七年级数学竞赛辅导材料(上).pdf

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1、七年级数学竞赛辅导材料（上）数的整除（一）一、内容提要：如果整数 A 除以整数 B(B0)所得的商 A/B 是整数，那么叫做 A 被 B 整除。0 能被所有非零的整数整除。一些数的整除特征 除 数 能被整除的数的特征 2 或 5 末位数能被 2 或 5 整除 4 或 25 末两位数能被 4 或 25 整除 8 或 125 末三位数能被 8 或 125 整除 3(或 9)各位上的数字和被 3(或 9)整除(如 771 能被 3 整除，54324 能被 9 整除)11 奇数位上的数字和与偶数位上的数字和相减，其差能被 11 整除(如143，1859，1287，908270等)7，11，13 从右向

2、左每三位为一段，奇数段的各数和与偶数段的各数和相减，其差能被 7 或 11 或 13 整除(如 1001，22743，17567，21281 等)能被 7 整除的数的另一特征：抹去个位数；减去原个位数的 2 倍；其差能被 7 整除。如：1001，100298（能被 7 整除）；又如：7007，70014686，681256（能被 7 整除）能被 11 整除的数的又一特征：抹去个位数；减去原个位数；其差能被11 整除。如：1001，100199（能 11 整除）；又如：10285 102851023，102399（能 11 整除）。二、例题：例 1 已知两个三位数328和92x的和仍是三位数75

3、y且能被 9 整除。求 x，y 的值。解：x、y 都是 0 到 9 的整数，75y能被 9 整除，y=6，32892x567，x=3。例 2 己知五位数x1234能被 12 整除，求 X。解：五位数能被 12 整除，必然同时能被 3 和 4 整除，当 1234X 能被 3 整除时，x=2，5，8；当末两位X4能被 4 整除时，X0，4，8。X8。例 3 求能被 11 整除且各位字都不相同的最小五位数。解：五位数字都不相同的最小五位数是 10234，但（124）（03）4，不能被11 整除，只调整末位数仍不行。调整末两位数为30，41，52，63，均可，五位数字都不相同的最小五位数是10263。

4、三、练习题：1 分解质因数（写成质因数为底的幂的连乘积）：924 1859 1287 3276 10101 10296 2 若四位数a987能被 3 整除，那么 a=_。3 若五位数3412X能被 11 整除，那么 X_。4 当 m=_ 时，535m能被 25 整除。5 当 n=_ 时，n9610能被 7 整除。6 能被 11 整除的最小五位数是 _，最大五位数是 _。7 能被 4 整除的最大四位数是 _，能被 8 整除的最小四位数是 _。8 8 个数：125，756，1011，2457，7855，8104，9152，70972 中，能被下列各数整除的有（填上编号）：6_，8_，9_，11_。

5、9 从 1 到 100 这 100 个自然数中，能同时被 2 和 3 整除的共_个，能被 3 整除但不是 5 的倍数的共_个。10 由 1，2，3，4，5 这五个自然数，任意调换位置而组成的五位数中，不能被 3 整除的数共有几个？为什么？11 己知五位数A1234能被 15 整除，试求 A 的值。12 求能被 9 整除且各位数字都不相同的最小五位数。13 在十进制中，各位数码是 0 或 1，并能被 225 整除的最小正整数是（1989 年全国初中联赛题）。【数的整除（一）】练习题参考答案：序 号 1 1 1 1 1 答 案 34711 11132 321113 2232713 371337 序

6、 号 1 2 3 4 5 答 案 23321113 0 或 3 或 6 或 9 0 2 或 7 3 序 号 6 7 8 9 答 案 10010，99990 9996，9992 6：/8：/9：/11：16，27 序 号 10 11 12 13 答 案 没有一个、A5 10269 11111111100 初一(上)数学竞赛辅导资料（2）倍数 约数 一、内容提要：1、两个整数 A 和 B（B0），如果 B 能整除 A（记作 BA），那么 A 叫做 B 的倍数，B叫做 A 的约数。例如 315，15 是 3 的倍数，3 是 15 的约数。2、因为 0 除以非 0 的任何数都得 0，所以 0 被非 0

7、 整数整除。0 是任何非 0 整数的倍数，非 0 整数都是 0 的约数。如 0 是 7 的倍数，7 是 0 的约数。3、整数 A（A0）的倍数有无数多个，并且以互为相反数成对出现，0、A、2A、都是 A 的倍数，例如 5 的倍数有5、10、。4、整数 A（A0）的约数是有限个的，并且也是以互为相反数成对出现的，其中必包括1 和A。例如 6 的约数是1，2，3，6。5、通常我们在正整数集合里研究公倍数和公约数，几个正整数有最小的公倍数和最大的公约数。6、公约数只有 1 的两个正整数叫做互质数（例如 15 与 28 互质）。7、在有余数的除法中，被除数除数商数余数。若用字母表示可记作：ABQR，当

8、 A，B，Q，R 都是整数且 B0 时，AR 能被 B 整除。例如 23372，则 232 能被3 整除。二、例题：例 1 写出下列各正整数的正约数，并统计其个数，从中总结出规律加以应用：2，22，23，24，3，32，33，34，23，223，2232。解：列表如下：正整数 正约数 个数计 正整数 正约数 个数计 正整数 正约数 个数计 2 1、2 2 3 1、3 2 23 1、2、3、6 4 22 1、2、4 3 32 1、3、32 3 223 1、2、3、4、6、12 6 23 1、2、4、8 4 33 1、3、32、33 4 2232 1、2、3、4、6、9、12、18、36 9 24

9、 1、2、4、8、16 5 34 1、3、32、33、34 5 其规律是：设 Aambn(a、b 是质数，m、n 是正整数)，那么合数 A 的正约数的个是（m+1）(n+1)例如：求 360 的正约数的个数。解：分解质因数：36023325，360 的正约数的个数是（31）（21）（11）24（个）例 2 用分解质因数的方法求 24，90 最大公约数和最小公倍数。解：24233，902325 最大公约数是 23，记作（24，90）6 最小公倍数是 23325360，记作24，90=360。例 3 己知 32，44 除以正整数 N 有相同的余数 2，求 N。解：322，442 都能被 N 整除，

10、N 是 30，42 的公约数。（30，42）6，而 6的正约数有 1，2，3，6，经检验 1 和 2 不合题意，N6，3。例 4 一个数被 10 余 9，被 9 除余 8，被 8 除余 7，求适合条件的最小正整数。分析：依题意如果所求的数加上 1，则能同时被 10，9，8 整除，所以所求的数是 10，9，8 的最小公倍数减去 1。解：10，9，8=360，所以所求的数是 359。三、练习题：1、12 的正约数有_，18 的所有约数是_。2、分解质因数 300_，300 的正约数的个数是_。3、用分解质因数的方法求 20 和 250 的最大公约数与最小公倍数。4、一个三位数能被 7，9，11 整

11、除，这个三位数是 _。5、能同时被 3，5，11 整除的最小四位数是 _；最大三位数是 _。6、己知 14 和 23 各除以正整数 A 有相同的余数 2，则 A_。7、写出能被 2 整除，且有约数 5，又是 3 的倍数的所有两位数。答 _。8、一个长方形的房间长 1.35 丈，宽 1.05 丈要用同一规格的正方形瓷砖铺满，问正方形最大边长可以是几寸？若用整数寸作为边长，有哪几种规格的正方形瓷砖适合？9、一条长阶梯，如果每步跨 2 阶，那么最后剩 1 阶，如果每步跨 3 阶，那么最后剩 2 阶，如果每步跨 4 阶，那么最后剩 3 阶，如果每步跨 5 阶，那么最后剩 4 阶，如果每步跨 6 阶，那

12、么最后剩 5 阶，只有每步跨 7 阶，才能正好走完不剩一阶，这阶梯最少有几阶？【倍数、约数】练习题参考答案：序号 倍数、约数参考答案 序号 倍数、约数参考答案 1 1、2、3、4、6、12；1、2、3、6、9、18 2 22352；18 3 25；2253 4 693 5 3，5，11165，1155；990 6 A3（即求 142 与 232 的公约数）7 30、60、90 8(135，105)15，正约数有 1，3，5，15 9 1192，3，4，5，660，6021119 初一(上)数学竞赛辅导资料（3）质数、合数 一、内容提要：1、正整数的一种分类：质数的定义：如果一个大于 1 的正整

13、数，只能被 1 和它本身整除，那么这个正整数叫做质数（质数也称素数）。合数的定义：一个正整数除了能被 1 和它本身整除外，还能被其他的正整数整除，这样的正整数叫做合数。2、根椐质数定义可知：、质数只有 1 和本身两个正约数；、质数中只有一个偶数 2，如果两个质数的和或差是奇数那么其中必有一个是 2，如果两个质数的积是偶数那么其中也必有一个是 2。3、任何合数都可以分解为几个质数的积。能写成几个质数的积的正整数就是合数。二、例题：例 1 两个质数的和等于奇数 a(a5)。求这两个数。解：两个质数的和等于奇数，必有一个是 2 所求的两个质数是 2 和 a2。例 2 己知两个整数的积等于质数 m，求

14、这两个数。解：质数 m 只含两个正约数 1 和 m，又（1）（m）=m 所求的两个整数是 1 和 m 或者1 和m.。例 3 己知三个质数 a，b，c 它们的积等于 30，求适合条件的 a，b，c 的值。解：分解质因数：30235 适合条件的值共有：532cba 352cba 523cba 253cba 325cba 235cba 应注意上述六组值的书写排列顺序，本题如果改为 4 个质数 a，b，c，d 它们的积等于 210，即 abcd=2357 那么适合条件的 a，b，c，d 值共有 24 组，试把它写出来。例 4 试写出 4 个连续正整数，使它们个个都是合数。解：（本题答案不是唯一的）设

15、 N 是不大于 5 的所有质数的积，即 N235，那么 N2，N3，N4，N5 就是适合条件的四个合数，即 32，33，34，35 就是所求的一组数。本题可推广到 n 个。令 N 等于不大于 n+1 的所有质数的积，那么 N2，N3，N4，N（n+1）就是所求的合数。1 质数 三、练习题：1、小于 100 的质数共_个，它们是_。2、己知质数 P 与奇数 Q 的和是 11，则 P ，Q 。3、己知两个素数的差是 41，那么它们分别是 。4、如果两个自然数的积等于 19，那么这两个数是 。如果两个整数的积等于 73，那么它们是 。如果两个质数的积等于 15，则它们是 。5、两个质数 x 和 y，

16、己知 xy=91，那么 x=，y=，或 x=，y=。6、三个质数 a，b，c 它们的积等于 1990，那么 cba 7、能整除 311513的最小质数是 。8、己知两个质数 A 和 B 适合等式 AB99，ABM。求 M 及BAAB的值 9、试写出 6 个连续正整数，使它们个个都是合数。10、具备什么条件的最简正分数可化为有限小数？11、求适合下列三个条件的最小整数：大于 1 没有小于 10 的质因数 不是质数 12、某质数加上 6 或减去 6 都仍是质数，且这三个质数均在30 到 50 之间，那么这个质数是 。13、一个质数加上 10 或 14 减去这个质数都仍是质数，这个质数是 。质数、合

17、数练习参考答案：1 25 2 2，9 3 43、2 4 1、19；1、73 或1、73；3、5 5 13、7 或 7、13 6 190025199 有 6 组 7 2 8 194 9413/194 9 令 N2357210，则 N2，N3，10 分母只含 2 和 5 的质因数 11 1111 12 37 13 3 初一(上)数学竞赛辅导资料（4）零的特性 一、内容提要(一)、零既不是正数也不是负数，是介于正数和负数之间的唯一中性数。零是自然数、是整数、是偶数。1、零是表示具有相反意义的量的基准数。例如：海拔 0 米的地方表示它与基准的海平面一样高；收支平衡可记作结存 0 元。2、零是判定正、负

18、数的界限。若 a 0，则 a 是正数；反过来也成立，若 a 是正数，则 a0。记作：a0 a 是正数 读作 a0 等价于 a 是正数；bb 时，ab0；当 ab 时，ab0。（三）、在近似数中，当 0 作为有效数字时，它表示不同的精确度。例如 近似数 1.6 米与 1.60 米不同，前者表示精确到 0.1 米（即 1 分米），误差不超过 5厘米；后者表示精确到 0.01 米（即 1 厘米），误差不超过 5 毫米。可用不等式表示其值范围如下：1.55近似数 1.61.65 1.595近似数 1.60a，a2 a2，aa，a+1a 3、x 表示一切有理数，下面四句话中正确的共几句？答：句。（x2）

19、2有最小值 0，x+3|有最大值 0，2x2有最大值 2，3x1有最小 3。4、绝对值小于 5 的有理数有几个？它们的积等于多少？为什么？5、要使下列等式成立，字母 X、Y 应取什么值？X00；X（X3）0；X1（Y3）20。6、下列说法正确吗？为什么？a 的倒数是a1；方程（a1）X3 的解是 X13a；n 表示一切自然数，2n1 表示所有的正奇数；如果 ab，那么 m2am2b(a、b、m 都是有理数)。7、X 取什么值时，下列代数式的值是正数？X（X1）；X（X1）（X2）。【零的特性】练习题参考答案：序 号 零的特性参考答案 序 号 零的特性参考答案 2 一 3 4 4 无数多个，0

20、5 x 00 或 3X=0 且 y5 6 都不正确，0 没有倒数 7 x1 或 x0-2x0 初一(上)数学竞赛辅导资料（5）an 的个位数 一、内容提要:1、整数 a 的正整数次幂 an，它的个位数字与 a 的末位数的 n 次幂的个位数字相同。例如20023与 23的个位数字都是 8。2、末位数为 0、1、5、6 的任何正整数次幂的个位数字都是它们本身。例如 57的个位数是 5，620的个位数是 6。3、末位数为 2、3、7 的正整数次幂的个位数字的规律见下表：指 数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 底 数 2 2 4 8 6 2 4 8 6 2 4 3 3 9 7 1 3 9 7

21、 1 3 9 7 7 9 3 1 7 9 3 1 7 9 其规律是：2 的正整数次幂的个位数是按 2、4、8、6 四个数字循环出现，即 24k+1与 21、24K2与 22、24K3与 23、24K4与 24的个位数是相同的（K 是正整数）。3 和 7 也有类似的性质。4、末位数为 4、8、9 的正整数次幂的个位数，可仿照上述方法，也可以用 422，823，932转化为以 2、3 为底的幂。5、综上所述，整数 a 的正整数次幂的个位数有如下的一般规律：a4Km与 am的个位数相同(k，m 都是正整数)。二、例题：例 1：20032003的个位数是多少？解：20032003与 32003的个位数

22、是相同的，200345003，32003与 33的个位数是相同的，都是 7，2003 的个位数是 7。例 2：试说明 6320001472002的和能被 10 整除的理由。解：20004500，200245002 632000与 34的个位数相同都是 1，1472002与 72的个位数相同都是 9，6320001472002的和个位数是 0，6320001472002的和能被 10 整除。例 3：K 取什么正整数值时，3k2k是 5 的倍数？解：列表观察个位数的规律：K 1 2 3 4 3 的个位数 3 9 7 1 2 的个位数 2 4 8 6 3k2k的个位数 5 5 从表中可知，当 K1，

23、3 时，3k2k的个位数是 5，am与 a4n+m 的个位数相同（m，n 都是正整数，a 是整数），当 K 为任何奇数时，3k2k是 5 的倍数。三、练习题：1、在括号里填写各幂的个位数（K 是正整数）。220的个位数是 ；45的个位数是 ；330的个位数是 ；87的个位数是 ；74K+1的个位数是 ；31179的个位数是 ；216314的个位数是 ；32k-172k-1的个位数是 ；72k32k的个位数是 ；74k-164k-3的个位数是 ；7710331522205525的个位数是 ；2、目前知道的最大素数是 22160911，它的个位数是 。3、说明如下两个数都能被 10 整除的理由。5

24、3533333；1987198919931991。4、正整数 m 取什么值时，3m1 是 10 的倍数？5、设 n 是正整数，试说明 2 n 7n+2能被 5 整除的理由。6、若 a4的个位数是 5，那么整数 a 的个位数是 ；若 a4的个位数是 1，那么整数 a 的个位数是 ；若 a4的个位数是 6，那么整数 a 的个位数是 ；若 a2k-1的个位数是 7，那么整数 a 的个位数是 。7、12+22+32+92的个位数是 ；12+22+32+192的个位数是 ；12+22+32+292的个位数是 。8、a，b，c 是三个连续正整数，a2=14884，c2=15376，那么 b2是（）A、15

25、116，B、15129，C、15144，D、15321 an 的个位数练习参考答案：序号 参 考 答 案 序号 参 考 答 案 1 6，4，9，2，7，4，4，0，0，7，0 要注意 3，7 为底的正奇数次幂的和为 0，正偶数次幂的差为 0 2 7 3 算出个位数的差为零 4 m=24k(k 为非负整数)5 可用列表观察其规律 6 5；1，3 或 7，9；2，4，6，8；3，7 7 5；0；5 8 B 初一(上)数学竞赛辅导资料（6）数学符号 一、内容提要：数学符号是表达数学语言的特殊文字。每一个符号都有确定的意义，即当我们把它规定为某种意义后，就不再表示其他意义。数学符号一般可分为：1、元素

26、符号：通常用小写字母表示数，用大写字母表示点，用和表示圆和三角形等。2、关系符号：如等号“=”、不等号“”、相似“”、全等“”、平行“”、垂直“”等。3、运算符号：如加、减、乘、除、乘方、开方、绝对值等。4、逻辑符号：略。5、约定符号和辅助符号：例如我们约定正整数 a 和 b 中，如果 a 除以 b 的商的整数部分记作 Z（ba），而它的余数记作 R（ba），那么 Z（310）3，R（310）1；又如设 x表示不大于 x 的最大整数，那么 2.55，2.56，320，33。说明：正确使用符号的关健是明确它所表示的意义（即定义）；对题设中临时约定的符号，一定要扣紧定义，由简到繁，由浅入深，由具体

27、到抽象，逐步加深理解；在解题过程中为了简明表述，需要临时引用辅助符号时，必须先作出明确的定义，所用符号不要与常规符号混淆。二、例题：例 1：设Z表示不大于 Z 的最大整数，n为正整数 n 除以 3 的余数，计算：4.07732132004；14.7234。解：原式4（3）100；原式1421202。例 2：求 19871988的个位数；说明 1987198919931991能被 10 整除的理由。解：设 N（x）表示整数 x 的个位数，N（19871988）N（74497）N（74）1 N（19871989）N（19931991）N（744971）N（344973）N（71）N（33）770

28、1987198919931991能被 10 整除 由于引入辅助符号，解答问题显得简要明了。例 3：定义一种符号的运算规则为：ab=2a+b 试计算：53；（17）4 解：5325313；（217）49429422 例 4：设 ab=a(ab+7)，求等式 3x=2(8)中的 x。解：由题设可知：等式 3x=2(8)就是 3（3x7）22（8）7 9x+21=18 x=431 三、练习 6 1、设 Qx表示有理数 x 的整数部分，那么：Q2.15 ；Q12.3=；Q0.03 ；Q0.5 。2、设n表示不小于 n 的最小整数，那么：4.3 ；2.3 ；2 ；0.30.3 。3、设m表示不大于 m

29、的最大整数。若 m=2 则m=；若 n=3.5 则n=；若1Y0 则Y ；若 7b8 则b ；若x=4 则 x ；若 nCn1 则C 。4、正整数 a 和 b 中，设 a 除以 b 的商的整数部分记作 Z（ba），余数记作 R（ba），ab的个位数记作 n（ab），写出下列各数的结果：R（733）R（52）；Z（733）Z（52）；n(19891990)=；5、设 n！表示自然数由 1 到 n 的连乘积 例如 5！12345120 计算：1203!)!35(!3!5 6、设=2211baba=a1b2a2b1 计算：21 43 ；11 01 ；7、定义一种符号的运算法则为 ab=baba22

30、那么 32 ；23 ；（12）3 ；（3）（10）。8、a，b 都是正整数，设 ab 表示从 a 起 b 个连续正整数的和。例如 23234；545678，己知：X52005，求 X。9、设x表示不大于 x 数的最大整数且xxx，求 。10、设a表示不大于数 a 的最大整数，例如21，22 那么：3x+12x21的所有的根的和是 （1987 年全国初中联赛题）。【数学符号】练习参考答案：序号 参考答案 序号 参考答案 1 2，12，0，0 2 5，-2，-2，1 3 24174、5n 4 7，4，1 5 20，10 6 2，-1 7 7/10、8/7、29/22、4/11 8 399 9 1

31、10 2 初一(上)数学竞赛辅导资料（7）用字母表示数 一、内容提要和例题：1、用字母表示数最明显的好处是能把数量间的关系简明而普遍地表达出来，从具体的数字计算到用抽象的字母概括运算规律上，是一种飞跃。2、用字母表示数时，字母所取的值，应使代数式有意义，并使它所表示的实际问题有意义。例 1：写出数 a 的倒数；用字母表示一切偶数。解：当 a0 时，a 的倒数是a1；设 n 为整数，2n 可表示所有偶数。3、命题中的字母，一般要注明取值范围，在没有说明的情况下，它表示所学过的数，并且能使题设有意义。例 2：化简：x 3（x3）；|x+5|。解：x3，x30，x3（x3）x3。当 x5 时，x5x

32、5；当 x 0，b0，那么 a+b0，不可逆；绝对值性质 如果 a0，那么|a|=a 也不可逆(若|a|=a 则 a0)。7、有规律的计算，常可用字母表示其结果或概括成公式。例 7：正整数中不同的五位数共有几个？不同的 n 位数呢？解：不同的五位数可从最大五位数 99999 减去最小五位数 10000 前的所有正整数，即 999999999=90000。推广到 n 位正整数，则要观察其规律：一位正整数：从 1 到 9 共 9 个，记作 91；二位正整数：从 10 到 99 共 90 个，记作 910；三位正整数：从 100 到 999 共 900 个，记作 9102；四位正整数：从 1000

33、到 9999 共 9000 个，记作 9103 (指数 3=41)；n 位正整数共 910 n-1个。例 8：A C D E B 在线段 AB 上加了 3 个点 C、D、E 后，图中共有几条线段？加 n 点呢？解：以 A 为一端的线段有：AC、AD、AE、AB 共 4 条 以 C 为一端的线段有(除 CA 外)：CD、CE、CB 共 3 条 以 D 为一端的线段有(除 DC、DA 外)：DE、DB 共 2 条 以 E 为一端的线段有(除 ED、EC、EA 外)：EB 共 1 条 共有线段 1+2+3+4=10(条)【注意：3 个点时，是从 1 加到 4】因此如果是 n 个点，则共有线段 1+2

34、+3+n+1=nn211=2)2(nn（条）。三、练习题：1、右边代数式中的字母应取什么值？24x；S正方形=a2；3 的倍数 3n。2、用字母表示：一切奇数；所有正偶数；一个三位数；n 个 a 相乘的结果；负数的绝对值是它的相反数。3、写出：从 1 开始，n 个自然数的和是_；从 11 开始到 2n+1 连续奇数的和(n5)是_；m 个球队进行单循环赛所需场数是_。4、已知 999=1031，9999=1041，那么各位数都是 9 的 n 位数 n9999=_。5、计算 112=1112=(n10 时)n21111=_。6、写出图中所有三角形并计算其个数，如果线段上有 10 个点呢？【用字母

35、表示数】练习参考答案 序号 参考答案 序号 参考答案 1 x2，a0，n 是整数 2 2n1（n 是整数）2n(n 是正整数)100a+10b+c(a 是 1 到 9，b，c是 0 到 9 的整数)an(n 是正整数)a(an），则至少有一个集合里元素不少于 nm个。3、根据 nm的定义，己知 m、n 可求 nm；己知 nm，则可求nm的范围，例如己知 nm3，那么 2nm3；己知 3x2，则 13x2，即 3x6，x 有最小整数值 4。二、例题：例 1 某校有学生 2000 人，问至少有几个学生生日是同一天？分析：我们把 2000 名学生看作是苹果，一年 365 天（闰年 366 天）看作是

36、抽屉，即把 m（2000）个元素，分成 n(366)个集合，至少有一个集合的元素不少于 nm个。解：3662000536617 36620006 答：至少有 6 名学生的生日是同一天。例 2：从 1 到 10 这十个自然数中，任意取出 6 个数，其中至少有两个是倍数关系，试说明这是为什么。解：我们把 1 到 10 的奇数及它们的倍数放在同一集合里，则可分为 5 个集合，它们是：1，2，4，8，3，6，5，10，7，9。要在 5 个集合里取出 6 个数，至少有两个是在同一集合，而在同一集合里的任意两个数都是倍数关系。（本题的关键是划分集合，想一想为什么 9 不能放在 3 和 6 的集合里）。例

37、3：袋子中有黄、红、黑、白四种颜色的小球各 6 个，请你从袋中取出一些球，要求至少有 3 个颜色相同，那么至少应取出几个才有保证。分析：我们可把 4 种球看成 4 个抽屉（4 个集合），至少有 3 个球同颜色，看成是至少有一个抽屉不少于 3 个（有一个集合元素不少于 3 个）。解：设至少应取出 x 个，用4x表示不小于4x的最小整数，那么 4x3，24x3，即 8x 12，最小整数值是 9。答：至少要取出9 个球，才能确保有三个同颜色。例 4：等边三角形边长为 2，在这三角形内部放入 5 个点，至少有 2 个点它们的距离小于1，试说明理由。解：取等边三角形各边中点，并连成四个小三角形（如图）它

38、们边长等于1，5 个点放入 4 个三角形，至少有 2 个点放在同一个三角形内，而同一个三角形内的 2 个点之间的距离必小于边长 1。三、练习 8 1、初一年级新生从全县 17 个乡镇招收 50 名，则至少有 人来自同一个乡镇。2、任取 30 个正整数分别除以 7，那么它们的余数至少有 个是相同的。3、在2003m中，指数m任意取10个正整数，那么这10个幂的个位数中相同的至少于 个。4、暗室里放有四种不同规格的祙子各 30 只，为确保取出的祙子至少有 1 双（2 只同规格为1 双）那么至少要取几只？若要确保 10 双呢？5、袋子里有黑、白球各一个，红、蓝、黄球各 6 个，请你拿出一些球，要确保

39、至少有 4 个同颜色，那么最少要取几个？6、任意取 11 个正整数，至少有两个它们的差能被10 整除，这是为什么？7、右图有 3 行 9 列的方格，若用红、蓝两种颜色涂上，则至少有 2 列的涂色方式是一样的，试说明这是为什么。8、任意取 3 个正整数，其中必有两个数它们的平均数也是正整数。试说明理由。9、90 粒糖果分给 13 个小孩，每人至少分 1 粒，不管怎样分，总有两人分得同样多，这是为什么？10、11 个互不相同的正整数，它们都小于20，那么一定有两个是互质数。（最大公约数是 1的两个正整数叫互质数）11、任意 6 个人中，或者有 3 个人他们之间都互相认识，或者有 3 个人他们之间都

40、互不相识，两者必居其一，这是为什么？抽屉原则练习参考答案：序号 参考答案 序号 参考答案 1 3 2 5 3 3 4 5 只，23 只 5 12 6 正整数的个位数字只有 0，1，2，9 共 10个，7 设 1 表示红色，2 代表蓝色，每列 3 格用 2 种涂色，最多只有如下 8 种涂法，第 9 列必与前 8 种中的一种相同 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 2 1 2 2 1 2 1 8 把正整数按奇数，偶数分为两个集合，3 个正整数放入两个集合，必有一个集合中，有 2 个 是同奇数或同偶数，9 如果我们给 13 人分配都不相同的粒数，121391，而实际糖

41、果只有 90 粒，必有 1 人要少分 1 粒，因而他一定与其余12 人中的 1 个相同 10 用 A，B，C，D，E，F 表示 6 个人。A 与其他 5 个人的关系相识或不相识两种，必有一种不少于 3 人，不妨设 A 与 B，C，D3 人都相识，这时，只 B，C，D3 人中有 2 人相识，则本题的结论就成立。若 B，C，D3 人都互不相识，那么结论也成立。所以 不渴望能够一跃千里，只希望每天能够前进一步。世界上三种东西最宝贵知识、粮食和友谊。（缅甸谚语）书籍备而不读如废纸。（英国谚语）如果有了胡子就算学识渊博，那么，山羊也可以讲课了。没有艰苦的学习，就没有最简单的发明。（南斯拉夫谚语）谁游乐无度，谁没空学习。（法国谚语）谁要懂得多，就要睡得少。（亚美尼亚谚语）知识好象砂石下面的泉水，越掘得深泉水越清。（丹麦谚语）知识需要反复探索，土地需要辛勤耕耘。（尼泊尔谚语）学如驾车登山，不进就退。（日本谚语）学贵有疑，小疑则小进，大疑则大进。思索，就是跟自己争论。（西班牙谚语）山上的石头能背完，河里的流水能舀干，世上的知识学不完。聪明的樵夫，应该是既善于砍柴，也善于磨刀的。业精于勤而荒于嬉，行成于思而毁于随 韩愈书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。积累知识，胜过积蓄金银。（欧洲谚语）惜时、专心、苦读是做学问的一个好方法。蔡尚思（现代史学家）