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1、数学试卷一、填空题1.已知集合11Axx,1,0,2B,则AB_.2.设复数2(2)zi(i为虚数单位),则z的共轭复数为_.3.某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150,150,400,300名学生.为了解学生的就业倾向,用分层抽样的方法从该校这四个专业中抽取60。名学生进行调查,则应从丁专业抽取的学生人数为_.4.根据图中所示的伪代码,可知输出的结果S为_.5.函数1()()42xf x的定义域为 _.6.将黑白 2 个小球随机放入编号为1,2,3的三个盒子中,则黑白两球均不在1 号盒子的概率为_ 7.将函数()sin()(0)6f xx的图象向左平移3个单位后,所得图象关于直线x对称,则
2、的最小值为 _.8.若抛物线24xy的焦点到双曲线C:22221(0,0)xyabab的渐近线距离等于13,则双曲线C的离心率为 _.9.已知ABC中,角,A B C的对边分别为,a b c,且22265tanacBacb,则sin B的值是 _.10.将一个半径为2的圆分成圆心角之比为1:2的两个扇形,且将这两个扇形分别围成圆锥的侧面,则所得体积较小的圆锥与较大圆锥的体积之比为_.11.在平面直角坐标系xOy中,已知直线ykx被圆22222 3310 xymxmym截得的弦长是定值(与实数m无关),则实数k的值为 _.12.在平行四边形ABCD中,3A,边,AB AD的长分别为2,1,若,M
3、 N分别是边,BC CD上的点,且满足BMCNBCCDuu uu ruu u ruuu ruu u r,则AM ANu uu u r uuu r的最大值为 _.13.已知等差数列na的首项11a,若数列na恰有6项落在区间1(,8)2内,则公差d的取值范围是 _.二、解答题14.已知正实数,x y满足111xy,则3411xyxy的最小值为 _.15.ABC中,角,A B C的对边分别是,a b c且满足(2)coscosacBbC1.求角B的大小;2.若ABC的面积为为3 32且3b,求ab的值.16.在平行六面体1111ABCDA B C D中,ABAC,平面11BB C C底面ABCD,
4、点,M F分别是线段1,AA BC的中点.1.求证:1AFDD;2.求证:/AF平面1MBC.17.如图,有一张半径为1米的圆形铁皮,工人师傅需要剪一块顶角为锐角的等腰三角形ABC,不妨设ABAC,BC边上的高为AD,圆心为 O,为了使三角形的面积最大,我们设计了两种方案.（1）方案 1:设OBC为 ,用 表示ABC的面积()S;方案 2:设的ABC高AD为 h,用 h 表示ABC的面积()S h;（2）请从(1)中的两种方案中选择一种,求出ABC面积的最大值18.在平面直角坐标系xOy中,已知12,FF分别为椭圆22221(0)xyabab的左、右焦点,且椭圆经过点(2,0)A和点(1,3)
5、e,其中e为椭圆的离心率.1.求椭圆的方程;2.过点A的直线l交椭圆于另一点B,点M在直线l上,且 OMMA.若12MFBF,求直线l的斜率.19.设区间3,3D,定义在D上的函数3()1(0,)f xaxbxabR,集合,()0 xAaD f x.1.若16b,求集合A;2.设常数0b.讨论f()x的单调性;若1b,求证:A.20.设数列na的首项为1,前n项和为nS,若对任意的*nN,均有na(k是常数且*kN)成立,则称数列na为“()p k 数列”.1.若数列na为“(1)P数列”,求数列na的通项公式;2.是否存在数列na既是“()P k数列”,也是“(2)P k数列”?若存在,求出
6、符合条件的数列na的通项公式及对应的k的值;若不存在,请说明理由;21.已知,x yR,矩阵10 xAy有一个属于特征值2的特征向量11,1.求矩阵A,2.若矩阵1206B,求220201522.5m210vxa.22.在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为23,2252xtyt(t为参数).在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,圆C的方程为2 5 sin1.求圆C的直角坐标方程2.设圆C与直线l交于点A、B,若点P的坐标为3,5,求PAPB.23.已知,a b cR,且3abc,22226abc,求a的取值范围.24.如图,在平面直角坐标
7、系xOy中,已知直线l:40 xy,抛物线C:22(0)ypx p1.若直线l过抛物线C的焦点,求抛物线C的方程;2.已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q,求P的取值范围.参考答案1.答案：0解析：根据交集的定义即可求出.2.答案：34i解析：由于2(2)34zii,所以z的共轭复数为34i.3.答案：18解析：根据四个专业各有的人数,得到本校的总人数,根据要抽取的人数,得到每个个体被抽到的概率,利用丁专业的人数乘以每个个体被抽到的概率,得到丁专业要抽取的人数.4.答案：12解析：模拟程序语言的运行过程知该程序运行后输出345S.5.答案：(,2解析：本题主要考查函数定义域的求法以
8、及指数幂的运算,要求熟练掌握指数函数的性质,属于基础题.6.答案：49解析：7.答案：12解析：利用函数yAsinx的图象变换规律求得g x的解析式,再利用正弦函数的图象的对称性求得的最小值.8.答案：3?解析：先求出抛物线24xy的焦点坐标为0,1,和双曲线的一条渐近线方程为byxa,根据点到直线的距离公式和离心率公式即可求出.9.答案：35解析：因2222cosacbacB,故由22265tanacBacb可得35tancosBB,即3sin5B.故应填答案35.考点:余弦定理及同角关系得的运用.10.答案：1:10解析：设圆的半径为R,分别求出两个圆锥的底面半径和高,得出体积比.11.答
9、案：33解析：根据圆心距,半弦长,半径为直角三角形可知,直线的弦长为定值时,22Rd 为定值,即可求出k.12.答案：2,5解析：以A为原点,AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系,求得点,B C D坐标,设BMCNBCCDu uuu ruuu ru uu ruuu r,即可得到,M N的坐标,AMANuu uu r uuu r有向量坐标运算可得到关于的一元二次函数,进而求得范围13.答案：9 9,8 7解析：由题意列出符合条件的项的不等式11711,8,822nnnnaaaa将其用,n d表示出来,转化为线性规划问题,可行域是一个平行四边形内部及部分边界线,得出x只能取2及相应y的范围,即可
10、得到d的范围.14.答案：74 3解析：直接利用关系式的恒等变换将所求变形:3411xyxy=43xy再结合111xy即xyxy,利用基本不等式的应用求出结果.15.答案：1.3B2.2 3ac解析：1.因为根据已知中的边角关系可以将边化为角,运用正弦定理,得到角的关系式,得到 B。2.利用正弦面积公式可知,ac的乘积,然后再结合余弦定理可知ac的值。16.答案：1.ABAC,点F是线段BC的中点,AFBC.又平面11BB C C底面ABC,AF平面ABC,平面11BB C C底面ABCBC,AF平面11BB C C.又1CC平面11BBC C,1AFCC,又11/CCDD,1AFDD.2.连
11、结1B C与1BC交于点E,连结,EM FE.在斜三棱111ABCA B C中,四边形11BCC B是平行四边形,点E为1B C的中点.点F是BC的中点,111/,2FEB B FEB B.又点M是平行四边形11BCC B边1AA的中点,111/,2AMB B AMB B./,.AMFE AMFE四边形AFEM是平行四边形./EMAF.又EM平面1MBC,AF平面1MBC,/AF平面1MBC.解析：本题考查了由线面垂直证明线线垂直及线线平行证线面平行的问题,熟练掌握线面垂直、平行定理是关键,属于中等题.17.答案：（1）1()cossincos(0,)22SBCAD;2()2,(1,2)S h
12、hhhh（2）3 34解析：18.答案：1.22143xy2.3 1010解析：1.由椭圆经过点2,0A和 1,3,e列出方程组,求出2?a,3b,1c,由此能求出椭圆的方程;2.设直线l的方程是(2)yk x联立方程组,求出点B坐标,点M的坐标为1,k由12MFBF,即可求出直线l的斜率.19.答案：1.1054Aaa2.略解析：20.答案：1.12nna2.不存在解析：21.答案：1.1120A2.220201522.5m210vxa=0315解析：22.答案：1.由2 5?sin,得222 50 xyy,即2255xy2.方法一:将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程,得22223522tt,即23 240tt,由于23 24420,故可设1t、2t是上述方程的两实根,所以121 23 2,4,ttt t又直线l过点3,5?P,故由上式及t的几何意义得:12123 2PAPBtttt.方法二:因为圆C的圆心为0,5,半径5r,直线l的普通方程为:35yx.由2255,35,xyyx得2320 xx,解得1,25,xy或2,15.xy不妨设1,25A、2,15B,又点P的坐标为3,5,故823 2PAPB.解析：23.答案：1205a解析：利用题意结合柯西不等式的结论构造关于实数a的不等式,求解不等式可得a的取值范围是1205a.24.答案：1.216yx2.8(0,)3解析：