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1、数学试卷一、填空题1、对任意,若不等式总成立,则实数的取值范围是 _.2、已知一长方体的外接球的半径为1,则该长方体两个底面与一个侧面的面积之和的最大值为_.3、已知的三个内角的对边依次为,外接圆半径为1,且满足,则面积的最大值为_.4、已知外接圆的半径为6,若面积且,则_,的最大值为 _.5、已知是锐角三角形,若,则的取值范围是 _ 6、在钝角中,已知,则最大边的取值范围是.7.已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则DE CBuu u r uuu r的值为_;DE DCuuu r uu ur的最大值为 _.8.在锐角三角形ABC中，若sin2sinsinABC，则tantan
2、tanABC的最小值是 _9.在平面四边形ABCD中,75ABC,2BC,则AB的取值范围为_.10、在中,.设点,满足,.若,则.11.在平面直角坐标系中,O为原点,1,0A,03B，,3,0C,动点D满足1CDuu u r,则OAOBODu uu ru uu ru uu r的最大值是 _.二、解答题12、如图,某广场中间有一块边长为2 百米的菱形状绿化区,其中是半径为1百米的扇形,.管理部门欲在该地从到修建小路:在弧上选一点(异于、两点),过点修建与平行的小路.问:点选择在何处时,才能使得修建的小路与及的总长最小?并说明理由.13、某湿地公园内有一条河,现打算建一座桥将河两岸的路连接起来,
3、剖面设计图纸如图所示.其中,点为轴上关于原点对称的两点,曲线段是桥的主体,为桥顶,且曲线段在图纸上的图形对应函数的解析式为,曲线段均为开口向上的抛物线段,且分别为两抛物线的顶点,设计时要求:保持两曲线在各衔接处(点与点)的切线的斜率相等.1.求曲线段在图纸上对应函数的解析式,并写出定义域;2.车辆从经倒爬坡,定义车辆上桥过程中某点错误!未找到引用源。所需要的爬坡能力为:(该点与桥顶间的水平距离)(设计图纸上该点处的切线的斜率),其中的单位:米.若该景区可提供三种类型的观光车:游客踏乘;蓄电池动力;内燃机动力.它们的爬坡能力分别为0.8 米,1.5米,2.0米,又已知图纸上一个单位长度表示实际长
4、度1 米,试问三种类型的观光车是否都可以顺利14、如图所示,在实施棚户区改造工程中,某居委会决定对地段上的危旧房进行推平改建.拟在地段上新建一幢居民安置楼,在安置楼正南面的地段上建一个活动中心.活动中心的侧面图由两部分构成,下部分是矩形,上部分是以为直径的半圆.活动中心的规划设计需满足以下要求:米;活动中心在当地“最斜光线”照射下落在安置楼上的影长不超过米(当地“最斜光线”与水平线的夹角满足).1.若活动中心的门面高米,求其前后宽度的最大值;2.设活动中心侧面的面积为,活动中心的“美观系数”,那么在用足空间的前提下,当门面高为多少米时,可使得“美观系数”15、某市2016 年新建住房400 万
5、平方米,其中有250 万平方米是廉价住房.预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外,每年新建住房中,廉价住房的面积均比上一年增加 50 万平方米.1.到哪一年底,该市历年所建廉价住房的累计面积(以 2016 年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米?2.在哪些年份里,当年建造的廉价住房的面积占该年建造住房面积的比例会大于85%?(参考数据:16、如图,在平面直角坐标系中,已知椭圆的左、右顶点分别为,过右焦点的直线与椭圆交于,两点(点在轴上方).1.若,求直线的方程;2.设直线,的斜率分别为,.是否存在常数,使得?若存在,求出的值;若不存在,请说明17、在平面直
6、角坐标系中,已知、是椭圆的左右顶点,离心率为,且椭圆过定点,为椭圆右准线上任意一点,直线分别交椭圆于.1.求椭圆的方程;2.若线段与轴交于点且,求的取值18.如图,已知椭圆2222:1(0)xyEabab的左顶点(2,0)A,且点31,2在椭圆上,1F、2F分别是椭圆的左、右焦点。过点A作斜率为(0)k k的直线交椭圆E于另一点B,直线2BF交椭圆E于点C.1.求椭圆E的标准方程;2.若12CF F为等腰三角形,求点B的坐标;3.若1F CAB,求k的值.19.已知数列na为等差数列,数列nb为等比数列.1.若12312312,27aaab bb,且112233,ab abab是各项均为整数的
7、等比数列的三项,求数列nanb的通项公式;2.若31 12 233.2nnna ba ba ba bn,且18a.求数列nanb的通项公式是否存在*,r sN,使得22012rsab?若存在,求出所有满足条件的,r s;若不存在,请说明理由.20.已知无穷数列na满足1*nnnqap anNa.其中p,q均为非负实数且不同时为0.1.若12p,2q,且34120a,求1a的值;2.若15a,0p q,求数列na的前n项和nS;3.若12a,1q,且na是单调递减数列,求实数p的取值范围.21.已知各项不为零的数列na的前n项和为nS,且11a,*1()nnnSpa anN,pR.1.若123.
8、,a aa成等比数列,求实数p的值;2.若123.,a aa成等差数列,求数列na的通项公式;在na与1na间插入n个正数,共同组成公比为nq的等比数列,若不等式(1)()()nnanqe对任意的*nN恒成立,求实数a的最大值.22、已知各项均为正数的数列的前项和为,数列的前项和为,满足.1.求的值及数列的通项公式;2.是否存在正整数,使得,成为一直角三角形的三边?若存在,指出的关系,若不存在,请说明理由;3.若数列的通项为,数列满足,中不存在这样的项,使得同时成立(其中),试求实数的取值23、定义:从数列中取出部分项,并将它们按原来的顺序组成一个数列,称为数列的一个子数列.设数列是一个公差不
9、为零的等差数列;1.已知,自然数满足,若,且是等比数列,求 k2 的值;若,求证:数列不是等比数列.2.已知存在自然数其中若是的一个等比子数列,若(为正整数),求的表达式.(答案用表24、设,函数1.若关于的不等式对一切恒成立,求实数的取值范围2.求证:对,都有&nbs 25、已知函数(其中是自然对数的底数)的图象在点处的切线为1.求的值;2.求证:对,都有;3.若正实数满足,求证:26、已知函数1.若,求的值。2.若存在,使函数的图象在点,处的切线互相垂直,求的取值范围。3.若函数在区间上有两个极值点,则是否存在实数,使对任意的恒成立?若存在,求出的取值范围;若不存在,请说明理由。(参考数据
10、:27、在中,角的对边分别为,已知.1.求角的大小2.若,求的面积的最大值,并判断当最大时的28、在中,角的对边分别为,已知.1.求;2.若,求面积的最29、在中,角所对的边分别为,已知,且.1.当,时,求,的值;2.若角为锐角,求的取值30、在中,角所对的边分别为,且满足.1.求角的大小;2.求的周长的最31、已知的角所对的边分别为,设向量.1.若,求证为等腰三角形;2.若,求的面积.32.在ABC中,2222acbac.1.求B的大小;2.求2coscosAC的最大值.33.在ABC中,角,A B C的对边分别为,a b c,已知tantan2(tantan).coscosABABBA（1
11、）证明:2abc;（2）求cosC的最小值.34、在中,.1.求三边的平方和;2.当的面积最大时,求35、在中,角的对边分别是,且.1.求角的大小;2.求的取值范围.36、如图所示,在平面四边形中,若,则.37、已知正六棱锥的底面边长为2,高为 1.现从该棱锥的7 个顶点中随机选取3 个点构成三角形,设随机变量表示所得三角形的面积.1.求概率的值;2.求的分布列,并求其数学期望38、如图,正方形与梯形所在平面互相垂直,已知,.1.求直线与平面所成角的正弦值;2.线段上是否存在点,使得二面角的余弦值为?若存在,求出的值;若不存在,说明39、已知一条曲线在轴右边,上每一点到点的距离减去它到轴距离的
12、差都为.1.求曲线的方程;2.是否存在正数,对于过点且与曲线有两个交点的任一直线,都有?若存在,求出的取值范围;若不存在,请说明理由.40、已知,其中.1.若展开式中含项的系数为14,求的值;2.当时,求证:必可表示成的41、如图是抛物线上的点,作点关于轴的对称点,过作与抛物线在处的切线平行的直线交抛物线于点.1.若,求点的坐标;2.若的面积为16,且在、两点处的切线互相垂直,求抛物线的方程;3.作关于轴的对称点,过作与抛物线在处的切线平行的直线,交抛物线于点,如此继续下去,得一系列点,设,求满足的最小自然数42、已知数列是等差数列,且是(为整数)展开式的前三项的系数.1.求展开式的中间项;2
13、.当时,试比较与的参考答案答案：1、答案：2、答案：3、解析：由可得,即,也即,故,也即,则,由正弦定理可得,再由余弦定理可得,即,所以,故,应填.答案：4、答案：5、解析：由题意得,在中,由正弦定理可得,又因为,所以,又因为锐角三角形,所以且,所以,所以,所以的取值范围是.答案：6、解析：因为是钝角三角形的最大边,所以是最大角.即,或(舍),又,故应填.7.答案：1;1 解析：以点D为原点,DC DA所在直线分别为x轴,y轴建立如图所示的直角坐标系,则0,0,0,1,1,1,1,0DABC.设(,1)E x,那么(,1),(0,1)DExCBuuu ruu u r,1DE CBuu u r
14、uuu r.(1,0)DCuuu r,DE DCxuuu r uu ur.正方形的边长为1,x的最大值为1,故DE DCuuu r uuu r的最大值为1.8.答案：8 解析：sinsin2sinsintantan2tantanAABBCBCBC,又tantantantantan1BCABC,因此tantantantantantantan2tantan2 2tantantantantantan8ABCABCABCABCABC既最小值为8 9.答案：62,62解析：如图所示,延长,BA CD交于E,平移AD,当A与D重合与E点时,AB最长,在BCE中,75BC,30E,2BC,由正弦定理可得=s
15、insinBCBEEC,即2=sin 30sin75BE,解得62BE,平移AD,当D与C重合时,AB最短,此时与AB交于F,在BCF中,75BBFCo,30FCBo,由正弦定理知,sinsinBFBCFCBBFC,即2sin30sin75BF,解得62BF,所以AB的取值范围为62,62.答案：10、解析：设,则由已知可得,所以,所以,解得.11.答案：71解析：方法一:设,D x y,由(3,)CDxyuuur及1CDuuu r可知2231xy,即动点D的轨迹为以点C为圆心的单位圆.又(1,0)(0,3)(,)(1,3)OA OB ODx yxyu u u ru uu ru u u r,2
16、2(1)(3)OA OBODxyuuu ruuu ruuu r,问题转化为圆2231xy上的点与点(1,3)P间距离的最大值.圆心3,0C与点(1,3)P之间的距离为22(31)(03)7,故22(1)(3)xy的最大值为7 1.方法二:设,D x y则由1CDuuu r,得2231xy,从而可设3cosx,sin,yR.而(1,0)(0,3)(,)(1,3)OA OB ODx yxyu u u ru uu ru u u r,则22(1)(3)OA OBODxyuuu ruuu ruuu r22(2cos)(3sin)82 7 sin()84cos2 3sin其中23sin,cos77.显然当
17、 sin()1 时,OAOBODuuu ruuu ruuu r有最大值82771.方法三:OAOBODOAOBOCCDuuu ruuu ruuuruuu ruuu ruuu ruuu r,设(2,3)aOA OB OCuu u ruuuruuu r,则|7a,从而OAOBODaCDuuu ruuu ruuuruuur,则71OAOBODaCDaCDuuu ruuu ruuu ruuu ruuu r当a与CDuuur同向时,OAOBODuuu ruuu ruuu r有最大值71.答案：12、答案：13、答案：14、答案：15、答案：16、答案：17、18.答案：1.由题意得2222219144a
18、abcb,解得231abc,椭圆E的标准方程:22143xy2.12CF F为等腰三角形,且0k点C在x轴下方若12F CF C,则0,3C;若122F FCF,则22CF,0,3C;若112F CF F,则12CF,0,3C0,3C直线BC的方程3(1)yx,由223(1)143yxxy得03xy或853 35xy8 3 3,55B3.设直线AB的方程:(2)ABlyk x,由22(2)143yk xxy得2222341616120kxk xk221612234ABBkxxxk228634Bkxk212(2)34BBkyk xk2228612,3434kkBkk若1=2k,则31,2B,31
19、,2C,1(1,0)F,134CFk,1F C与AB不垂直;12k,2(1,0)F,22414BFkkk,11CFkk,直线2BF的方程224:(1)14BFklyxk,直线1CF的方程:11:(1)CFlyxk由24(1)141(1)kyxkyxk解得2818xkyk281,8Ckk又点C在椭圆上得22281(8)143kk,即22241890kk,即2124k0k,612k解析：19.答案：1.设123134,4,4,ad aad bq,233,3bbq,则34431ddqq,由34dq与43dq均为整数知,341431dqdq或34134431dqqddq或134qd(舍)或10qd所以
20、44nan,13nnb或4,3nnab2.当2n时,31 12221 12211244 21 2nnnnnnnnna ba ba bna bna ba babnLL令naknb则442nnnbknb,14424nnbnknkbqbnknb(为常数)即222220kqk nqbb nkb对nN恒成立,故,2kb q.又1 11162a bb,2nnb,44nan假设存在,r sN满则条件,则22(44)22012163219962ssrrr故22484992srr由奇偶性知2s,故13 14r与rN矛盾,所以不存在满足题设的正整数,r s.解析：20.答案：1.224114202aa,252a或
21、285a,当252a时,解得11a或 4;当285a时,无解;所以11a或 4 2.若0p,0q,1nnqaa,15a,25qa,35a,45qa,当n为奇数时,112525525210nnq nnqnqS,当n为偶数时,25525 210nnq nnqnS,若0p,0q时,1nnapa,所以5(1),0,1;15,1.nnpppSpn p3.由题意,0na,由12a,可得21222ap,解得304p,若数列na是单调递减数列,则11nnnnapaaa,可得11nap,又有111111nnnpaapapp11nap,10nppa,即1npap,由可知,11111nnapapp,11111nna
22、papp11111211nnpappp,111211nnappp对于任意自然数n,1111211nnpapppp恒成立,因为304p,由111ppp,解得12p.下面证明:当1 3,2 4p时,数列na是单调递减数列.当34p时,可得211222apa由11nnnap aa和1112nnnap ana,两式相减得1111nnnnnnaaaapa a,因为1112nnnap apa成立,则有14nnaap,当12p时,114nnaapp,即11nnpa a由可知,当1nnaa时,恒有1nnaa,对于任意的自然数n,1nnaa恒成立.解析：21.答案 1.当1n时,11221,apa aap,当2
23、n时1223aapa a,123211aaapap,由2213aa a得2111pp,即210pp,解得:152p2.由2132aaa得12p,故232,3aa,所以112nnnSa a,当2n时,1111122nnnnnnnaSSa aaa,因为0na,所以112nnaa故数列na的所有奇数项组成以1 为首项 2 为公差的等差数列,其通项公式11(1)2nnan,同理,数列na的所有偶数项组成以2 为首项 2 为公差的等差数列,其通项公式是2(1)22nnan所以数列na的通项公式是nannan,在n与1n间插入n个正数,组成公比为nq的等比数列,故有11nnnnq,即111()nnnqn,
24、所以(1)()()nn anqe,即1()n anen,两边取对数得1()ln()1nnan,分离参数得11ln()annn恒成立令1nxn,(1,2x,则,11,(1,2ln1axxx,令11(),(1,2ln1f xxxx,则2222(1)(ln)()(ln)(1)xxxfxxx,下证1lnxxx,x,令1()2ln,(1,)g xxx xx,则22(1)()0 xg xx,所以()0g x,即12ln xxx,用x替代x可得1ln,(1,2xxxx,所以2222(1)(ln)()0(ln)(1)xxxfxxx,所以()f x在(1,2上递减,所以1(2)1ln 2af答案：22、答案：2
25、3、答案：24、答案：25、答案：26、答案：27、答案：28、答案：29、答案：30、答案：31、32.答案：（1）4（2）1 解析：（1）2222acbac,2222acbac.22222cos222acbacBacac.4B.（2）ABC34AC.2coscosAC222 coscossin22AAA22cossinsin224AAA.34AC.30,4A.,44A.sin4A的最大值为1.故2coscosAC的最大值为1.33.答案：（1）2sinsinsinCBC.由正弦定理,得2abc（2）12解析：（1）由tantan2 tantancoscosABABBA,得sinsin2sincoscoscoscosABABABAB,所以 2sinsinsinCBC.由正弦定理,得2abc（2）由222cos2abcCab2222ababcab231122cab.所以cosC的最小值为12.答案：34、解析：借助题设条件运用余弦定理求解;答案：35、答案：36、解析：由于,所以.答案：37、答案：38、答案：39、答案：40、答案：41、答案：42、