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1、Q 专题 09 因式分解及其运用 专题解读】因式分解是在整式运算的基础上的后续学习内容，因式分解的理论依拯就是多项式乘法的“逆”变形。它不仅在多项式的除法、简便运算中有直接的应用，也为以后学习分式的约分与通分、解方 程(组)及三角函数式的恒等变形提供了必要的基础。因此，学好因式分解对于代数知识的后续学习，具 有相当重要的意义.思维索引 例 1.已知下列等式：(1)32 2=8,(2)52 32=16,(3)72-52=24,(1)根据以上式子的规律，写出第”个式子，并用所学知识说明第 个等式成立；(2)利用(1)中发现的规律计算:8+16+24+792+800.例2.有若干块长方形和正方形硬纸
2、片如图所示，用若干块这样的硬纸片可以拼成个新的图形，再通 过两种不同的方法计算同一个图形的而积，可以得到一个数学等式，例如图可以得到Q+b)2=0+2“b+员小明拼成了如图的图形，请解答下列问题：(1)根据图中而积关系，写出图所表示的数学等式 _(2)小明同学打算用x张边长为 的正方形，y张边长为b的正方形，z张相邻两边长为分别为“、b 的长方形纸片拼出了一个而积为(5“+8b)(7“+4b)长方形，那么他总共需要多少张纸片？(3)若小明拼成的图中的大长方形而积为310cm?,英中每块小长方形硬纸片的面积为22cm2,试求 该大长方形的周长.a a b Q 素养提升 1.下列各式从左到右的变形
3、属于因式分解且分解正确的是()A(x+l)(x-l)=x2-l B 2x2-y2=(2x+y)(2x一y)C a2+2xi+=a(a+2)+1 D 4=一(一 2)2 2.已知x2-k.x-5 能分解成系数为整数的两个一次因式的积，则整数斤的取值有()A.4个 B.5个 C.6个 D.7个 3.小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册里，有这样一条信息：a_b,x-y,x+y,“+b,A2 一护，0沪分别对应下列六个字：苏、爱、我、江、游、美，现将 a2(x2-y2)-b2(x2-y2)因式分解结 果呈现的密码信息可能是()A.我爱美 B.江苏游 C.我爱江苏 D.美我江苏 4.现有一列式子：
4、552-45 2;5552-4452:55552-44452;则第个式子的计算结果用 科学计数法可表示为()A.1.1111111X1016 B.1.1111111x10门 C.1.1 11 1 11 1X1027 D.l.lllllllxlO56 5.设N=23x+92y为完全平方数，且不超过2392,则满足上述条件的一切正数对(x,y)共有()A.13 对 B.27 对 C.32 对 D.36 对 6.若 x2-5x+b=(x-2)(x-a),则 ah 的值是 _ 7.已知关于x的多项式力2 llx+加分解因式后有一个因式是x-3,根据这个条件，则加的值 是 _&已知*+护一4丫+6，+1
5、3=0,则 X 6小+9尸的值是 _.9.分解因式 I+A+A(1+X)+A(1+X)2+41+X)3,并根据你发现的规律，直接写出多项式 l+x+x(l+x)+x(l+x)2+.+x(l+x)心 22且”为正整数)分解因式的结果是 _ 10.设尸总，是否存在实数匕使得代数式(x 2-y2)(4x2-y2)+3x2(4.r2-y2)能化简为卫？若能，则满 足条件的 Q的值是 _.11.将下列多项式因式分解：(1)3“小+15(严一45/；(2)x2-120 x+3456：(3)(X2-4X+2)(X2-4X+6)+4；(4)a4+a2b2+b4.式的恒等变形提供了必要的基础因此学好因式分解对于
6、代数知识的后续学习具有相当重要的意义思维索引例已知下列 和正方形硬纸如图所示用若干块这样的硬纸可以拼成个新的图形再通过两种不同的方法计算同一个图形的而积可以得 等式小明同学打算用张边长为的正方形张边长为的正方形张相邻两边长为分别为的长方形纸拼出了一个而积为长方形Q 12在因式分解的学习中，我们采用了构造几何图形的方法研究问题，借助直观、形象的几何模型，加深对因式分解的认识和理解，从中感悟数形结合的思想方法，感悟几何与代数内在的统一性根据课 堂学习的经验，解决下列问题：（1）如图，边长为（R+3）的正方形纸片，剪去一个边长为的正方形之后，剩余部分可剪拼成 一个长方形（不重叠无缝隙），则这个长方形
7、的而积是 _（用含k的式子表示）；（2）有3张边长为“的正方形纸片，4張边长分别为心b（ab）的长方形纸片，5张边长为方的 正方形纸片，现从其中取出若干张纸片（每种纸片至少取一张），拼成一个正方形（不重叠无缝隙），则 所拼成的正方形的边长最长可以为 _；（3）-个大正方形和4个大小完全相同的小正方形按图，图两种方式摆放求图中，大正方形 中未被4个小正方形覆盖部分的而积（用含八川的式子表示）.13拓展创新：已知 g k。是 ABC的三边.（1）若满足，o2+b2=10a+肪一41,且c是AABC中最长的边，求c的取值范围;（2）若 a2+2b2c2=2cih+2bc9 请你判断/ABC 的形状？
8、（3）请你直接说明：（沖+戻一疋）2-4a2h20.14 观察阅读：13+23=(1+2)2=9；15+23+35=(1+2+3)2=36；13+23+33+43=(1+2+3 44)2=100；(1)请你写出等式的结果：13+25+33+43+55+-.-+103 _(2)根据上述规律，猜想下列等式的结果，l3+25+35+43+53+.+(/?-l)3+n3=_:(3)利用(2)中得到的结论计算：3+6+9+57+60：F+3+5+(2H-1)图 图 图 式的恒等变形提供了必要的基础因此学好因式分解对于代数知识的后续学习具有相当重要的意义思维索引例已知下列 和正方形硬纸如图所示用若干块这样
9、的硬纸可以拼成个新的图形再通过两种不同的方法计算同一个图形的而积可以得 等式小明同学打算用张边长为的正方形张边长为的正方形张相邻两边长为分别为的长方形纸拼出了一个而积为长方形Q 6当我们看到下而这个数字算式葺=霜=罟时，大槪会觉得算题的人错用了运算法则 吧，因为我们知道心 gut辻：但是，如果你动手计算一下,c3+d3 c+d 们还可以写出任意多个这种等式：1-=,=3+2 3+2 5+3 5+3 你能发现以上等式的规律吗？就会发现上式并没有错，不仅如此，我 73+33=7+3 105+73=10+7 75+43 7+4 105+33 10+3 式的恒等变形提供了必要的基础因此学好因式分解对于
10、代数知识的后续学习具有相当重要的意义思维索引例已知下列 和正方形硬纸如图所示用若干块这样的硬纸可以拼成个新的图形再通过两种不同的方法计算同一个图形的而积可以得 等式小明同学打算用张边长为的正方形张边长为的正方形张相邻两边长为分别为的长方形纸拼出了一个而积为长方形Q 专题 09因式分解及其运用 思维索引】例 1(1)(2+1)2(2n1)2=8”：(2)原式=32124-52324-7252+2O121992=40400 例 2(l)(2a+b)(a+2b)=2B+5+”2,(2)那么他总共需要143张纸片.大长方形的周长=2(加+b+a+2b)=6(“+b)=72(cm)素养提升】1.D；2.
11、A：3 C：4.B；5.B；6.8：7 15；8 121；9(1+刃；10.3 或 5：11(1)3*(沖+5“一 15)：(2)(x-48)(x-72)；(3)(x-2)4：(4)(/+“+，)(/一“+戻).12.(1)长方形的而积是伙+3)2后=6&+9：(2)0：未被小正方形覆盖部分的而积彳字-4；巴产|=讪；13.(l)5VcV9：(2)等边三角形：略；14.(1)(1+2+3+10)2=552=3025：(2)2(+1)2：(3)1190700：2川一屛；巧/+戻 _(“+b)(/-“+庆)_ a+b 式的恒等变形提供了必要的基础因此学好因式分解对于代数知识的后续学习具有相当重要的意义思维索引例已知下列 和正方形硬纸如图所示用若干块这样的硬纸可以拼成个新的图形再通过两种不同的方法计算同一个图形的而积可以得 等式小明同学打算用张边长为的正方形张边长为的正方形张相邻两边长为分别为的长方形纸拼出了一个而积为长方形