掷一枚质地均匀的骰子(六个面上分别标有
2、数字1,2,3,4,5,6的正方体),观察向上的点数,则事件“点数之积是3的倍数”的概率为_ 8.已知正四棱柱的底面边长为3cm,侧面的对角线长是3 5cm,则这个正四棱柱的体积是_3cm.9.若函数sin(0,0)fxAxA的图象与直线ym的三个相邻交点的横坐标分别是2,633,则实数的值为 _ 10.在平面直角坐标系xOy中,曲线:3Cxy上任意一点P到直线:30lxy的距离的最小值为 _ 11.已知等差数列na满足22135798210,36aaaaaaa,则11a的值为 _ 12.在平面直角坐标系xOy中,若圆2221:10Cxyrr上存在点P,且点P关于直线0 xy的对称点Q在圆22
3、2:211Cxy上,则r的取值范围是 _ 13.已知函数221,11,1xxfxxx函数,g xfxfx则不等式2g x的解集为_ 14.如图,在ABC中,已知3,2,120,ABACBACD为边BC的中点.若CEAD,垂足为E,则EB ECuuu r u uu r的值为 _ 二、解答题15.在ABC中,角,A B C所对的边分别为,a b c,且31,53cos Atan BA1.求tanB的值;2.若13c,求ABC的面积16.如图,在直三棱柱111ABCA B C中,90,1,ABCABAA MN分别是11,AC B C的中点.求证:1.MN P平面11ABB A2.1ANA B17.某
4、艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品,该礼品是由玻璃球面和该球的内接圆锥组成,圆锥的侧面用于艺术装饰,如图1.为了便于设计,可将该礼品看成是由圆O及其内接等腰三角形ABC绕底边BC上的高所在直线AO旋转180而成,如图 2.已知圆O的半径为10cm,设,0,2BAO圆锥的侧面积为2cmS1.求S关于的函数关系式;2.为了达到最佳观赏效果,要求圆锥的侧面积S最大.求当S取得最大值时腰AB的长度18.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆222210 xyabab的离心率为12,且过点31,2F为椭圆的右焦点,A B为椭圆上关于原点对称的两点,连结,?AF BF分别交椭圆于,C D两点1.求椭圆的
5、标准方程;2.若AFFC,求BFFD的值;3.设直线,AB CD的斜率分别为12,k k,是否存在实数,m使得21kmk?若存在,求出实数m的值;若不存在,请说明理由19.已知函数21,?.fxxaxg xln xa aR1.当1a时,求函数h xfxg x的极值;2.若存在与函数,fxg x的图象都相切的直线,求实数a的取值范围20.已知数列,na其前n项和为,Sn满足112,nnnaSnaa其中2,*,nnNR.1.若10,4,2*,nnnbaanN求证:数列nb是等比数列;2.若数列na是等比数列,求,的值;3.若23,a且3,2求证:数列na是等差数列21.如图,AB是圆O的直径,弦,
6、BD CA的延长线相交于点,E EF垂直BA的延长线于点F.求证:2ABBE BDAE AC22.已知矩阵1041,0123AB若矩阵MBA,求矩阵M的逆矩阵1M23.以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴,且在两种坐标系中取相同的长度单位,建立极坐标系,判断直线12:12xtlyt(t为参数)与圆2:2?20Ccossin的位置关系24.已知,a b c d都是正实数,且1,abcd求证:2222111115abcdabcd25、在正三棱柱中,已知分别是和的中点.为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系1.求异面直线与所成角的余弦值2.求二面角的余弦值26.在平面直角坐标系xOy中,已知平行于
7、x轴的动直线l交抛物线:24Cyx于点,P F为曲线C的焦点.圆心不在y轴上的圆M与直线,l PF x轴都相切,设圆心M的轨迹为曲线E1.求曲线E的方程;2.若直线1l与曲线E相切于点,Q s t过点Q且垂直于1l的直线为2l,直线12,ll分别与y轴相交于点,A B.当线段AB的长度最小时,求s的值参考答案1.答案：1,0,1解析：2.答案：1?解析：3.答案：(0,1解析：4.答案：13解析：5.答案：750解析：6.答案：52解析：7.答案：59解析：8.答案：54 解析：设正四棱柱的高为,h则2223(3 5)h,解得:6h,9654VSh.9.答案：4解析：10.答案：3解析：11.
8、答案：11解析：12.答案：2-1,2-1nn解析：13.答案：2,2解析：14.答案：277解析：15.答案：1.在ABC中,由3,5cosA知A为锐角,所以241cos,5sinAA所以sin4,cos3AtanAA所以14tantan333.141tantan133BAAtanBtanBAABAA2.由 1 知3,tanB所以3 1010,?1010sinBcosB所以13 1050sinCsin ABsinAcosBcosAsinB由正弦定理sinsinbcBC,得3 1013sin1015sin13 1050cBbC所以ABC的面积11415 1378225SbcsinA解析：16.
9、答案：1.如图,取AB的中点P,连结,1PM PB.因为,M P分别是,AB AC的中点,所以PMBCP,且12PMBC.在直三棱柱111ABCA B C中,1111,BCB CBCB CP又N是11B C的中点,所以1PMB NP,且1PMB N,所以四边形1PMNB是平行四边形,所以1MNPBP又MN平面111,ABB A PB平面11ABB A,所以MN P平面11ABB A2.因为三棱柱111ABCA B C为直三棱柱,所以1BB平面111A B C,因为1BB平面11ABB A,所以平面11ABB A平面111A BC因为11190,ABCA B C所以1111B CB A因为平面1
10、1ABB A平面1111111,A B CB A B C平面111A BC,所以11B C平面11ABB A因为1A B平面11,ABB A所以111B CA B,即11NBA B.如图,连结1AB.因为在平行四边形11ABB A中,1ABAA,所以四边形11ABB A是正方形,所以11ABA B.因为111,NBABB且11,AB NB平面1AB N,所以1A B平面1AB N又AN平面1AB N,所以1A BAN解析：17.答案：1.如图,设AO交BC于点D,过点O作OEAB,垂足为E,在AOE中,10,220AEcosABAEcos,在ABD中,20,BDAB sincossin所以21
11、 2?20?20400022Ssin coscossin cos2.由1得23400400Ssin cossinsin设301,fxxxx则21 3fxx由21 30fxx得33x当30,3x时,0fx;当3,13x时,0fx,所以f x在区间30,3上单调递增,在区间3,13上单调递减,所以f x在33x时取得极大值,也是最大值,所以当33sin时,侧面积S取得最大值,此时等腰三角形的腰长22320 620201sin20133ABcos故当侧面积S取得最大值时,等腰三角形的腰AB的长度为2063cm解析：18.答案：1.设椭圆的方程为222210.xyabab由题意知22121914caa
12、b解得23ab所以椭圆的方程为22143xy2.若AFFC,由椭圆的对称性,知31,2A,所以31,2B,此时直线BF的方程为3430 xy由223430143xyxy得276130,xx解得137x(1x舍去)所以11713317BFFD3.设00,A xy则00,Bxy直线AF的方程为001,1yyxx代入椭圆方程22143xy,得2220000156815240.xxyxx因为0 xx是该方程的一个解,所以点C的横坐标008552Cxxx又点,CCC xy在直线0011yyxx上,所以000031152CCyyyxxx同理,点D的坐标为0000853,5252xyxx,所以0000021
13、00000335252558585335252yyxxykkxxxxx即存在5,3m使得2153kk解析：19.答案：1.函数h x的定义域为0,当1a时,22,h xfxg xxxlnx所以211121xxhxxxx所以当102x时,0;h x当1,02xhx所以函数h x在区间10,21,2上单调递减,在区间上单调递增,所以当12x时,函数h x取得极小值1124ln,不存在极大值2.设函数fx在点11,xfx处的切线与函数g x在点22,x g x处的切线相同,则121212,fxg xfxgxxx所以121211121ln12,xaxxaxaxxx所以121,22axx代入212112
14、21xxxaxlnxax得222221ln20424aaxaxx设2212,424aaFxlnxaxx则23231121222axaxFxxxxx不妨设20021000,xaxx则当00 xx时,0Fx;当0 xx时,0Fx所以F x在区间0(0,)x上单调递减,在区间0,x上单调递增,因为20001212oxaxxx,所以0000122minFxFxxxlnxx设,则211G(x)=2x+2+0 xx对0 x恒成立,所以G x在区间0,上单调递增又10G,所以当01x时,0,G x即当001x时,00.F x又当2axe时,22242211120,4244aaaaaaFxlneaaeee因此
15、当001x时,函数F x必有零点,即当001x时,必存在0 x使得(*)成立,即存在12,x x使得函数fx在点11,xfx处的切线与函数g x在点22,x g x处的切线相同.又由12yxx得2120yx所以12yxx在0,1上单调递减,因此2000012121,xaxxx所以实数a的取值范围是1,解析：20.答案：1.若0,4,则14(2)nnSan所以1114,nnnnaSSnaa即12221,nnnnaaaa所以21nnbb又由11212,4,aaaa得212136,220aaaa,即0,bn所以12.nnbb故数列nb是等比数列2.若na是等比数列,设其公比为0.q q当2n时,由2
16、212Saa,即12212,aaaa得12qq;当3n时,由3323Saa,即123323aaaaa,得2213qqqq;当4n时,由4434Saa,即1234434,aaaaaa得233214qqqqq.-q,得21q,-q,得31q,解得1,1.q代入,得0此时2,nnSnan所以12,nnaaa是公比为1的等比数列,1,03.若23,a由12212aaaa,得562.又3,2解得1,12由122,3,1aa,代入1nnnSnaa得34,a所以123,a aa成等差数列;由1,2nnnSnaa得1112nnnnSaa.两式相减得1111,22nnnnnnnaaaaa即111220,nnnn
17、anaa所以21120.nnnanaan相减得211212220,nnnnnnananaaa所以21112220,nnnnnnn aaaaaa所以2211112222221nnnnnnnnaaanaaaaaann n13212212naaan nLL因为12320,aaa所以1220nnnaaa,即数列na是等差数列解析：21.答案：连结AD.因为AB为圆O的直径,所以ADBD.因为EFAB,所以,A D E F四点共圆,所以BDBA因为,90,EAFBACEFABCA所以,ABCAEF所以ABACAEAF,即,AB AFAE AC所以2BE BDAE ACBABFAB AFAB BFAFAB
18、解析：22.答案：因为411041,230123MBA所以13110101255M解析：23.答案：把直线方程12:12xtlyt化为普通方程为2xy将圆2:2?20Ccossin化为直角坐标方程为22220,xxyy即22112xy因为圆心C到直线l的距离22,2dr所以直线l与圆C相切解析：24.答案：因为2222111121111abcdabcdabcd211111111aaaaabcdabcd21abcd又11115,abcd所以2222111+115abcdabcd解析：答案：25、26.答案：1.所以点F的坐标为1,0设,M m n因为圆M与x轴、直线l都相切,l平行于x轴,所以圆
19、M的半径为,n点2,2,P nn所以直线PF的方程为2121yxnn,即22110n xy n,(2分)所以222221121n mn nnnn所以22211.mnn因为,0m n,所以210nm,所以E的方程为21(0)yxy2.设2121,0,0,.Q ttAyBy由 1 知,点Q处的切线1l的斜率存在,由对称性不妨设0t由1,21yx所以2212221,21 1,1121 1AQtytykkBQtttt所以3121,2322tyyttt所以23321151023202222tAByyttttttt令3512,0,22f ttttt则422225112516222ttftttt由0ft得57324t;由0ft得5730,24t由0ft得5730,24t所以ft在区间5730,24上单调递减,在区间573,24上单调递增,所以当57324t时,f t取得极小值也是最小值,即AB取得最小值,此时21973124st解析：