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1、1单元检测三导数及其应用(提升卷)考生注意：1本试卷分第 卷(选择题)和第 卷(非选择题)两部分，共4 页2答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上3本次考试时间100 分钟，满分130 分4请在密封线内作答，保持试卷清洁完整第卷(选择题共 60 分)一、单项选择题(本题共 8 小题，每小题5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.(2019安徽省池州市期末)函数 yf(x)的图象如图所示，下列数值排序正确的是()Af(1)f(2)f(2)f(1)Bf(1)f(2)f(1)f(2)Cf(2)f(2)f(1)f(1)D
2、f(2)f(1)0 成立，则实数 a 的取值范围是()A.0，43e2B.43e2，1eC.0，1eD.43e2，1e二、多项选择题(本题共 4 小题，每小题5 分，共 20 分全部选对的得5 分，部分选对的得3 分，有选错的得0 分)9.函数 f(x)的定义域为R，它的导函数yf(x)的部分图象如图所示，则下面结论正确的是()A在(1,2)上函数 f(x)为增函数B在(3,4)上函数 f(x)为减函数3C在(1,3)上函数 f(x)有极大值Dx3 是函数 f(x)在区间 1,5上的极小值点10(2019北京师大附中期中)下列函数中，存在极值点的是()Ayx1xBy 2x3xCy xln xD
3、 yxsin x11(2020济南章丘区期末)定义在(0，)上的函数f(x)的导函数为f(x)，且(x1)f(x)f(x)5B若 f(1)2，x1，则 f(x)x212x12Cf(3)2f(1)7D若 f(1)2,0 xx212x1212对于定义在R 上的函数f(x)，若存在非零实数x0，使函数f(x)在(，x0)和(x0，)上均有零点，则称x0为函数 f(x)的一个“折点”现给出下列四个函数，其中存在“折点”的函数是()Af(x)3|x1|2Bf(x)lg|x2 019|Cf(x)x33x1Df(x)x22mx1(mR)第卷(非选择题共 70 分)三、填空题(本题共 4 小题，每小题5 分，
4、共 20 分把答案填在题中横线上)13(2020荆门龙泉中学、宜昌一中月考)函数 f(x)ex|x1|的图象在点(0，f(0)处的切线方程为 _14(2019滁州市定远县育才学校期末)设实数 a，b，c 分别满足a512，bln b1,3c3c1，则 a，b，c 的大小关系为_15(2019北京)设函数 f(x)exaex(a 为常数)若 f(x)为奇函数，则a_；若 f(x)是 R 上的增函数，则a 的取值范围是_(本题第一空2 分，第二空3分)16 设实数 0，若对任意的x(0，)，不等式 exln x 0恒成立，则 的最小值为 _四、解答题(本题共 4 小题，共50 分解答应写出文字说明
5、、证明过程或演算步骤)17(12 分)(2019三明质检)已知函数f(x)ax33x 的图象在点P(2，f(2)处的切线l 与直线9xy6 0 平行4(1)求切线 l 的方程；(2)若函数 g(x)f(x)k 有 3 个零点，求实数k 的取值范围18.(12 分)已知函数f(x)2x2xaln x，a R.(1)若函数 f(x)在区间 1，)内单调递增，求实数a 的取值范围；(2)记函数 g(x)x2f(x)2x 2，若 g(x)的最小值是 6，求函数f(x)的解析式19(13 分)(2020贵阳模拟)已知 f(x)ex，g(x)x 1(e 为自然对数的底数)(1)求证：f(x)g(x)恒成立
6、；(2)设 m 是正整数，对任意正整数n，1131132113ne.5答案精析1B2.C3.D4.A5.C6.B7A令 f(x)0，得 x(xa)exa(x a)，可得 f(x)一个零点为xa，所以当 xa 时，xexa 有两个不同的实数解，设 g(x)xex即 yg(x)的图象与 ya 的图象有两个不同交点，g(x)(1x)ex，当 x(，1)时 g(x)单调递减，当 x(1，)时 g(x)单调递增，所以当 x 1时，g(x)取最小值为g(1)1e，且 x时 g(x)0，x时 g(x)，所以 a 的取值范围为1e，0.8D由2xexaxa0 可得 a2xexx1，令 h(x)2xexx1(x
7、0)，则 h(x)2x22x2exx 12，令 h(x)0，得 x 152，152(0,1)，h(0)0，h(1)0，所以函数在(0,1)上有唯一极大值点，在1，)上是减函数，因为 h(1)1e，h(2)43e2，所以要使不等式存在唯一的正整数x0，需43e2a0，x(2,4)时，f(x)0.f(x)在(1,2)，(4,5)上为增函数，在(2,4)上为减函数，x2 是 f(x)在1,5上的极大值点，6x4 是极小值点故选ABC.10CD由题意，函数yx1x，则 y11x20，所以函数y x1x在(，0)，(0，)内单调递增，没有极值点；函数 y 2x3x，在 R 上单调递减，没有极值点；函数
8、yxln x，则 yln x1，x0，当 x0，1e 时，y0，函数单调递增，当 x1e时，函数取得极小值；函数 yxsin x，则 ysin xxcos x，当 x2，0时，y0，函数单调递增，所以函数在x0 处取得极小值11CD设函数 g(x)f x x2x1，则 g(x)x1 f x f x x2 2xx12，因为(x1)f(x)f(x)x22x，所以 g(x)g(2)g(3)，整理得2f(2)3f(1)5，f(3)2f(1)7，故 A 错误，C 正确当 0 xg(1)12，即f x x2x112，即 f(x)x212x12.故 D 正确，从而B 不正确即结论正确的是CD.12BD因为
9、f(x)3|x1|22，所以函数f(x)不存在零点，所以函数f(x)不存在“折点”；对于函数f(x)lg|x2 019|，取 x0 2 019，则函数 f(x)在(，2 019)上有零点x 2 020，在(2 019，)上有零点x 2 018，7所以 x0 2 019 是函数 f(x)lg|x2 019|的一个“折点”；对于函数f(x)x33x1，则 f(x)x21(x1)(x1)令 f(x)0，得 x1 或 x1；令 f(x)0，得 1x1，所以函数f(x)在(，1)和(1，)上单调递增，在(1，1)上单调递减又 f(1)13ca15.1(，016.1e解析当 x(0,1时，0，不等式exl
10、n x0 显然成立，可取任意正实数；当 x(1，)时，exln x0?exln x?xexln xeln x，设函数 f(x)xex(x0)，而 f(x)(x1)ex0，则 f(x)在(0，)上单调递增，那么由 xexln xeln x可得 xln x?ln xx.令 g(x)ln xx(x1)，而 g(x)1ln xx2，易知函数g(x)在(1，e)上单调递增，在(e，)上单调递减，那么 g(x)maxg(e)1e，则有 1e.综上分析可知，的最小值为1e.17解(1)由题意知，函数f(x)ax3 3x，8则 f(x)3ax2 3，又 f(x)的图象在点P(2，f(2)处的切线与直线9xy6
11、0 平行，所以 f(2)12a39，解得 a1，即 f(x)x33x，所以 f(2)23 322，所以切点P 的坐标为(2,2)，则切线方程为y2 9(x2)，即 9xy 160.(2)由(1)可知 f(x)3x23，令 f(x)0，则 x1，当 x 变化时，f(x)与 f(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1,1)1(1，)f(x)00f(x)极大值极小值所以当 x 1时，f(x)有极大值f(1)2；当 x1 时，f(x)有极小值f(1)2，且当 x 时，f(x)；当 x时，f(x)，因为 g(x)f(x)k 有 3 个零点，所以yk 与 yf(x)的图象有3 个交点，故实数 k 的取值范
12、围为(2,2)18解(1)由题意知f(x)22x2ax0 在区间 1，)内恒成立，所以 a2x2x 在区间 1，)内恒成立令 h(x)2x2x，x1，)，因为 h(x)2x220.因为 g(x)6x2a，当 a0 时，g(x)0 恒成立，所以 g(x)在区间(0，)内单调递增，无最小值，不符合题意，所以 a0.令 g(x)0，则 xa6或 xa6(舍去)，由此可得函数g(x)在区间0，a6内单调递减，在区间a6，内单调递增，9则 x a6是函数 g(x)的极小值点，也是最小值点，所以 g(x)ming(x)极小值ga6 6，解得 a 6，所以 f(x)2x2x6ln x.19(1)证明令 F(
13、x)f(x)g(x)exx1，则 F(x)ex1，当 x(，0)时，F(x)0，F(x)在(，0)上单调递减；在(0，)上单调递增，F(x)minF(0)e0010，即 F(x)f(x)g(x)0 恒成立，f(x)g(x)恒成立(2)解由(1)知 113n13en，1131132113n13e213e13en13e13213n，又1313213n13113n11312113n12，1131132113n12e113n12e，又1131132113n0，函数 f(x)在(0，)上为增函数；当 a0 时，令 f(x)0，则 x12a，f(x)在0，12a 上有 f(x)0，10f(x)在12a，上
14、有 f(x)0 时，f(x)在0，12a 上为增函数，在12a，上为减函数(2)f(x)ln xax2有两个不同的零点，即 ln xax2 0有两个不同的根，即 aln xx2有两个不同的根，即 ya 与 g(x)ln xx2有两个不同的交点；g(x)12ln xx3，g(x)在(0，e)上为增函数，在(e，)上为减函数，g(e)12e，当 x1时，g(x)0，g(x)图象如图所示，故 a0，12e.由上设 0 x1 ee)，F(x)g(x)ex2gex x4e22ln x1x3e2当 x e时，F(x)0，故 F(x)g(x)gex 在(e，)上为增函数，F(e)0，从而有F(x)0 在(e，)上成立，即 g(x)gex，而 x2(e，)，则 g(x2)gex2，又因为 g(x1)g(x2)，所以 g(x1)g(x2)gex2，11又 x1，ex2(0，e)，g(x)在(0，e)上为增函数，故 x1ex2，即证得x1x2e.