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1、第1页（共 31页）2015 年河北省中考数学试卷一.选择题（1-10 小题每小题 3 分，11-16 小题每小题 3 分，共 42分.每小题的四个选项中只有一个是正确的）1（3 分）计算：32（1）=（）A5 B1 C 1 D62（3 分）下列说法正确的是（）A1 的相反数是 1 B1 的倒数是 1C1 的立方根是 1 D1是无理数3（3 分）一张菱形纸片按如图1、图 2 依次对折后，再按如图3 打出一个圆形小孔，则展开铺平后的图案是（）ABCD4（3 分）下列运算正确的是（）A（）1=B6107=6000000C（2a）2=2a2Da3?a2=a55（3 分）如图所示的三视图所对应的几何体
2、是（）第2页（共 31页）ABC D6（3 分）如图，AC，BE是O 的直径，弦 AD与 BE交于点 F，下列三角形中，外心不是点 O的是（）AABE BACF CABD DADE7（3 分）在数轴上标注了四段范围，如图，则表示的点落在（）A段B段C段D段8（3 分）如图，ABEF，CD EF，BAC=50 ，则 ACD=（）A120 B130 C 140 D 1509（3 分）已知：岛 P位于岛 Q 的正西方，由岛 P，Q 分别测得船 R位于南偏东30 和南偏西 45 方向上，符合条件的示意图是（）ABCD第3页（共 31页）10（3 分）一台印刷机每年可印刷的书本数量y（万册）与它的使用时
3、间x（年）成反比例关系，当x=2时，y=20则 y 与 x 的函数图象大致是（）ABCD11（2 分）利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（）A要消去 y，可以将 5+2 B要消去 x，可以将 3+（5）C要消去 y，可以将 5+3 D要消去 x，可以将（5）+212（2 分）若关于 x 的方程 x2+2x+a=0不存在实数根，则 a的取值范围是（）Aa1 Ba1 Ca1 Da113（2 分）将一质地均匀的正方体骰子掷一次，观察向上一面的点数，与点数3相差 2 的概率是（）ABC D14（2 分）如图，直线l：y=x3 与直线 y=a（a 为常数）的交点在第四象限，则 a可能在（）A1a2
4、 B2a0 C3a2 D10a415（2 分）如图，点 A，B为定点，定直线 lAB，P是 l 上一动点，点 M，N 分第4页（共 31页）别为 PA，PB的中点，对下列各值：线段 MN 的长；PAB的周长；PMN 的面积；直线MN，AB 之间的距离；APB的大小其中会随点 P的移动而变化的是（）ABCD16（2 分）如图是甲、乙两张不同的矩形纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的正方形，则（）A甲、乙都可以B甲、乙都不可以C甲不可以、乙可以D甲可以、乙不可以二.填空题（4 个小题，每小题3 分，共 12 分）17（3 分）若|a|=20150，则 a=18（3 分）若
5、a=2b0，则的值为19（3 分）平面上，将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起，如图，则3+12=20（3 分）如图，BOC=9 ，点 A 在 OB上，且 OA=1，按下列要求画图：以 A 为圆心，1 为半径向右画弧交OC于点 A1，得第 1 条线段 AA1；再以 A1为圆心，1 为半径向右画弧交OB于点 A2，得第 2 条线段 A1A2；第5页（共 31页）再以 A2为圆心，1 为半径向右画弧交OC于点 A3，得第 3 条线段 A2A3；这样画下去，直到得第n 条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n=三.解答题（共 6 个小题，共 66 分）21（10
6、 分）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程随后用手掌捂住了如图所示的一个二次三项式，形式如图：（1）求所捂的二次三项式；（2）若 x=+1，求所捂二次三项式的值22（10 分）嘉淇同学要证明命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”是正确的，她先用尺规作出了如图1 的四边形 ABCD，并写出了如下不完整的已知和求证已知：如图 1，在四边形 ABCD中，BC=AD，AB=求证：四边形 ABCD是四边形（1）在方框中填空，以补全已知和求证；（2）按嘉淇的想法写出证明；（3）用文字叙述所证命题的逆命题为23（10 分）水平放置的容器内原有210 毫米高的水，如图，将若干个球逐一放入该容器中，每放入
7、一个大球水面就上升4 毫米，每放入一个小球水面就上升3第6页（共 31页）毫米，假定放入容器中的所有球完全浸没水中且水不溢出设水面高为y 毫米（1）只放入大球，且个数为 x大，求 y 与 x大的函数关系式（不必写出 x大的范围）；（2）仅放入 6 个大球后，开始放入小球，且小球个数为x小求 y 与 x小的函数关系式（不必写出x小范围）；限定水面高不超过260 毫米，最多能放入几个小球？24（11 分）某厂生产A，B 两种产品，其单价随市场变化而做相应调整营销人员根据前三次单价变化的情况，绘制了如表统计表及不完整的折线图A，B产品单价变化统计表第一次第二次第三次A产品单价（元/件）65.26.5
8、B产品单价（元/件）3.543并求得了 A 产品三次单价的平均数和方差：=5.9，sA2=（65.9）2+（5.25.9）2+（6.55.9）2=（1）补全如图中B 产品单价变化的折线图 B 产品第三次的单价比上一次的单价降低了%（2）求 B产品三次单价的方差，并比较哪种产品的单价波动小；（3）该厂决定第四次调价，A 产品的单价仍为 6.5 元/件，B产品的单价比 3 元/件上调 m%（m0），使得 A 产品这四次单价的中位数是B 产品四次单价中位数的 2 倍少 1，求 m 的值第7页（共 31页）25（11分）如图，已知点O（0，0），A（5，0），B（2，1），抛物线 l：y=（xh）2+
9、1（h 为常数）与 y 轴的交点为 C（1）l 经过点 B，求它的解析式，并写出此时l 的对称轴及顶点坐标；（2）设点 C的纵坐标为 yc，求 yc的最大值，此时 l 上有两点（x1，y1），（x2，y2），其中 x1x20，比较 y1与 y2的大小；（3）当线段 OA被 l 只分为两部分，且这两部分的比是1：4 时，求 h 的值26（14 分）平面上，矩形ABCD与直径为 QP的半圆 K如图 1 摆放，分别延长DA和 QP交于点 O，且DOQ=60 ，OQ=0D=3，OP=2，OA=AB=1 让线段 OD及矩形 ABCD位置固定，将线段 OQ连带着半圆 K一起绕着点 O 按逆时针方向开始旋转
10、，设旋转角为（0 60）发现：（1）当=0，即初始位置时，点P直线 AB 上（填“在”或“不在”）求当 是多少时，OQ经过点 B（2）在 OQ旋转过程中，简要说明是多少时，点 P，A 间的距离最小？并指出这个最小值；（3）如图 2，当点 P恰好落在 BC边上时，求 a 及 S阴影拓展：如图 3，当线段 OQ与 CB边交于点 M，与 BA边交于点 N 时，设 BM=x（x0），第8页（共 31页）用含 x 的代数式表示 BN的长，并求 x 的取值范围探究：当半圆 K 与矩形 ABCD的边相切时，求 sin 的值第9页（共 31页）2015 年河北省中考数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（1-1
11、0 小题每小题 3 分，11-16 小题每小题 3 分，共 42分.每小题的四个选项中只有一个是正确的）1（3 分）（2015?河北）计算：32（1）=（）A5 B1 C 1 D6【分析】先算乘法，再算减法，由此顺序计算即可【解答】解：原式=3（2）=3+2=5故选：A【点评】此题考查有理数的混合运算，掌握运算顺序与符号的判定是解决问题的关键2（3 分）（2015?河北）下列说法正确的是（）A1 的相反数是 1 B1 的倒数是 1C1 的立方根是 1 D1是无理数【分析】根据相反数、倒数、立方根，即可解答【解答】解：A、1 的相反数是 1，正确；B、1 的倒数是 1，故错误；C、1 的立方根是
12、 1，故错误；D、1 是有理数，故错误；故选：A【点评】本题考查了相反数、倒数、立方根，解决本题的关键是熟记相反数、倒数、立方根的定义3（3 分）（2015?河北）一张菱形纸片按如图1、图 2 依次对折后，再按如图3第10页（共 31页）打出一个圆形小孔，则展开铺平后的图案是（）ABCD【分析】对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现【解答】解：严格按照图中的顺序向右翻折，向右上角翻折，打出一个圆形小孔，展开得到结论故选 C【点评】此题主要考查了剪纸问题；学生的动手能力及空间想象能力是非常重要的，做题时，要注意培养4（3 分）（2015?河北）下列运算正确的是（）A（）1=B6
13、107=6000000C（2a）2=2a2Da3?a2=a5【分析】A：根据负整数指数幂的运算方法判断即可B：科学记数法 a10n表示的数“还原”成通常表示的数，就是把a 的小数点向右移动 n 位所得到的数，据此判断即可C：根据积的乘方的运算方法判断即可D：根据同底数幂的乘法法则判断即可【解答】解：=2，选项 A 不正确；6107=60000000，选项 B不正确；（2a）2=4a2，选项 C不正确；a3?a2=a5，第11页（共 31页）选项 D 正确故选：D【点评】（1）此题主要考查了幂的乘方和积的乘方，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（am）n=amn（m，n 是正整数）；（ab）n
14、=anbn（n 是正整数）（2）此题还考查了负整数指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：ap=（a0，p 为正整数）；计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算；当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数（3）此题还考查了同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：底数必须相同；按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加（4）此题还考查了科学记数法原数，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：科学记数法 a10n表示的数“还原”成通常表示的数，就是把 a 的小数点向右移动n 位所得到的数若科学记数法表示较小的数
15、a10n，还原为原来的数，需要把 a 的小数点向左移动n 位得到原数5（3 分）（2015?河北）如图所示的三视图所对应的几何体是（）ABC D【分析】对所给四个几何体，分别从主视图和俯视图进行判断【解答】解：从主视图可判断A，C、D 错误故选 B第12页（共 31页）【点评】本题考查了由三视图判断几何体：由三视图想象几何体的形状，首先应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状6（3 分）（2015?河北）如图，AC，BE是O 的直径，弦 AD与 BE交于点 F，下列三角形中，外心不是点O的是（）AABE BACF CABD DADE【分析】
16、利用外心的定义，外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，进而判断得出即可【解答】解：如图所示：只有 ACF的三个顶点不都在圆上，故外心不是点O 的是ACF 故选：B【点评】此题主要考查了三角形外心的定义，正确把握外心的定义是解题关键7（3 分）（2015?河北）在数轴上标注了四段范围，如图，则表示的点落在（）A段B段C段D段【分析】根据数的平方，即可解答【解答】解：2.62=6.76，2.72=7.29，2.82=7.84，2.92=8.41，32=9，7.8488.41，的点落在段，故选：C第13页（共 31页）【点评】本题考查了估算无理数的大小，解决本题的
17、关键是计算出各数的平方8（3 分）（2015?河北）如图，ABEF，CD EF，BAC=50 ，则ACD=（）A120 B130 C 140 D 150【分析】如图，作辅助线；首先运用平行线的性质求出DGC的度数，借助三角形外角的性质求出 ACD即可解决问题【解答】解：如图，延长AC交 EF于点 G；ABEF，DGC=BAC=50 ；CD EF，CDG=90 ，ACD=90 +50=140，故选 C【点评】该题主要考查了垂线的定义、平行线的性质、三角形的外角性质等几何知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线，将分散的条件集中；解题的关键是灵活运用平行线的性质、三角形的外角性质等几何知识点来分析
18、、判断、解答9（3 分）（2015?河北）已知：岛 P位于岛 Q 的正西方，由岛 P，Q 分别测得船R位于南偏东 30 和南偏西 45 方向上，符合条件的示意图是（）AB第14页（共 31页）CD【分析】根据方向角的定义，即可解答【解答】解：根据岛 P，Q分别测得船 R位于南偏东 30 和南偏西 45 方向上，故D符合故选：D【点评】本题考查了方向角，解决本题的关键是熟记方向角的定义10（3 分）（2015?河北）一台印刷机每年可印刷的书本数量y（万册）与它的使用时间 x（年）成反比例关系，当 x=2 时，y=20 则 y 与 x 的函数图象大致是（）ABCD【分析】设 y=（k0），根据当
19、x=2 时，y=20，求出 k，即可得出 y 与 x 的函数图象【解答】解：设 y=（k0），当 x=2时，y=20，k=40，y=，则 y 与 x 的函数图象大致是C，第15页（共 31页）故选：C【点评】此题考查了反比例函数的应用，关键是根据题意设出解析式，根据函数的解析式得出函数的图象11（2 分）（2015?河北）利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（）A要消去 y，可以将 5+2 B要消去 x，可以将 3+（5）C要消去 y，可以将 5+3 D要消去 x，可以将（5）+2【分析】方程组利用加减消元法求出解即可【解答】解：利用加减消元法解方程组，要消去 x，可以将（5）+2故选 D
20、【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法12（2分）（2015?河北）若关于 x 的方程 x2+2x+a=0不存在实数根，则a 的取值范围是（）Aa1 Ba1 Ca1 Da1【分析】根据根的判别式得出b24ac0，代入求出不等式的解集即可得到答案【解答】解：关于x 的方程 x2+2x+a=0不存在实数根，b24ac=2241a0，解得：a1故选 B【点评】此题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式，关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）0?方程有两个不相等的实数根；（2）=0?方程有两个相等的实数根；第16页（共 31页）（3）0
21、?方程没有实数根13（2 分）（2015?河北）将一质地均匀的正方体骰子掷一次，观察向上一面的点数，与点数 3 相差 2 的概率是（）ABC D【分析】由一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上分别刻有1 到 6 的点数，掷一次这枚骰子，向上的一面的点数为与点数3 相差 2 的有 2 种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案【解答】解：一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上分别刻有1 到 6 的点数，掷一次这枚骰子，向上的一面的点数为点数3 相差 2 的有 2 种情况，掷一次这枚骰子，向上的一面的点数为点数3 相差 2 的概率是：=故选 B【点评】此题考查了概率公式的应用注意用到的知识点为：概率=所求情
22、况数与总情况数之比14（2 分）（2015?河北）如图，直线l：y=x3 与直线 y=a（a 为常数）的交点在第四象限，则a 可能在（）A1a2 B2a0 C3a2 D10a4【分析】先求出直线y=x3 与 y 轴的交点，则根据题意得到a3 时，直线 y=x3 与直线 y=a（a 为常数）的交点在第四象限，而四个选项中，只有10a4满足条件，故选D【解答】解：直线y=x3 与 y轴的交点为（0，3），第17页（共 31页）而直线 y=x3 与直线 y=a（a 为常数）的交点在第四象限，a3故选 D【点评】本题考查了两直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式
23、所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么它们的自变量系数相同，即k 值相同15（2 分）（2015?河北）如图，点 A，B为定点，定直线 lAB，P是 l 上一动点，点 M，N 分别为 PA，PB的中点，对下列各值：线段 MN 的长；PAB的周长；PMN 的面积；直线MN，AB 之间的距离；APB的大小其中会随点 P的移动而变化的是（）ABCD【分析】根据三角 形的 中位 线 平行 于 第三边并且等于 第三边的一半可得MN=AB，从而判断出不变；再根据三角形的周长的定义判断出是变化的；确定出点 P到 MN 的距离不变，然后根据等底等高的三角形的面积相等确定出不变；根据平行线间的
24、距离相等判断出不变；根据角的定义判断出变化【解答】解：点A，B为定点，点 M，N 分别为 PA，PB的中点，MN 是PAB的中位线，MN=AB，即线段 MN 的长度不变，故错误；PA、PB的长度随点 P的移动而变化，所以，PAB的周长会随点 P的移动而变化，故正确；MN 的长度不变，点 P到 MN 的距离等于 l 与 AB的距离的一半，第18页（共 31页）PMN 的面积不变，故错误；直线 MN，AB之间的距离不随点P的移动而变化，故错误；APB的大小点 P的移动而变化，故正确综上所述，会随点P的移动而变化的是故选：B【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，等底等高的
25、三角形的面积相等，平行线间的距离的定义，熟记定理是解题的关键16（2 分）（2015?河北）如图是甲、乙两张不同的矩形纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的正方形，则（）A甲、乙都可以B甲、乙都不可以C甲不可以、乙可以D甲可以、乙不可以【分析】根据图形可得甲可以拼一个边长为的正方形，图乙可以拼一个边长为的正方形【解答】解：所作图形如图所示，甲乙都可以拼一个与原来面积相等的正方形故选：A【点评】本题考查了图形的简拼，解答本题的关键是根据题意作出图形二.填空题（4 个小题，每小题3 分，共 12 分）17（3 分）（2015?河北）若|a|=20150，则 a=1第19页（共
26、 31页）【分析】先根据0 次幂，得到|a|=1，再根据互为相反数的绝对值相等，即可解答【解答】解：|a|=20150，|a|=1，a=1，故答案为：1【点评】本题考查了绝对值，解决本题的关键是熟记互为相反数的两个数绝对值相等18（3 分）（2015?河北）若 a=2b0，则的值为【分析】把 a=2b代入原式计算，约分即可得到结果【解答】解：a=2b，原式=，故答案为：【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键19（3 分）（2015?河北）平面上，将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起，如图，则3+12=24【分析】首先根据多边形内角和定理
27、，分别求出正三角形、正方形、正五边形、正六边形的每个内角的度数是多少，然后分别求出 3、1、2 的度数是多少，进而求出 3+12 的度数即可【解答】解：正三角形的每个内角是：180 3=60，第20页（共 31页）正方形的每个内角是：360 4=90，正五边形的每个内角是：（52）180 5=3180 5=540 5=108，正六边形的每个内角是：（62）180 6=4180 6=720 6=120，则3+12=（90 60）+（120 108）（108 90）=30+12 18=24 故答案为：24【点评】此题主要考查了多边形内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）n 边形的内
28、角和=（n2）?180（n3）且 n 为整数）（2）多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则 n 边形取 n 个外角，无论边数是几，其外角和永远为 360 20（3 分）（2015?河北）如图，BOC=9 ，点 A 在 OB上，且 OA=1，按下列要求画图：以 A 为圆心，1 为半径向右画弧交OC于点 A1，得第 1 条线段 AA1；再以 A1为圆心，1 为半径向右画弧交OB于点 A2，得第 2 条线段 A1A2；再以 A2为圆心，1 为半径向右画弧交OC于点 A3，得第 3 条线段 A2A3；这样画下去，直到得第n 条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n=9第21页（共 31页）【分
29、析】根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质依次可得A1AB 的度数，A2A1C的度数，A3A2B 的度数，A4A3C的度数，依此得到规律，再根据三角形外角小于 90 即可求解【解答】解：由题意可知：AO=A1A，A1A=A2A1，则AOA1=OA1A，A1AA2=A1A2A，BOC=9 ，A1AB=18 ，A2A1C=27，A3A2B=36 的度数，A4A3C=45，9 n90，解得 n10由于 n 为整数，故 n=9故答案为：9【点评】考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等；三角形外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和三.解答题（共 6 个小题，共 66 分）21
30、（10分）（2015?河北）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程随后用手掌捂住了如图所示的一个二次三项式，形式如图：（1）求所捂的二次三项式；（2）若 x=+1，求所捂二次三项式的值【分析】（1）根据题意列出关系式，去括号合并即可得到结果；（2）把 x 的值代入计算即可求出值【解答】解：（1）设所捂的二次三项式为A，根据题意得：A=x25x+1+3x=x22x+1；（2）当 x=+1 时，原式=7+222+1=6【点评】此题考查了整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的第22页（共 31页）关键22（10 分）（2015?河北）嘉淇同学要证明命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形
31、”是正确的，她先用尺规作出了如图1 的四边形 ABCD，并写出了如下不完整的已知和求证已知：如图 1，在四边形 ABCD中，BC=AD，AB=CD求证：四边形 ABCD是平行四边形（1）在方框中填空，以补全已知和求证；（2）按嘉淇的想法写出证明；（3）用文字叙述所证命题的逆命题为平行四边形两组对边分别相等【分析】（1）命题的题设为“两组对边分别相等的四边形”，结论是“是平行四边形”，根据题设可得已知：在四边形 ABCD中，BC=AD，AB=CD，求证：四边形 ABCD是平行四边形；（2）连接 BD，利用 SSS 定理证明 ABD CDB可得 ADB=DBC，ABD=CDB，进而可得 ABCD，
32、ADCB，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形 ABCD是平行四边形；（3）把命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”的题设和结论对换可得平行四边形两组对边分别相等【解答】解：（1）已知：如图 1，在四边形 ABCD中，BC=AD，AB=CD求证：四边形 ABCD是平行四边形（2）证明：连接 BD，在ABD和CDB中，第23页（共 31页），ABD CDB（SSS），ADB=DBC，ABD=CDB，ABCD，ADCB，四边形 ABCD是平行四边形；（3）用文字叙述所证命题的逆命题为：平行四边形两组对边分别相等【点评】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握两组对边分别平行的
33、四边形是平行四边形23（10 分）（2015?河北）水平放置的容器内原有210 毫米高的水，如图，将若干个球逐一放入该容器中，每放入一个大球水面就上升4 毫米，每放入一个小球水面就上升 3 毫米，假定放入容器中的所有球完全浸没水中且水不溢出设水面高为 y 毫米（1）只放入大球，且个数为 x大，求 y 与 x大的函数关系式（不必写出 x大的范围）；（2）仅放入 6 个大球后，开始放入小球，且小球个数为x小求 y 与 x小的函数关系式（不必写出x小范围）；限定水面高不超过260 毫米，最多能放入几个小球？【分析】（1）根据每放入一个大球水面就上升4 毫米，即可解答；（2）根据 y=放入大球上面的高
34、度+放入小球上面的高度，即可解答；根据题意列出不等式，即可解答【解答】解：（1）根据题意得：y=4x大+210；第24页（共 31页）（2）当 x大=6 时，y=46+210=234，y=3x小+234；依题意，得 3x小+234260，解得：，x小为自然数，x小最大为 8，即最多能放入8 个小球【点评】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是根据题意，列出函数关系式、一元一次不等式24（11 分）（2015?河北）某厂生产A，B 两种产品，其单价随市场变化而做相应调整营销人员根据前三次单价变化的情况，绘制了如表统计表及不完整的折线图A，B产品单价变化统计表第一次第二次第三次A产品单价（元/
35、件）65.26.5B产品单价（元/件）3.543并求得了 A 产品三次单价的平均数和方差：=5.9，sA2=（65.9）2+（5.25.9）2+（6.55.9）2=（1）补全如图中B 产品单价变化的折线图 B 产品第三次的单价比上一次的单价降低了25%（2）求 B产品三次单价的方差，并比较哪种产品的单价波动小；（3）该厂决定第四次调价，A 产品的单价仍为 6.5 元/件，B产品的单价比 3 元/件上调 m%（m0），使得 A 产品这四次单价的中位数是B 产品四次单价中位数的 2 倍少 1，求 m 的值第25页（共 31页）【分析】（1）根据题目提供数据补充折线统计图即可；（2）分别计算平均数及
36、方差即可；（3）首先确定这四次单价的中位数，然后确定第四次调价的范围，根据“A产品这四次单价的中位数是B产品四次单价中位数的2 倍少 1”列式求 m 即可【解答】解：（1）如图 2 所示：B产品第三次的单价比上一次的单价降低了=25%，（2）=（3.5+4+3）=3.5，=，B产品的方差小，B产品的单价波动小；（3）第四次调价后，对于A 产品，这四次单价的中位数为=；对于 B产品，m0，第四次单价大于3，1，第26页（共 31页）第四次单价小于4，21=，m=25【点评】本题考查了方差、条形统计图、算术平均数、中位数的知识，解题的关键是根据方差公式进行有关的运算，难度不大25（11 分）（20
37、15?河北）如图，已知点O（0，0），A（5，0），B（2，1），抛物线 l：y=（xh）2+1（h 为常数）与 y 轴的交点为 C（1）l 经过点 B，求它的解析式，并写出此时l 的对称轴及顶点坐标；（2）设点 C的纵坐标为 yc，求 yc的最大值，此时 l 上有两点（x1，y1），（x2，y2），其中 x1x20，比较 y1与 y2的大小；（3）当线段 OA被 l 只分为两部分，且这两部分的比是1：4 时，求 h 的值【分析】（1）把点 B的坐标代入函数解析式，列出关于 h 的方程，借助于方程可以求得 h 的值；利用抛物线函数解析式得到该图象的对称轴和顶点坐标；（2）把点 C 的坐标代入函
38、数解析式得到：yC=h2+1，则由二次函数的最值的求法易得 yc的最大值，并可以求得此时抛物线的解析式，根据抛物线的增减性来求 y1与 y2的大小；（3）根据已知条件“O（0，0），A（5，0），线段 OA被 l 只分为两部分，且这两部分的比是 1：4”可以推知把线段OA被 l 只分为两部分的点的坐标分别是（1，0），（4，0）由二次函数图象上点的坐标特征可以求得h 的值【解答】解：（1）把点 B的坐标 B（2，1）代入 y=（xh）2+1，得1=（2h）2+1解得 h=2则该函数解析式为y=（x2）2+1（或 y=x2+4x3）第27页（共 31页）故抛物线 l 的对称轴为 x=2，顶点坐标
39、是（2，1）；（2）点 C的横坐标为 0，则 yC=h2+1当 h=0时，yC=有最大值 1，此时，抛物线 l 为：y=x2+1，对称轴为 y 轴，开口方向向下，所以，当 x0 时，y 随 x 的增大而减小，所以，x1x20，y1y2；（3）线段 OA 被 l 只分为两部分，且这两部分的比是1：4，且 O（0，0），A（5，0），把线段 OA被 l 只分为两部分的点的坐标分别是（1，0），（4，0）把 x=1，y=0 代入 y=（xh）2+1，得0=（1h）2+1，解得 h1=0，h2=2但是当 h=2 时，线段 OA被抛物线 l 分为三部分，不合题意，舍去同样，把 x=4，y=0 代入 y=
40、（xh）2+1，得h=5 或 h=3（舍去）综上所述，h 的值是 0 或5【点评】本题考查了二次函数综合题 该题涉及到了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数最值的求法以及点的坐标与图形的性质等知识点，综合性比较强，难度较大解答（3）题时，注意对 h 的值根据实际意义进行取舍26（14 分）（2015?河北）平面上，矩形ABCD与直径为 QP的半圆 K如图 1 摆放，分别延长 DA和 QP交于点 O，且DOQ=60，OQ=0D=3，OP=2，OA=AB=1 让线段 OD及矩形 ABCD位置固定，将线段OQ连带着半圆 K 一起绕着点 O 按逆时针方向开始旋转，设旋转角为
41、（0 60）发现：（1）当=0，即初始位置时，点 P在直线 AB上（填“在”或“不在”）求当 第28页（共 31页）是多少时，OQ经过点 B（2）在 OQ旋转过程中，简要说明是多少时，点 P，A 间的距离最小？并指出这个最小值；（3）如图 2，当点 P恰好落在 BC边上时，求 a 及 S阴影拓展：如图 3，当线段 OQ与 CB边交于点 M，与 BA边交于点 N 时，设 BM=x（x0），用含 x 的代数式表示 BN的长，并求 x 的取值范围探究：当半圆 K 与矩形 ABCD的边相切时，求 sin 的值【分析】（1）在，当 OQ过点 B时，在 RtOAB中，AO=AB，得到 DOQ=ABO=45
42、 ，求得=6045=15；（2）如图 2，连接 AP，由 OA+APOP，当 OP过点 A，即=60时，等号成立，于是有 APOPOA=21=1，当=60时，P、A 之间的距离最小，即可求得结果（3）如图 2，设半圆 K与 PC交点为 R，连接 RK，过点 P作 PHAD于点 H，过点 R 作 RE KQ于点 E，在 RtOPH中，PH=AB=1，OP=2，得到 POH=30 ，求得=6030=30，由于ADBC，得到 RPO=POH=30 ，求出 RKQ=2 30=60，于是得到结果；拓展：如图 5，由 OAN=MBN=90，ANO=BNM，得到 AONBMN 求出 BN=，如图 4，当点
43、Q 落在 BC上时，x 取最大值，作QFAD 于点 F，BQ=AF=AO=21，求出 x 的取值范围是 0 x21；探究：半圆 K与矩形 ABCD的边相切，分三种情况；如图 5，半圆 K与 BC相切于点 T，设直线 KT与 AD，OQ的初始位置所在的直第29页（共 31页）线分别交于点 S，O ，于是得到 KSO=KTB=90 ，作 KG OO 于 G，在 RtOSK中，求出 OS=2，在 RtOSO 中，SO=OS?tan60=2，KO=2 在 RtKGO 中，O=30，求得 KG=KO=，在 RtOGK中，求得结果；当半圆 K与 AD相切于 T，如图 6，同理可得 sin 的值当半圆 K与
44、 CD切线时，点 Q 与点 D 重合，且为切点，得到=60于是结论可求【解答】解：发现：（1）在，当 OQ过点 B时，在 RtOAB中，AO=AB，DOQ=ABO=45 ，=6045=15；（2）如图 2，连接 AP，OA+AP OP，当 OP过点 A，即=60时，等号成立，AP OPOA=21=1，当=60时，P、A 之间的距离最小，PA的最小值=1；（3）如图 2，设半圆 K与 PC交点为 R，连接 RK，过点 P作 PHAD于点 H，过点 R作 RE KQ于点 E，在 RtOPH中，PH=AB=1，OP=2，POH=30 ，=6030=30，ADBC，RPO=POH=30 ，RKQ=2
45、30=60，S扇形KRQ=，在 RtRKE中，RE=RK?sin60=，SPRK=?RE=，S阴影=+；第30页（共 31页）拓展：如图 5，OAN=MBN=90，ANO=BNM，AON BMN，即，BN=，如图 4，当点 Q落在 BC上时，x 取最大值，作 QFAD于点 F，BQ=AF=AO=21，x 的取值范围是 0 x21；探究：半圆 K与矩形 ABCD的边相切，分三种情况；如图 5，半圆 K与 BC相切于点 T，设直线 KT与 AD，OQ的初始位置所在的直线分别交于点 S，O ，则KSO=KTB=90 ，作 KG OO 于 G，在 RtOSK中，OS=2，在 RtOSO 中，SO=OS?tan60=2，KO=2，在 RtKGO 中，O=30，KG=KO=，在 RtOGK中，sin=，当 半 圆K与AD相 切于T，如 图6，同 理 可得sin=；当半圆 K与 CD切线时，点 Q 与点 D 重合，且为切点，=60，第31页（共 31页）sin=sin60，综上所述 sin 的值为：或或【点评】本题考查了矩形的性质，直线与圆的位置关系，勾股定理，锐角三角函数，根据题意正确的画出图形是解题的关键