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1、数学试卷一、填空题1.已知集合13354AB，则集合AB.2.复数12zii(i 为虚数单位)的虚部是.3.某班级 50 名学生某次数学考试成绩(单位：分)的频率分布直方图如图所示，则成绩在6080 分的学生人数是.4.连续抛掷一颗骰子2次，则掷出的点数之和为8的概率为.5.已知()3sincos，则()tan的值是.6.如图所示的流程图中，若输入的a，b 分别为 4，3，则输出n 的值为.7.在平面直角坐标系xOy 中，中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的一条渐近线经过点(31)，则该双曲线的离心率为.8.曲线2 xyxe在0 x处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为.9.如图，某种螺帽是由一个
2、半径为2的半球体挖去一个正三棱锥构成的几何体，该正三棱锥的底面三角形内接于半球底面大圆，顶点在半球面上，则被挖去的正三棱锥体积为.10.在平面直角坐标系xOy 中，过点()()134 6AB，且圆心在直线21 0 xy上的圆的标准方程为.11.设nS是等比数列na的前 n 项和，若51013SS，则52010SSS=.12.设函数22,0()2,0 xx xf xx x若方程3fxkx 有三个相异的实根，则实数k 的取值范围是_.13.如图，在边长为2 的正方形 ABCD 中，MN，分别是边 BCCD，上的两个动点，且BMDNMN，则 AMANrr的最小值是.14.在空间直角坐标系Oxyz中，
3、已知1,2,3A，2,1,1B，若直线AB交平面 xOz 于点 C，则点 C 的坐标为 _ 二、解答题15.如图，在直三棱柱111ABCA B C 中，已知ABBCEF，分别是11ACBC，的中点.求证：(1)平面ABE平面11B BCC；(2)1/C F平面ABE.16.在ABC 中，角 ABC，所对的边为 abc，已知 223.bccosAca(1)求角 B的大小；(2)设函数3()cossin()34f xxx，求 fA 的最大值.17.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知焦点在x 轴上，离心率为12的椭圆 E 的左顶点为A，点A到右准线的距离为6.(1)求椭圆 E 的标准方程；(2)
4、过点 A且斜率为32的直线与椭圆E 交于点 B，过点 B与右焦点F 的直线交椭圆E 于点 M，求点M 的坐标.18.如图，长途车站P 与地铁站O 的距离为5 千米，从地铁站O 出发有两条道路12ll，经测量，12ll，的夹角为45，OP 与1l 的夹角 满足1tan=2(其中 0 b0)xyab，半焦距为c，因为椭圆的离心率为12，所以12ca，即2.ac因为 A 到右准线的距离为6，所以2a3a6ac，解得21ac，所以2223bac，所以椭圆E的标准方程为22143xy.(2)直线 AB 的方程为3(2)2yx，由223(2)2143yxxy得2320 xx ，解得2x或1x，则点 B 的
5、坐标为3(-1,)2由题意，得右焦点0(1)F，所以直线BF 的方程为3y=-(x-1)4.由223(1)4143yxxy得276130 xx，解得1x 或137x，所以点 M 坐标为413()791，-解析：18.答案：(1)以 O 为原点，直线OA 为 x 轴建立平面直角坐标系，因为 0 e0)bxxx.当0b时，因为0gx，所以 g x 在(0,)上递增，且10gb，所以在(1,)上，20g xlnxbx，不合题意；当0b时，令212g(x)bxx，得12xb，所以 g x 在1(0,)2b上递增，在1(+)2b上递减，所以max111g(x)g()ln222bb要使0g x有解，首先要
6、满足11ln022b，解得1b2e.因为121g(1)b02，要使 fxlnx 的解集(),m n 中只有一个整数，则(2)0(3)gg即24039lnblnb解得32b0，h(x)递增；当x(e，)时，h(x)h(2)ln 22，所以12eln 24.由，得ln 39bln 24.解析：20.答案：(1)由3fxxaxb，可得23fxxa，下面分两种情况讨论：当0a时，有230fxxa恒成立，所以 fx 的单调递增区间为,.当0a时，令0fx，解得33ax或33ax.当x变化时，fx,fx的变化情况如下表：x3,3a33a33,33aa33a3,3afx00 fx单调递增极大值单调递减极小值
7、单调递增所以 fx 的单调递减区间为33,33aa，单调递增区间为3,3a，3,3a.(2)证明：因为fx 存在极值点，所以由(1)知0a且00 x.由题意，得20030fxxa，即203ax，进而3000023afxxaxbxb，又3000000082282233aafxxaxbxaxbxbfx，且002xx，由题意及(1)知，存在唯一实数1x 满足10fxfx，且10 xx，因此102xx，所以10+2=0 xx.(3)证明：设()g x 在区间1,1 上的最大值为M，max,x y 表示,x y两数的最大值，下面分三种情况讨论：当3a时,331133aa，由(1)知,fx在区间1,1上单
8、调递减，所以 fx 在区间1,1 上的取值范围为1,1ff，因此，max|1|,|1|max 1,1Mffababmax1,1abab1+,0,1,0,ab bab b所以12Mab.当334a时,2 3332 3113333aaaa，由(1)和(2)知2 33133aafff,2 33133aafff，所以 fx 在区间1,1 上的取值范围为33,33aaff，因此3322=max,max3,33399aaaaMffabab2222331max3,3339999444aaaababab.(3)当304a时，232 31133aa，由(1)和(2)知，2 33133aafff,2 33133a
9、afff，所以 fx 在区间1,1 上的取值范围为1,1ff，因此，max|1|,|1|max1,1Mffababmax 1,1abab114ab.综上所述，当0a时，()g x 在区间1,1 上的最大值不小于14.解析：21.答案：由1771401 02 322614301mnmnMMmnm，所以141261431mnnm解得53.mn解析：22.答案：由4cos，得24 cos，所以224xyx，即圆 C 的方程为2224).(xy又由2222xtmyt消 t，得0 xym 因为直线l 与圆 C 相切，所以|2|=22m，所以 m=22 2.解析：23.答案：证明：因为2222221()(
10、)()()()()2abcabcabbccabcacabbcacababc 222211a+b+c22cababbccaabbcca2（）解析：24.答案：(1)当2 时，所取三点是底面ABCD 的四个顶点中的任三个，所以()2P41025.(2)的可能取值为25 22.，2(2)5P(5)P25；P(22)15.所以 的分布列为2522P 252515的数学期望为2212 2254()2522.5555E解析：25.答案：取AD中点 OBC，中点 M，连结 OPOM，因为PA AD，所以 OPAD.因为平面PAD上平面 ABCDOP，平面PAD，平面PAD平面 ABCDAD，所以 OP平面A
11、BCD，所以.OPOAOPOM，又四边形ABCD 是正方形，所以OAOM.以 O 为原点，OAOMOP，为xyz，轴建立空间直角坐标系Oxyz，则1111(,0,0),(,0,0),(,1,0),(,1,0).2222ADBC设0(0)0Pcc，则1(,1,-)(1,0,0)2PBc CBrr.设平面 PBC 的一个法向量为1111()nxyz，则111112xyczx取11z，则1yc，从而101().nc，设PA与平面 PBC 所成角为 ，因为1(,c)2PAr，解得23c4或21c=3，所以1PA 或216PA.(2)由(1)知，1PAAB，所以31,2PAc.由(1)知，平面PBC 的一个法向量为13n=(0,c,1)=(0,1)2设平面 PCE 的一个法向量为2()nxyz，而113(1,0),(-,1,-)222CEPCrr，所以121322xyxyz取1x，则 y=2,z=3，即2n(1,2,3).设二面角 BPCE 的平面角为，所以12122 3642|cos|cos n n|=|1|2|7772 22nnnn根据图形得 为锐角，所以二面角BPCE 的余弦值为427.解析：