函数与方程思想.pdf

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1、 函数与方程的思想 函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象，概括与提炼，在研究方程、不等式、数列、解析几何等其它内容时，起着重要作用；方程思想是解决各类计算问题的基本思想，是培养运算能力的基础，高考把函数与方程思想作为重要思想方法重点来考查.函数是高中数学的主线，它用联系和运动、变化的观点研究、描述客观世界中相互关联的量之间的依存关系，形成变量数学的一大重要基础和分支.函数思想以函数知识做基石，用运动变化的观点分析、研究数学对象间的数量关系，使函数知识的应用得到极大的扩展，丰富并优化了数学解题活动，给数学解题带来很强的创新能力.因此，函数思想是数学高考常考的热点.函数思想在高考中的应用主要是函

2、数的概念、性质及图像的应用.方程的思想，就是分析数学问题中各个量及其关系，运用数学语言建立方程或方程组、不等式或不等式组或构造方程或方程组、不等式或不等式组，通过求方程或方程组、不等式或不等式组的解的情况，使问题得以解决 函数思想与方程思想的联系十分密切，解方程()0f x 就是求函数()yf x当函数值为零时自变量x的值；求综合方程()()f xg x的根或根的个数就是求函数()yf x与()yg x的图像的交点横坐标或交点个数，正是这些联系，促成了函数与方程思想在数学解题中的互化互换，丰富了数学解题的思想宝库.函数与方程的思想在解题应用中主要体现在两个方面：(1)借助有关初等函数的图象性质

3、，解有关求值、解(证)方程(等式)或不等式，讨论参数的取值范围等问题；(2)通过建立函数式或构造中间函数把所要研究的问题转化为相应的函数模型，由所构造的函数的性质、结论得出问题的解 由于函数在高中数学中的举足轻重的地位，因而函数与方程的思想一直是高考考查的重点，对基本初等函数的图象及性质要牢固掌握，另外函数与方程的思想在解析几何、立体几何、数列等知识中的广泛应用也要重视 一、函数思想的应用 1显化函数关系 在方程、不等式、数列、圆锥曲线等数学问题中，将原有隐含的函数关系凸显出来，从而利用函数知识或函数方法解决问题.【例 1】已知，若点在线段上，则的最大值为（）(2,5)A(4,1)B(,)P

4、x yAB2xyA.1 B.3 C.7 D.8 【分析】本题是解析几何问题，由所在直线方程可得x与y的函数关系，转化为函数求值域的问题。【解析】由题意得，线段所在直线方程:5 1142 4yx 292,4yxx，函数为减函数，22(29)497xyxxx ，当=4x时2xy最大值为7，故选 C 【小结】本题考查求函数值域的常用方法：单调性法，对于二元函数的值域问题，其解法要针对具体题目的条件而定，有些题目可以将二元函数化为一元函数求值域求函数的值域是个较复杂的问题，它比求函数的定义域难度要大，而单调性法，即根据函数在定义域内的单调性求函数的值域是较为简单且常用的方法，应重点掌握解析几何是用代数

5、方法解决几何问题，方程都具有隐含的函数关系，y都可以看成关于x的函数，在解决解析几何问题中，有意识凸显其函数关系、从而用函数思想或函数方法研究、解决问题，不仅能获得简便优秀的解法，且能促进科学思维的培养，提高发散思维的水平.2转换函数关系 在函数综合问题、恒成立问题中逆求参数的取值范围，按照原有的函数关系很难奏效时，通常灵活转换思维角度，放弃题设的主参限制，挑选合适的主变元，即参变分离，揭示它与其它变元的函数关系，切入问题本质，从而使原问题获解.【例 2】已知函数2124()lg1xxaf xaa，其中a为常数，若当,1x 时，()f x有意义，求实数a的取值范围.【分析】参数a隐含在一个复杂

6、的复合函数的表达式中，欲直接建立关于a的不等式（组）非常困难，故应转换思维角度，进行参变分离，设法从原式中把a分离出来，重新认识a与其它变元x的依存关系，利用新的函数关系，常可使原问题很容易解决.【解析】由题意得，212401xxaaa，且22131024aaa，1240 xxa，即1142xxa.ABAB当,1x 时，14xy 和12xy 都是减函数，1142xxy 在,1x 上是增函数，max113424xx ，34a ，故a的取值范围为3,4.【小结】发掘、提炼多变元问题中变元间的相互依存、相互制约的关系、反客为主，主客换位，创设新的函数，并利用新函数的性质创造性地使原问题获解.本题主客

7、换位后，利用新建函数1142xxy 的单调性转换为函数最值，巧妙地求出了实数a的取值范围，此法也叫参变分离法.3建立函数关系 对于实际问题，在正确过好事理关，文理关，明白题意后，根据题目的要求，选择相应的函数关系建立数学模型，利用函数的性质解决问题，是函数思想应用的一个热点，也是高考的热点.【例 3】汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是 A消耗 1 升汽油，乙车最多可行驶 5 千米 B以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多 C甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时，消耗 10 升汽油

8、 D 某城市机动车最高限速 80 千米/小时.相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油【分析】本题是函数实际应用问题，“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程，由图像判断燃油效率随着速度的变化该如何变化.【解析】“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程，A 中乙车消耗 1 升汽油，最多行驶的路程为乙车图像最高点的纵坐标值，A 错误；B 中以相同速度行驶相同路程，甲燃油效率最高，所以甲最省油，B 错误，C 中甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时，甲车每消耗 1 升汽油行驶的里程 10km,行驶 80km，消耗 8升汽油，C 错误，D 中某城市机动车最高限速 80 千米/小时

9、.由于丙比乙的燃油效率高，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油,选 D.【小结】1.函数应用问题考虑实际意义；2.对“燃油效率”新定义的理解；3.对函数图像的理解.二、方程思想的应用 方程的思想，就是分析数学问题中各个量及其关系，运用数学语言建立方程或方程组、不等式或不等式组或构造方程或方程组、不等式或不等式组，通过求方程或方程组、不等式或不等式组的解的情况，使问题得以解决 1.构造方程 分析题目中的未知量，根据条件列出关于未知数的方程（组），使原问题得到解决，叫构造方程法，是应用方程思想中最常见的用法.【例 4】.已知为等差数列，为其前项和，若，则_.【分析】等差数列中计算6S需求出1,a

10、 d.【解析】是等差数列，故填：6【小结】1.等差数列基本性质；2.在等差数列五个基本量，中，已知其中三个量，可以根据已知条件结合等差数列的通项公式、前项和公式列出关于基本量的方程(组)来求余下的两个量，计算时须注意整体代换及方程思想的应用.2.待定系数 待定系数法，一种求未知数的方法。将一个表达式表示成另一种含有待定系数的新的形式，然后根据已知得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。nanSn16a 350aa6=Sna35420aaa40a 4136aad 2d 616156 6 15(2)6S

11、ad 1adnnanSn 【例 5】已知双曲线（，）的一条渐近线为，一个焦点为，则_；_.【分析】利用双曲线标准方程及渐近线的关系列方程组求值.【解析】依题意有,结合,解得.【小结】在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容，会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数.3.整体消元 解析几何中，面对复杂的问题，通常可以利用设而不求方法、整体消元的思想，这样可有效地简化运算.【例 6】已知椭圆 C：过点 A（2,0），B（0,1）两点.（）求椭圆C的方程及离心率；（）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为

12、定值.【分析】（）根据两顶点坐标可知a，b的值，则亦知椭圆方程，根据椭圆性质及离心率公式求解；（II）四边形ABNM的面积等于对角线乘积的一半，分别求出对角线AN,BM的值求乘积为定值即可.【解析】（I）由题意得，=2a，=1b.所以椭圆C的方程为2214xy，又22=3cab，所以离心率3=2cea （）设0000,0,0P x yxy，则220044xy 又2,0,0,1AB，所以，直线PA的方程为00=22yyxx.令=0 x，得002=-2Myyx，从而0021=1+2MyBMyx.直线PB的方程为00-1=1yyxx.22221xyab0a 0b 20 xy(5,0)a b 52cb

13、a 222cab1,2ab22221xyab令=0y，得00=-1Nxxy，从而002=2+1NxANxy.所以四边形ABNM面积为：12SANBM 0000212+1212xyyx 22000000000044484222xyx yxyx yxy=2.从而四边形ABNM的面积为定值【小结】解决定值定点方法一般有两种：(1)从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；(2)直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算.三函数思想与方程思想的联用

14、在解综合题中，解决一个问题常常不止需要一种数学思想，而是两种数学思想方法的联用，例如函数思想与方程思想的联用，它们间的相互转换一步步使问题获得解决，转换的途径为函数方程函数，或方程函数方程.【例 7】已知函数 22,2,2,2,xxf xxx 函数 2g xbfx，其中bR，若函数 yf xg x 恰有 4 个零点，则b的取值范围是（A）7,4（B）7,4（C）70,4（D）7,24【分析】函数 yf xg x 恰有 4 个零点()(2)0f xfxb有 4 个不同的解函数yb与函数()(2)yf xfx的图象有4 个公共点【解析】由 22,2,2,2,xxf xxx得222,0(2),0 x

15、 xfxxx，所以222,0()(2)42,0222(2),2xxxyf xfxxxxxxx，即222,0()(2)2,0258,2xxxyf xfxxxxx()()()(2)yf xg xf xfxb,所以 yf xg x恰有 4 个零点等价于方程()(2)0f xfxb有 4 个不同的解，即函数yb与函数()(2)yf xfx的图象的 4 个公共点，由图象可知724b.故选 D 【小结】1.求函数解析式；2.函数与方程；3.数形结合.数学应用题的数学模型为方程，或必须使用待定系数法确定某些字母的值时，应建立相应的方程（组），把问题转化为方程求解.函数和方程的思想简单地说，就是学会用函数和变

16、量来思考，学会转化已知与未知的关系，对函数和方程思想的考查，主要是考查能不能用函数和方程思想指导解题，一般情况下，凡是涉及未知数问题都可能用到函数与方程的思想 练习：一、选择题 1.已知等差数列 na前 9 项的和为 27,108a,则100a （A）100 （B）99 （C）98 （D）97 2直线+8ykx与x轴、y轴都相交，交点分别记为A、B，OAB的面积为S，则下面结论正确的是（）864224681510551015 AS不是 k的函数 BS是奇函数 CS是偶函数 DS是k 的函数，但为非奇非偶函数 3设xR，如果lg37axx 恒成立，那么（）A1a B1a C01a D1a 4函数

17、 25,03()610 2,35xxxf xxx，,0,5,m nmn，使()f x 在,m n 上的值域为,m n，则这样的实数对,m n 共有（）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 5已知9798nnanNn，则在数列 na 的前 30 项中，最大项和最小项分别是（）A B C D 6四面体ABCD有五条棱长为 1，一条棱长为x，设其体积为y，那么函数()yf x在其定义域上（）A是增函数但无最大值 B是增函数且有最大值 C不是增函数且无最大值 D不是增函数但有最大值 二、填空题 7若关于x的方程268xxa恰有两个不等实根，则实数a的取值范围是_.8已知，若存在实数，使函数有两个零点

18、，则的取值范围是 .32,(),x xaf xxxab()()g xf xba9.设函数.若，则的最大值为_；若无最大值，则实数的取值范围是_.三、解答题 10 某小区要建一座八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图如图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为 200 平方米的十字形域，计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为每平方米 4200 元，在四旁四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺花岗岩地坪，造价为每平方米 210 元，再在四个空角上铺草坪，造价为每平方米 80 元.（1）设总造价为S元，AD长为x米，试建立S关于x的函数关系式；（2）当x为何值时S最小，并求出这个最小值.参考答

19、案：一、选择题 1 C 2C 3D 4 D 5C 6D 二、填空题 7=0a或1a 8 解析：分析题意可知，问题等价于方程与方程的根的个33,()2,xx xaf xx xa0a()f x()f xa),1()0,()(3axbx)(2axbx数和为，若两个方程各有一个根：则可知关于的不等式组有解，从而；若方程无解，方程有 2 个根：则可知关于的不等式组有解，从而；，综上，实数的取值范围是.9.，.解析：如图作出函数与直线的图象，它们的交点是，由，知是函数的极大值点，当时，因此的最大值是；由图象知当时，有最大值是；只有当时，由，因此无最大值，所求 的范围是，故填：，2bababab311a)(

20、3axbx)(2axbxbabab310aa),1()0,(2(,1)3()3g xxx2yx(1,2)A(0,0)O(1,2)B2()33g xx1x()g x0a 33,0()2,0 xx xf xx x()f x(1)2f 1a ()f x(1)2f 1a 332aaa()f xa(,1)2(,1)三、解答题 10 解：（1）设DQy米，ADx米，则24200 xxy，22004xyx 由题意，得2242002104802Sxxyy 22222004200210200-8024xxxx 2240000038004000 xx （2）0 x，838002 16 10118000S，当且仅当224000004000 xx，即 4100,10 xx(米)时取等号，故当 10 x 米时，总造价最小，最小值为 118000 元.