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1、- 初中数学竞赛辅导资料 -经验归纳法内容提要1通常我们把“从特殊到一般”的推理方法、研究问题的方法叫做归纳法。通过有限的几个特例，观察其一般规律，得出结论， 它是一种不完全的归纳法，也叫做经验归纳法。例如由 ( 1)2 1 ， （ 1 ）3 1 ， （ 1 ）4 1 ，归纳出 1 的奇次幂是 1 ，而 1 的偶次幂是 1 。由两位数从10 到 99 共 90 个（ 9 10 ） ，三位数从 100 到 999 共 900 个（9102） ，四位数有 91039000 个（ 9103） ，归纳出 n 位数共有 910n-1 ( 个) 由 1+3=22, 1+3+5=32, 1+3+5+7=42
2、推断出从1 开始的 n 个連续奇数的和等于n2等。可以看出经验归纳法是获取新知识的重要手段，是知识攀缘前进的阶梯。2. 经验归纳法是通过少数特例的试验，发现规律， 猜想结论， 要使规律明朗化，必须进行足夠次数的试验。由于观察产生的片面性，所猜想的结论，有可能是错误的，所以肯定或否定猜想的结论，都必须进行严格地证明。（到高中，大都是用数学归纳法证明）例题例1 平面内 n 条直线，每两条直线都相交，问最多有几个交点？解：两条直线只有一个交点， 1 2 第 3 条直线和前两条直线都相交，增加了2 个交点，得12 3 第 4 条直线和前3 条直线都相交，增加了3 个交点，得12 3 第 5 条直线和前
3、4 条直线都相交，增加了4 个交点，得12 34 第 n 条直线和前n1 条直线都相交，增加了n1 个交点由此断定 n 条直线两两相交，最多有交点123 n1（个） ，这里 n 2，其和可表示为1+（n+1） 21n, 即2)1(nn个交点。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - - - 例 2符号 n！表示正整数从1 到 n 的连乘积，读作n 的阶乘。例如5！ 12345。试比较 3n与（ n+1） ！的大小（ n 是正整数）解：当 n 1
4、 时， 3n3, （n1） ！ 122 当 n 2 时， 3n9，（n1） ！ 1236 当 n 3 时， 3n27, （n1） ！ 123424 当 n 4 时， 3n81, （n1） ！ 12345120 当 n 5 时， 3n243, （n1） ！ 6！720 猜想其结论是： 当 n1，2，3 时，3n（n1） ！ ，当 n3 时 3n（n1） ！ 。例 3 求适合等式x1+x2+x3 +x2003=x1x2x3x2003的正整数解。分析：这2003 个正整数的和正好与它们的积相等，要确定每一个正整数的值，我们采用经验归纳法从2 个， 3个， 4 个直到发现规律为止。解： x1+x2=x
5、1x2的正整数解是x1=x2=2x1+x2+x3=x1x2x3的正整数解是x1=1,x2=2,x3=3 x1+x2+x3+x4=x1x2x3x4的正整数解是x1=x2=1,x3=2,x4=4 x1+x2+x3+x4+x5=x1x2x3x4x5的正整数解是x1=x2=x3=1,x4=2,x5=5 x1+x2+x3+x4+x5+x6=x1x2x3x4x5x6的正整数解是x1=x2=x3=x4=1,x5=2,x6=6 由此猜想结论是：适合等式x1+x2+x3 +x2003=x1x2x3 x2003的正整数解为x1=x2=x3 =x2001=1, x 2002=2，x2003=2003。练习1 除以
6、3 余 1 的正整数中，一位数有个，二位数有个，三位数有个， n 位数有个。2 十 进 制 的 两 位 数21aa可 记 作10a1 a2, 三 位 数321aaa记 作100a1+10a2+a3,四位数4321aaaa记作， n 位数记作3 由 1323（12）2，132333（ 123）2，13 23 3343（）2 ,13152，1323 n3=( )2。4 用经验归纳法猜想下列各数的结论（是什么正整数的平方）个1101111252222个（）2；121111n个22222n个（）2。位91111位95655（）2；n位n位56551111（）2 精品资料 - - - 欢迎下载 - -
7、- - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - - - 5 把自然数1 到 100 一个个地排下去：123 91011 99100 这是一个几位数？这个数的各位上的各个数字和是多少6计算12111131211413120191（提示把每个分数写成两个分数的差）7a 是正整数，试比较aa+1和(a+1)a的大小 . 8. 如图把长方形的四条边涂上红色，然后把宽 3 等分，把长8 等分，分成24 个小长方形，那么这24 个长方形中，两边涂色的有个，一边涂色的有个，四边都不着色的有个。本题如果改
8、为把宽m等分, 长 n 等分(m,n 都是大于 1 的自然数 ) 那么这 mn个长方形中， 两边涂色的有个，一边涂色的有个，四边都不着色的有个9把表面涂有红色的正方体的各棱都4 等分， 切成 64 个小正方体， 那么这64 个中，三面涂色的有个，两面涂色的有个，一面涂色的有个，四面都不涂色的有个。本题如果改为把长m等分 , 宽 n 等分 , 高 p 等分，（m,n,p 都是大于2 的自然数）那么这 mnp个正方体中， 三面涂色的有个，两面涂色的有个，一面涂色的有个，四面都不涂色的有个。10一个西瓜按横，纵，垂直三个方向各切三刀，共分成块，其中不带皮的有块。11已知两个正整数的积等于111122
9、22，它们分别是，。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - - - 练习1.3，30，3102，310n-12.10n-1a1+10n-2a2_ +10an-1+an4. 333332, 个n2333位923433，位n234335.192 位， 901 位（ 50 个 18，加上 1）6.1211111112122097. a=1,2 时， aa+1(a+1)a8.4,14,6；4, 2m+2n-8, (m-2)(n-2) 9.8,24,2
10、4,8；8， 4 （m2） （n-2） +(p-2) ,2 （m-2） (n-2)+(m-2) (p-2)+(n-2)(p-2) , (m-2)(n-2)(p-2) 10. 64,8 11. 3334 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - - -