2022年七年级数学竞赛辅导材料.docx

《2022年七年级数学竞赛辅导材料.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年七年级数学竞赛辅导材料.docx（27页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。

1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -七年级数学竞赛辅导材料（上）数的整除（一）一、内容提要：假如整数 A 除以整数 BB 0所得的商 A/B 是整数,那么叫做 A 被 B 整除； 0 能被全部非零的整数整除；一些数的整除特点除 数 2 或 5 4 或 25 8 或 125 3或 9 11 7,11,13 能被整除的数的特点 末位数能被 2 或 5 整除 末两位数能被 4 或 25 整除 末三位数能被 8 或 125 整除各位上的数字和被3或 9整除 如 771 能被 3 整除,54324能被 9 整除 奇数位上的数字和与偶数位上的数字和相减,其

2、差能被11 整除 如143,1859,1287,908270 等 从右向左每三位为一段,奇数段的各数和与偶数段的各数和相减,其 差能被 7 或 11 或 13 整除如 1001,22743,17567,21281 等 能被 7 整除的数的另一特点：抹去个位数； 减去原个位数的2 倍；其差能被 7 整除；如：1001,100298（能被 7 整除）；又如： 7007,70014686,681256（能被 7 整除）能被 11 整除的数的又一特点：抹去个位数；减去原个位数；其差能被11 整除；如： 1001,100199（能 11 整除）；又如： 10285 102851023,102399（能

3、11 整除）；二、例题：例 1 已知两个三位数 328和 2x 的和仍是三位数 5y 且能被 9 整除；求 x,y 的值；解： x、y 都是 0 到 9 的整数,5y 能被 9 整除, y=6,3282x 567, x=3；例 2 己知五位数 1234 能被 12 整除,求 X；解：五位数能被 12 整除,必定同时能被 3 和 4 整除,当 1234X 能被 3 整除时, x=2,5,8；当末两位 4 X 能被 4 整除时, X0,4,8；X8；例 3 求能被 11 整除且各位字都不相同的最小五位数；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1

4、 页,共 18 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -解：五位数字都不相同的最小五位数是10234,但（ 124）（ 03）4,不能被11 整除,只调整末位数仍不行；调整末两位数为 30,41,52,63,均可,五位数字都不相同的最小五位数是 10263；三、练习题：12 3 4 5 6 7 8分解质因数（写成质因数为底的幂的连乘积）： 924 1859 1287 3276 10101 10296 如四位数987 能被 3 整除,那么a=_；如五位数12X34能被 11 整除,那么X_；当m=_时,35m

5、能被 25 整除；当n=_时,9610 能被 7 整除；能被 11 整除的最小五位数是 _,最大五位数是 _；能被 4 整除的最大四位数是 _,能被 8 整除的最小四位数是 _；8 个数： 125, 756, 1011, 2457, 7855,8104, 9152, 70972 中,能被以下各数整除的有（填上编号）11_；： 6_, 8_, 9_,9从 1 到 100 这 100 个自然数中,能同时被2 和 3 整除的共 _个,能被 3 整除但不是 5 的倍数的共 _个；10 由 1,2,3,4,5 这五个自然数,任意调换位置而组成的五位数中,不能被 3 整除的数共有几个？为什么？11 己知五

6、位数1234 A能被 15 整除,试求 A 的值；12 求能被 9 整除且各位数字都不相同的最小五位数；13 在十进制中,各位数码是0 或 1,并能被 225 整除的最小正整数是（1989 年全国中学联赛题）；【数的整除（一）】练习题参考答案：序 号11111答 案3 4 7 1111 13232 11 13 2 2 3 2 7 13 3 7 13 37 序 号12 3 4 5 答 案2 3 3 2 11 13 0 或 3 或 6 或 9 0 2 或 7 3 序 号6 7 8 9 答 案10010,99990 9996,9992 6： /8： /9： /11：16,27 序 号10 11 12

7、 13 第 2 页,共 18 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -答 案没有一个、A5 10269 11111111100 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页,共 18 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -初一上数学竞赛辅导资料（ 2）倍数 约数一、内容提要：1、两个

8、整数 A 和 B（B 0）,假如 B 能整除 A（记作 BA）,那么 A 叫做 B 的倍数, B叫做 A 的约数；例如 315,15 是 3 的倍数, 3 是 15 的约数；2、由于 0 除以非 0 的任何数都得 0,所以 0 被非 0 整数整除； 0 是任何非 0 整数的倍数,非 0 整数都是 0 的约数；如 0 是 7 的倍数, 7 是 0 的约数；3、整数 A（A 0）的倍数有很多多个, 并且以互为相反数成对显现, 0、 A、 2A、 都是 A 的倍数,例如 5 的倍数有5、 10、 ；4、整数 A（A 0）的约数是有限个的,并且也是以互为相反数成对显现的,其中必包括 1 和 A；例如

9、6 的约数是 1, 2, 3, 6；5、通常我们在正整数集合里讨论公倍数和公约数,几个正整数有最小的公倍数和最大的公约数；6、公约数只有 1 的两个正整数叫做互质数（例如15 与 28 互质）；7、在有余数的除法中,被除数除数 商数余数；如用字母表示可记作：ABQR,当 A,B,Q,R 都是整数且 B 0 时,AR 能被 B 整除；例如 233 72,就 232 能被3 整除；二、例题：例 1 写出以下各正整数的正约数,并统计其个数,从中总结出规律加以应用：2,22,23,2 4,3,3 2,3 3,3 4,2 3,2 2 3,2 2 3 2 ；解：列表如下：正整数 正约数 个数计 正整数 正

10、约数 个数计 正整数 正约数 个数计2 1、2 2 3 1、3 2 2 3 1、2、3、6 4 2 2 1、2、4 3 3 2 1、3、3 2 3 2 2 3 1、2、3、6 4、6、12 1、2、3、1、3、23 1、2、4、8 4 33 4 22 32 4、6、9、9 3 2、33 12、18、 36 2 4 1、2、4、5 3 4 1、3、 3 2、5 8、16 33、34 其规律是：设 Aamb n a、b 是质数,m、n 是正整数 ,那么合数 A 的正约数的个是 （m+1）n+1 例如：求 360 的正约数的个数；解：分解质因数： 36023 32 5,360 的正约数的个数是（ 3

11、1） （21） （11）24（个）细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页,共 18 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -例 2 用分解质因数的方法求24,90 最大公约数和最小公倍数；解： 2423 3,902 32 5 最大公约数是 2 3,记作（ 24,90） 6 最小公倍数是 23 32 5360,记作 24,90=360；例 3 己知 32,44 除以正整数 N 有相同的余数 2,求 N；解： 322,442 都能被 N 整除, N 是

12、30,42 的公约数；（ 30,42） 6,而 6 的正约数有 1,2,3,6,经检验 1 和 2 不合题意, N6,3；例 4 一个数被 10 余 9,被 9 除余 8,被 8 除余 7,求适合条件的最小正整数；分析：依题意假如所求的数加上1,就能同时被 10,9,8 整除,所以所求的数是10,9,8 的最小公倍数减去 1；解： 10,9,8=360,所以所求的数是 359；三、练习题：1、12 的正约数有 _,18 的全部约数是 _；2、分解质因数 300_,300 的正约数的个数是 _；3、用分解质因数的方法求20 和 250 的最大公约数与最小公倍数；4、一个三位数能被 7,9,11

13、整除,这个三位数是 _；5、能同时被 3,5,11 整除的最小四位数是 _；最大三位数是 _；6、己知 14 和 23 各除以正整数 A 有相同的余数 2,就 A_；7、写出能被 2 整除,且有约数 5,又是 3 的倍数的全部两位数；答 _；8、一个长方形的房间长 1.35 丈,宽 1.05 丈要用同一规格的正方形瓷砖铺满,问正方形最大边长可以是几寸？如用整数寸作为边长,有哪几种规格的正方形瓷砖适合？9、一条长阶梯, 假如每步跨 2 阶,那么最终剩 1 阶,假如每步跨 3 阶,那么最终剩 2 阶,假如每步跨 4 阶,那么最终剩 3 阶,假如每步跨5 阶,那么最终剩 4 阶,假如每步跨6 阶,那

14、么最终剩 5 阶,只有每步跨7 阶,才能正好走完不剩一阶,这阶梯最少有几阶？【倍数、约数】练习题参考答案：细心整理归纳 精选学习资料 序号倍数、约数 参考答案序号倍数、约数 参考答案1 1、2、3、4、6、12； 1、 2、 3、 6、 9、 182 2 2 3 5 2；183 2 5；2 2 5 35 3,5,11 165,1155；9904 6936 A3（即求 142 与 232 的公约数）7 30、60、90135,10515,正约数有1,3,5, 159 1192,3, 4, 5,6 60, 60 211198 第 5 页,共 18 页 - - - - - - - - - - - -

15、 - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -初一 上数学竞赛辅导资料（ 3）质数、合数一、内容提要：1、正整数的一种分类：1 质数1 的正整数,只能被1 和它本身整除,那么这个正整数叫做质数的定义 ：假如一个大于质数（质数也称素数） ；合数的定义 ：一个正整数除了能被 的正整数叫做合数；2、根椐质数定义可知：1 和它本身整除外,仍能被其他的正整数整除,这样、质数只有 1 和本身两个正约数；、质数中只有一个偶数 2,假如两个质数的和或差是奇数那么其中必有一个是 2,假如两个质数的积是偶数那么其中也必有一个

16、是 2；3、任何合数都可以分解为几个质数的积；能写成几个质数的积的正整数就是合数；二、例题：例 1 两个质数的和等于奇数 a a5；求这两个数；解：两个质数的和等于奇数,必有一个是 2 所求的两个质数是 2 和 a2；例 2 己知两个整数的积等于质数 m,求这两个数；解：质数 m 只含两个正约数 1 和 m,又（ 1）（ m）=m 所求的两个整数是 1 和 m 或者 1 和 m.；例 3 己知三个质数 a,b,c 它们的积等于 30,求适合条件的 解：分解质因数： 302 3 5 a,b,c 的值；适合条件的值共有：a2a2a3a3a5a5b3b5b2b5b2b3c5c3c5c2c3c2应留意

17、上述六组值的书写排列次序,此题假如改为 4 个质数 a,b,c,d 它们的积等于 210,即 abcd=2 3 5 7 那么适合条件的 a,b,c,d 值共有 24 组,试把它写出来；例 4 试写出 4 个连续正整数,使它们个个都是合数；解：（此题答案不是唯独的）设 N 是不大于 5 的全部质数的积,即N2 3 5,那么 N2,N3,N4,N5 就是适合条件的四个合数,即 32,33,34,35 就是所求的一组数；此题可推广到 n 个；令 N 等于不大于 n+1 的全部质数的积,那么 N2,N3,N4, N（n+1）就是所求的合数；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - -

18、 - - - - - - 第 6 页,共 18 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -三、练习题：1、小于 100 的质数共 _个,它们是 _；2、己知质数 P 与奇数 Q 的和是 11,就 P,Q；,y= ；3、己知两个素数的差是41,那么它们分别是；,或 x= 4、假如两个自然数的积等于19,那么这两个数是假如两个整数的积等于73,那么它们是；假如两个质数的积等于15,就它们是；5、两个质数 x 和 y,己知xy=91,那么 x= ,y= a6、三个质数 a,b,c 它们的积等于 1990,那么 bc7

19、、能整除 3 11513的最小质数是；求 M 及A BB 的值 A8、己知两个质数A 和 B 适合等式 AB99,ABM；9、试写出 6 个连续正整数,使它们个个都是合数；10、具备什么条件的最简正分数可化为有限小数？11、求适合以下三个条件的最小整数： 大于 1 没有小于 10 的质因数 不是质数12、某质数加上 6 或减去 6 都仍是质数,且这三个质数均在 30 到 50 之间,那么这个质数是；13、一个质数加上 10 或 14 减去这个质数都仍是质数,这个质数是；质数、合数练习参考答案：细心整理归纳 精选学习资料 1 25 2 2,9 第 7 页,共 18 页 3 43 、2 4 1、1

20、9；1、73 或 1、 73；3、5 5 13、7 或 7、13 6 19002 5 199 有 6 组7 2 8 194 9413/194 9 令 N2 3 5 7210,10 分母只含 2 和 5 的质因数就 N2,N 3,11 11 11 12 37 13 3 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -初一 上数学竞赛辅导资料（ 4）零的特性一、内容提要一、零既不是正数也不是负数, 是介于正数和负数之间的唯独中性数；零是自然数、 是整数、是偶数；1、

21、零是表示具有相反意义的量的基准数；例如：海拔 0 米的地方表示它与基准的海平面一样高；收支平稳可记作结存 0 元；2、零是判定正、负数的界限；如 a 0,就 a 是正数；反过来也成立,如 a 是正数,就 a0；记作： a0 a 是正数 读作 a0 等价于 a 是正数；bb 时, ab0；当 ab 时,ab0；（三）、在近似数中,当 0 作为有效数字时,它表示不同的精确度；例如 近似数 1.6 米与 1.60 米不同,前者表示精确到 0.1 米（即 1 分米）,误差不超过 5厘米； 后者表示精确到 0.01 米（即 1 厘米）,误差不超过 5 毫米；可用不等式表示其值范畴如下：1.55近似数 1

22、.61.651.595近似数 1.60a,a2 a 2,aa,a+1a 3、 x 表示一切有理数,下面四句话中正确的共几句？答：句；（ x2）2有最小值 0, x+3|有最大值 0,2x2有最大值 2,3x1有最小 3；4、肯定值小于 5 的有理数有几个？它们的积等于多少？为什么？5、要使以下等式成立,字母X、Y 应取什么值？ 0 0；X（X3）0；X6、以下说法正确吗？为什么？X1（ Y3）20；a 的倒数是1a；方程（ a1）X3 的解是 Xa31；n 表示一切自然数, 2n1 表示全部的正奇数；假如 ab, 那么 m2am 2b a 、b 、m 都是有理数；7、X 取什么值时,以下代数式

23、的值是正数？X（X1）；X（X1）（X2）；【零的特性】练习题参考答案：细心整理归纳 精选学习资料 序 号零的特性参考答案序 号零的特性参考答案 第 9 页,共 18 页 2 一3 4 4 很多多个, 0 5 x 00 或 3X=0且 y5 6 都不正确, 0 没有倒数7 x1 或 x0 -2x0 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -初一 上数学竞赛辅导资料（ 5）an的个位数一、内容提要 : 1、整数 a 的正整数次幂 an,它的个位数字与 a 的

24、末位数的 n 次幂的个位数字相同；例如2002 3 与 2 3 的个位数字都是 8；2、 末位数为 0、1、5、6 的任何正整数次幂的个位数字都是它们本身；例如 5 7 的个位数是 5,6 20的个位数是 6；3、末位数为 2、3、7 的正整数次幂的个位数字的规律见下表：指 数1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 2 4 8 6 2 4 8 6 2 4 底数 3 3 9 7 1 3 9 7 1 3 9 7 7 9 3 1 7 9 3 1 7 9 其规律是： 2 的正整数次幂的个位数是按 2、4、8、6 四个数字循环显现,即 24k+1与 21、2 4K2 与 22、24K3与 23、2

25、4K4与 24的个位数是相同的 （K 是正整数）；3 和 7 也有类似的性质；4、末位数为 4、8、9 的正整数次幂的个位数,可仿照上述方法,也可以用 42 2,823,93 2 转化为以 2、3 为底的幂；5、综上所述,整数 a 的正整数次幂的个位数有如下的一般规律：a4Km与 am的个位数相同 k,m 都是正整数 ；二、例题：例 1：20032003的个位数是多少？解： 20032003与 32003的个位数是相同的,7,20034 5003,32003与 33的个位数是相同的,都是2003 的个位数是 7；例 2：试说明 6320001472002的和能被 10 整除的理由；解： 200

26、04 500,20024 5002 632000与 34的个位数相同都是 1,1472002与 72的个位数相同都是6320001472002的和个位数是 0,6320001472002的和能被 10 整除；9,例 3：K 取什么正整数值时, 3k2k是 5 的倍数？解：列表观看个位数的规律：K1 2 3 4 3 的个位数3 9 7 1 2 的个位数 3 k2k 的个位数2 4 8 6 5 5 从表中可知,当 K1,3 时, 3 k2 k 的个位数是 5,am与 a4n+m的个位数相同（ m,n 都是正整数, a 是整数）,当 K 为任何奇数时, 3k2k是 5 的倍数；细心整理归纳 精选学习

27、资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页,共 18 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -三、练习题：1、在括号里填写各幂的个位数（K 是正整数）；220的个位数是；45的个位数是；330的个位数是；87的个位数是；74K+1的个位数是；31179的个位数是；2 16 3 14的个位数是；3 2k-17 2k-1的个位数是；7 2k3 2k 的个位数是；7 4k-164k-3 的个位数是；7710 3315 2220 5525的个位数是；2、目前知道的最大素数是 2 2

28、160911,它的个位数是；3、说明如下两个数都能被 10 整除的理由；53533333；1987198919931991；4、正整数 m 取什么值时, 3 m1 是 10 的倍数？5、设 n 是正整数,试说明 2 n 7 n+2 能被 5 整除的理由；6、如 a4的个位数是 5,那么整数 a 的个位数是；如 a4的个位数是 1,那么整数 a 的个位数是；如 a4的个位数是 6,那么整数 a 的个位数是；如 a2k-1的个位数是 7,那么整数 a 的个位数是；7、1 2+2 2+3 2+ +9 2 的个位数是； 1 2+2 2+3 2+ +19 2的个位数是；1 2+2 2+3 2+ +29

29、2 的个位数是；8、a,b,c 是三个连续正整数, a 2=14884,c 2=15376,那么 b 2 是（）A、15116,B、15129,C、15144,D、15321 a n 的个位数练习参考答案：序号参 考 答 案序号参 考 答 案0 第 11 页,共 18 页 1 6,4,9, 2, 7,4,4, 0, 0,7,0 要留意 3, 7 为底的正奇数次幂的和为0,正偶数次幂的差为2 73 算出个位数的差为零4 m=24k k 为非负整数 5 可用列表观看其规律6 5；1,3 或 7,9；2,4,6,8；3,77 5；0；58 B细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - -

30、 - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -初一 上数学竞赛辅导资料（ 6）数学符号一、内容提要：数学符号是表达数学语言的特别文字；每一个符号都有确定的意义,即当我们把它规定为某种意义后,就不再表示其他意义；数学符号一般可分为：1、元素符号： 通常用小写字母表示数, 用大写字母表示点, 用和 表示圆和三角形等；2、关系符号：如等号 “等；=” 、不等号 “ ” 、相像“ ” 、 全等“ ” 、平行 “ ” 、垂直“ ”3、运算符号：如加、减、乘、除、乘方、开方、肯定值等；4、规律符号：略

31、；5、商定符号和帮助符号：例如我们商定正整数 a 和 b 中,假如 a 除以 b 的商的整数部分记作 Z（a ）,而它的余数记作 R（a ）, 那么 Z（10 ） 3,R（10 ）1；又如设 x 表b b 3 3示不大于 x 的最大整数,那么 5 . 25,5 2.6,2 0,3 3；3说明：正确使用符号的关健是明确它所表示的意义（即定义）；对题设中暂时商定的符号,肯定要扣紧定义,由简到繁,由浅入深,由详细到抽象,逐步加深懂得；在解题过程中为了简明表述,需要暂时引用帮助符号时,必需先作出明确的定义,所用符号不要与常规符号混淆；二、例题：例 1：设 Z 表示不大于 Z 的最大整数,n为正整数 n

32、 除以 3 的余数,运算：4.0723 13 2004； 14.7 34；72解：原式 4（ 3） 100；原式 141 202；2例 2：求 19871988的个位数；说明 1987198919931991能被 10 整除的理由；解：设 N（x）表示整数 x 的个位数, N（19871988） N（74 497） N（74） 1 N（19871989） N（19931991） N（74 4971） N（34 4973）N（71）N（33）770 1987198919931991能被 10 整除由于引入帮助符号,解答问题显得简要明白；例 3：定义一种符号的运算规章为：ab=2a+b试运算： 5

33、3；（ 17） 4 解： 532 5313；（ 2 17） 4942 9422 例 4：设 a b=aab+7, 求等式 3 x=2 8中的 x；解：由题设可知：等式3 x=2 8就是 3（3x7） 22 （ 8） 7 第 12 页,共 18 页 9x+21=18x=41 3细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -三、练习 6 1、设 Qx表示有理数 x 的整数部分,那么：Q2.15；Q12.3=；Q0.03； Q0.5； 2

34、.3；2、设 n表示不小于 n 的最小整数,那么：4.3 2； 0.3 0.33、设 m表示不大于 m 的最大整数；如 m=2 就 m= ； 如 n= 3.5 就n= ab；如 1Y0 就 Y；如 7b8就 b；如 x=4 就x；如nCn1 就 C；4、正整数 a 和 b 中,设 a除以 b 的商的整数部分记作Z（ab）,余数记作 R（）,a b 的个位数记作 n（ab）,写出以下各数的结果：R（337）R（25）；Z（337）Z（25）；n1989 1990= ；5、设 n！表示自然数由 1 到 n 的连乘积例如 5！ 1 2 3 4 5120 运算： 120 3. .5.3 5 3 .6、设 = a 1 b 1= a1b2a2b1 运算：