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1、数学试卷一、填空题1.已知集合16,N2|,3UxxxA则UAe_.2.若复数z满足()1i1z，其中 i 为虚数单位，则z在复平面内对应的点在第_象限3.已知某商场在一周内某商品日销售量的茎叶图如图所示，那么这一周该商品日销售量的平均数为_4.一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，输出S的值为 _.5.若实数,x y满足210201xyxyx则3xy的最小值为 _.6.从 1，2，3，4，5 这 5 个数字中随机抽取3 个不同的数字，则这3 个数字经适当排序后能组成等差数列的概率为_7.若函数2,0()(2),0 xxf xf xx则2(log 3)f_.8.已知数列na的前 n 项和为nS
2、，且*231,N.nnSn若3lognnba，则1234bbbb的值为_9.已知函数()2sin()6fxx，其中0.若12,x x是方程()2fx的两个不同的实数根，且12xx的最小值为，则当0,2x时，()f x的最小值为 _10.在平面直角坐标系xOy中，过双曲线22221(0,0)xyabab的右焦点F作一条渐近线的平行线，交另一条渐近线于点P.若线段PF的中点恰好在此双曲线上，则此双曲线的离心率为_11.有一个体积为2 的长方体，它的长、宽、高依次为,1.a b现将它的长增加1，宽增加2，且体积不变，则所得新长方体高的最大值为_12.已知向量,a b c是同一平面内的三个向量，其中,
3、a b是夹角为60的两个单位向量若向量c满足2()5cab，则c的最小值为 _13.在平面直角坐标系xOy中，已知MN是圆22():1)22(Cxy的一条弦，且,CMCN P是MN的中点当弦MN在圆C上运动时，直线:350lxy上存在两点,A B使得2APB恒成立，则线段AB长度的最小值是_14.已知函数211()ln22f xxaxx，对任意1,x，当()f xmx恒成立时实数m的最大值为1，则实数a的取值范围是_二、解答题15.已知,a b c分别是ABC三个角,A B C所对的边，且满足coscoscoscoscAaBbAC.1.求证：AC；2.若2b，且1BA BCuu u r uuu
4、 r，求sinB的值16.在四棱锥PABCD中，PA平面,/,1,2,60ABCD ADBC ABBCABC.1.求证：平面PAC平面PAB；2.设平面PBC平面PADl，求证：/BCl.17.如图，某摩天轮底座中心A与附近的景观内某点B之间的距离AB为160m摩天轮与景观之间有一建筑物，此建筑物由一个底面半径为15m的圆柱体与一个半径为15m的半球体组成圆柱的底面中心P在线段AB上，且PB为45m半球体球心Q到地面的距离PQ为15m把摩天轮看作一个半径为72m的圆C，且圆C在平面BPQ内，点C到地面的距离CA为75m该摩天轮匀速旋转一周需要30min，若某游客乘坐该摩天轮(把游客看作圆C上一
5、点)旋转一周，求该游客能看到点B的时长(只考虑此建筑物对游客视线的遮挡)18.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆2222:1(0)xyCabab过点2(1,)2，离心率为22.,A B分别是椭圆C的上、下顶点，M是椭圆C上异于,A B的一点1.求椭圆C的方程；2.若点P在直线20 xy上，且3BPBMuu u ruuuu r，求PMA的面积；3.过点M作斜率为1 的直线分别交椭圆C于另一点N，交 y 轴于点D，且点D在线段OA上(不包括端点,O A)，直线NA与直线BM交于点P，求OD OPu uu r uuu r的值19.已知函数()ln1,Raf xxax.1.若函数()f x在1x处的切
6、线为2yxb，求,a b的值；2.记()()g xf xax，若函数()g x在区间1(0,)2上有最小值，求实数a的取值范围；3.当0a时，关于x的方程2()f xbx有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围20.已知数列na的前 n 项和为nS.若存在正整数,r t，且rt，使得,rtSt Sr同时成立，则称数列na为“,()M r t数列”1.若首项为3，公差为d 的等差数列na是“2(),M rr数列”，求d 的值；2.已知数列na为等比数列，公比为q.若数列na为“2(),M rr数列”，4r，求 q 的值；若数列na为“,()M r t数列”，,0()1q，求证：r 为奇数，t
7、为偶数.21.选修 4-2：矩阵与变换 已知矩阵2112M.1.求2M；2.求矩阵M的特征值和特征向量22.选修 4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，直线l的极坐标方程为cos()13，以极点O为坐标原点，极轴Ox所在的直线为 x 轴建立平面直角坐标系，曲线C的参数方程为cos2sin1xryr(其中为参数，0r)若直线l与曲线C相交于,A B两点，且3AB，求 r 的值23.选修 4-5：不等式选讲 若,x y z为实数，且222496xyz，求26xyz的最大值24.在平面直线坐标系xOy中，已知抛物线220ypx p及点()2,0M，动直线l过点M交抛物线于,A B两点，当l垂直于
8、x 轴时，4AB.1.求 p 的值；2.若l与 x 轴不垂直，设线段AB中点为C，直线1l经过点C且垂直于y轴，直线2l经过点M且垂直于直线l，记1l，2l相交于点P，求证：点P在定直线上25.对由 0和 1 这两个数字组成的字符串，作如下规定：按从左向右的顺序，当第一个子串“010”的最后一个0 所在数位是第k(*Nk，且3k)位，则称子串“010”在第k位出现；再继续从第1k位按从左往右的顺序找子串“010”，若第二个子串“010”的最后一个0 所在数位是第km位(其中3m，且*Nm)，则称子串“010”在第km位出现；如此不断地重复下去如：在字符串11010101010 中，子串“010
9、”在第5 位和第 9 位出现，而不是在第7 位和第 11 位出现记在n位由 0，1 组成的所有字符串中，子串“010”在第n 位出现的字符串的个数为()f n1.求(3),(4)ff的值；2.求证：对任意的正整数,4()1n fn是 3 的倍数参考答案1.答案：4,5解析：2.答案：四解析：3.答案：30 解析：4.答案：34解析：5.答案：5解析：6.答案：25解析：7.答案：34解析：8.答案：6 解析：9.答案：1解析：10.答案：2解析：11.答案：14解析：12.答案：5 77解析：13.答案：2 102解析：14.答案：,1解析：15.答案：1.证明：由正弦定理2Rsinsinsi
10、nabcABC，得2Rsin,2R sin,2R sinaA bB cC，代入coscoscoscoscAaBbAC，得(sincossincos)cossincosABBACCA，即sincossi()ncosABCCA.因为ABC，所以ini(ss n)ABC，所以sincossincosCCCA因为C是ABC的内角，所以sin0C，所以coscosCA.因为,A C是ABC的内角，所以AC.2.解：由 1 知AC，所以ac，所以222222cos2acbaBaca.因为1BA BCuu u r uuu r，所以22cos21aBa，所以23a.所以1cos3B.因为(0,)B，所以22
11、2sin1cos3BB.解析：16.答案：1.因为PA平面ABCD，AC平面ABCD，所以PAAC.因为1,2,60ABBCABC，由余弦定理，得22222cos122 1 2cos603ACABBCAB BCABC.因为2221(3)2，即222ABACBC，所以ACAB.因为ACPA，且PAABA，PA平面PAB，AB平面PAB，所以AC平面PAB.又AC平面PAC，所以平面PAC平面PAB.2.因为/BCAD，AD平面PAD，BC平面PAD，所以/BC平面PAD.因为BC平面PBC，且平面PBC平面PADl，所以/BCl.解析：17.答案：以点B为坐标原点，BP所在直线为x 轴，建立如图
12、所示平面直角坐标系，则0,045,1(),(),5165(7)0,BQC过点B作直线l与圆Q相切，与圆C交于点,MN，设直线l的方程为ykx，即0kxy，则点Q到l的距离为24515151kk，解得34k或0k(舍去)所以直线l的方程为34yx，即340 xy.点(160,75)C到直线l的距离223 160475363(4)CH.在RtCHM中，因为36,72CHCM，所以361cos722MCH.因为(0,)2MCH，所以3MCH，所以223MCNMCH，所以所用时长为233010min2.答：该游客能看到点B的时长为10min.解析：18.答案：1.因为椭圆过点2(1,)2，离心率为22
13、，所以222221111,1e22baba，解得222,1ab，所以椭圆C的方程为2212xy.2.由 1 知(0,1)B，设00(,),(,)M xyP x y由3BPBMuuu ruuuu r，得00()(,31)1x yxy，则00332,xxyy.因为P在直线20 xy上，所以00yx.因为M在椭圆C上，所以320012xy，将代入上式，得2023x.所以063x，从而6Px，所以1162 62622233PMAPABMABSSS.3.由 1 知，(),)0,11(0,AB设11220,01(),(,),),(,DmmM xyN xy因为MN的斜率为1，所以直线MN的方程为yxm.联立
14、方程组2212yxmxy消去 y，得2234220 xmxm，所以21212422,33mmxxxx.直线MB的方程为1111yyxx，直线NA的方程为2211yyxx，联立解得12211221(1)(1)(1)(1)Pyxyxyyxyx.将1122,yxm yxm代入，得2221211212211221212122442()()2()1333.44()()()33Pmmxxxxx xm xxxxmmxxm xxmm xxxym x所以1(0,)(,)1PPPOD OPmxymymmu uu r uu u r.解析：19.答案：1.21()afxxx，则(1)12fa，解得1a，则1()ln1
15、f xxx，此时(1)ln11 10f，则切点坐标为(1,0)，代入切线方程，得2b，所以1,2ab.2.2221()()ln1,()aaaxxag xf xaxxaxgxaxxxx.当0a时，1()0g xx，则()g x在区间1(0,)2上为增函数，则()g x在区间1(0,)2上无最小值当0a时，方程20axxa的判别式2140a，则方程有两个不相等的实数根，设为12,x x，由韦达定理得121x x，则两根一正一负，不妨设120 xx.设函数2()()0m xaxxa x，(i)若0a，当21(0,)2x时，11(0)0,()0242amama，解得203a.此时当2()0,xx时，(
16、)0m x，则()g x递减；当21(,)2xx时，()0m x，则()g x递增，当2xx时，()g x取极小值，即为最小值当212x时，1(0,),()02xm x，则()g x在1(0,)2上单调递减，无最小值(ii)若0a，当2(0,)xx时，()0m x，则()g x递增；当2(,)xx时，()0m x，则()g x递减，在区间1(0,)2上，()g x不会有最小值所以0a不满足条件综上，当203a时，()g x在区间1(0,)2上有最小值3.当0a时，由方程2()f xbx，得2ln10 xbx.记2()ln10,h xxbxx则2121()2bxh xbxxx.当0b时，()0h
17、 x恒成立，即()h x在(0,)上为增函数，则函数()h x至多只有一个零点，即方程2()f xbx至多只有一个实数根，所以0b不符合题意当0b时，当1(0,)2xb时，()0h x，所以函数()h x递增；当1(,)2xb时，()0h x，所以函数()h x递减，则max111()()ln222h xhbb.要使方程2()f xbx有两个不相等的实数根，则111()ln0222hbb，解得e02b.(i)当e02b时，21()0eebh.又2222112e()()0e22 ebbb，则11e2b，所以存在唯一的111(,)e2xb，使得1()0h x.(ii)1111()ln1ln1hbb
18、bbb，记1e()ln1,02k bbbb.因为22111()bk bbbb，则()k b在(0,1)上为增函数，在e(1,)2上为减函数，则max()(1)0k bk，则1()0hb.又222112()()022bbbb，即112bb，所以存在唯一的211(,2xb b，使得2()0h x.综上，当e02b时，方程2()f xbx有两个不相等的实数根解析：20.答案：1.解：因为na是2(),M rr数列，所以2rSr，且2rSr.由2rSr，得(1)322r rrdr.因为0r，所以(1)2()rd由2rSr，得2(21)62rrrdr.因为0r，所以()215()rd由()和()，解得3
19、,1rd.2.解：(i)若1q，则11,rtSra Sta.因为na是2(),Mrr数列，所以112(),2()rarrar由()和()，得12a且112a，矛盾，所以1q.(ii)当1q，因为na是2(),M rr数列，所以2rSr，且2rSr，即211(1)(1)2(),()11rraqaqrrqq由()和()，得12rq.当1r时，12q；当2,4r时，无解；当3r时，312q.综上，12q或312q.证明：因为na是,()Mr t 数列，,0()1q，所以rSt，且tSr，即1(1)1raqtq，且1(1)1taqrq，两式作商，得11rtqtqr，即()()11rtrqtq(i)若
20、r 为偶数，t 为奇数，则()()11rtrqtq因为,011,11rtrtqq，所以()()11rtrqtq，这与()()11rtrqtq矛盾，所以假设不成立(ii)若 r 为偶数，t 为偶数，则()()11rtrqtq设函数)01(1,xyxaa，则 1lnxxyaxaa.当0 x时，10,ln0 xxaxaa，所以1()xyxa在(0,)上递增因为r t，所以()()11rtrqtq，这与()()11rtrqtq矛盾，所以假设不成立(iii)若 r 为奇数，t为奇数，则()()11rtrqtq设函数)01(1,xyxaa，则 1lnxxyaxaa.设()1lnxxg xaxaa，则()l
21、n2()lnxg xaaxa令()0gx，得2lnxa.因为0,ln0 xaa，所以当2,()0lnxgxa，则()g x在区间2(,)ln a上递增；当20,()0lnxgxa，则()g x在区间2(0,)ln a上递减，所以min22()()1lnlng xgaaa.因为20ln a，所以21lnaa,所以min()0g x，从而()0g x在(0,)上恒成立，所以)01(1,xyxaa在(0,)上单调递增因为r t，所以()()11rtrqtq，这与()()11rtrqtq矛盾，所以假设不成立(iv)若 r 为奇数，t 为偶数由知，存在等比数列na为“()1,2M数列”综上，r 为奇数，
22、t 为偶数解析：21.答案：1.2212154121245M.2.矩阵M的特征多项式为21()(1)(3)12f令()0f，解得M的特征值为121,3.当1时，2112xxyy，得0 xyxy令1x，则1y，于是矩阵M的一个特征向量为11.当3时，21312xxyy，得00 xyxy令1x，则1y，于是矩阵M的一个特征向量为11.因此，矩阵M的特征值为1，3，分别对应一个特征向量为11，11.解析：22.答案：直线l的直角坐标方程为320 xy.曲线C的普通方程为22221()()xyr.因为圆心1(2,)C到直线l的距离2323213d，所以22()32ABrd.解析：23.答案：由柯西不等
23、式，得22222222311()()()(26)2xyzxyz.因为222496xyz，所以226()36xyz，所以6266xyz.当且仅当23112xyz时，不等式取等号，此时121,23xyz或121,23xyz，所以26xyz的最大值为6.解析：24.答案：1.解：因为l过()2,0M，且当l垂直于 x 轴时，4AB，所以抛物线经过点(2,2)，代入抛物线方程，得422p，解得1p.2.证明：设直线l的方程为1122()(),(,0)2),(,yk xkA xyB xy联立22(2)yxyk x消去 x，得2240kyyk，则12122,4tyy yk.因为点C为AB中点，所以1212
24、Cyyyk，则直线1l的方程为1yk.因为直线2l过点M且与l垂直，则直线2l的方程为1(2)yxk联立11(2)ykyxk解得11xyk即1(1,)Pk，所以点P在定直线1x上解析：25.答案：1.解：在 3 位数字符串中，子串“010”在第3 位出现有且只有1 个，即 010，所以(3)1f.在 4 位数字符串中，子串“010”在第4位出现有2 个，即 0010 与 1010，所以(4)2f.2.证明：当5n且*Nn时，当最后3 位是 010 时，前3n个数位上，每个数位上的数字都有两种可能，即0 和 1，所以共有32n种可能由于当最后3 位是 010 时，若最后5 位是 01010，且前
25、2n位形成的字符串中是子串“010”是在第2n位出现，此时不满足条件所以3()225(),nf nf nn且*Nn.因为(3)1f，所以(5)3f.下面用数学归纳法证明(41)fn是 3 的倍数当1n时，(5)3f是 3 的倍数；假设当*(N)nk k时，()41fk是 3 的倍数，那么当1nk时，()4(1)1fk5()4fk42(24)3kfk424()2241kkfk4(3)241kfk因为()41fk是 3 的倍数，且432k也是 3 的倍数，所以()45fk是 3 的倍数这就是说，当1nk时，()4(5)1fk是 3 的倍数由可知，对任意的正整数,4()1n fn是 3 的倍数解析：