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1、开放与探究（一）开放与探究（一）构造全等三角形的四种常用方法构造全等三角形的四种常用方法第第1章章 三角形的初步三角形的初步认识1234提示：点击 进入习题答案答案显示示习题链接习题链接(1)证明见证明见习题习题(2)1AD4.EF BE FD，证明证明见习题见习题证明见习题证明见习题证明见习题证明见习题【例例】如如图，在四边形图，在四边形ABCD中，中，BCBA，ADDC，BD平分平分ABC，试猜想，试猜想A与与C有什么关系？并说明理由有什么关系？并说明理由【解题秘方解题秘方】添加辅助线，构造全等，找添加辅助线，构造全等，找到一些量之间的关系，使问题得以解决到一些量之间的关系，使问题得以解决
2、解解：AC180，理由如下：，理由如下：如图，在线段如图，在线段BC上取一点上取一点E，使，使EBAB，连结，连结DE.1如图，在如图，在 ABC中，中，BE是是ABC的平分线，的平分线，ADBE，垂足为，垂足为D.求证：求证：21C.证明：如图，延长证明：如图，延长AD交交BC于点于点F.(相当于将相当于将AB边向下翻折，边向下翻折，与与BC边重合，边重合，A点落在点落在F点处，折痕为点处，折痕为BE)BE平分平分ABC，ABECBE.BDAD，ADBBDF90.2如图，在直角三角形如图，在直角三角形ABC中，中，ACB90，ACBC，ABC45，点，点D为为BC的中点，的中点，CEAD于点
3、于点E，其延长，其延长线交线交AB于点于点F，连结，连结DF.求证：求证：ADCBDF.【点拨点拨】本题运用了构造法，通过作辅助线构造本题运用了构造法，通过作辅助线构造 CBG，BGF是解题的关键是解题的关键证证明明：如如图图，过过点点B作作BGBC交交CF的的延延长长线线于于点点G，则则CBG90.ACB90，2ACF90.CEAD，AEC90，1ACF180AEC1809090.12.3如图，在如图，在 ABC中，中，D为为BC的中点的中点(1)求证：求证：ABAC 2AD；证明证明：延长延长AD至点至点E，使，使DEAD，连结，连结BE.D为为BC的中点的中点，CDBD.又又ADED，A
4、DCEDB，ADCEDB.ACEB.ABBEAE，ABAC2AD.(2)若若AB5，AC3，求，求AD的取值范围的取值范围证明证明：ABBEAEABBE，ABAC2ADABAC.AB5，AC3，22AD8.1AD4.【点拨点拨】本题运用了本题运用了倍长中线法倍长中线法构造全等三角形，将证明不构造全等三角形，将证明不等关系和求线段取值范围的问题通过证全等，转化到一个三等关系和求线段取值范围的问题通过证全等，转化到一个三角形中，利用三角形的三边关系来解决角形中，利用三角形的三边关系来解决4如图，在四边形如图，在四边形ABCD中，中，ABAD，BAD120，BADC90.E，F分别是分别是BC，CD
5、上的点，且上的点，且EAF60.探究探究图中线段图中线段BE，EF，FD之间的数量关系并证明之间的数量关系并证明【点拨点拨】证明一条线段等于两条线段的和的方法：证明一条线段等于两条线段的和的方法：“截长法截长法”和和“补短法补短法”“截长法截长法”的基本思路是在长线段上取一的基本思路是在长线段上取一段，使之等于其中一短线段，然后证明剩下的线段等于另一段，使之等于其中一短线段，然后证明剩下的线段等于另一短线段；短线段；“补短法补短法”的基本思路是延长短线段，使延长部分的基本思路是延长短线段，使延长部分等于另一短线段，再证明延长后的线段等于长线段等于另一短线段，再证明延长后的线段等于长线段解：解：EFBEFD.证明：如图，延长证明：如图，延长FD到点到点G，使，使DGBE，连结，连结AG.ADC90，ADG90，B90，BADG.