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1、理科数学第二部分第二部分思想方法突破第1讲函数与方程思想理科数学第二部分1(2011 年上海)设 g(x)是定义在 R 上、以 1为周期的函数，若 f(x)xg(x)在3,4上的值域为2,5，则 f(x)在区间-10,10上的值域为_.15,11解析：因为g(x)是以1为周期的函数，g(x+1)g(x)，f(x)xg(x)，f(x1)x1g(x1)xg(x)1f(x)1，即自变量x增加1，则函数值也增加1，所以f(x)在区间10,10上的值域为15,11.理科数学第二部分2(2011 年上海)若三角方程 sinx0 与 sin2x0 的解集分别为 E 和 F，则()A理科数学第二部分3(201
2、1 年湖北)放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象成为衰变，假设在放射性同位素铯 137 的衰变过程中，其含量 M(单位：太贝克)A5 太贝克C150ln2 太贝克B75ln2 太贝克D150 太贝克理科数学第二部分答案：D理科数学第二部分4(2011 年全国)已知函数 yf(x)的周期为 2，当 x1,1时 f(x)x2，那么函数 yf(x)的图象与函数 y|lgx|的图象的交点共有()AA10 个B9 个C8 个D1 个解析：由题意做出函数图象如图 D18，由图象知共有 10个交点图 D18理科数学第二部分许多有关方程的问题可以用函数的方法解决，反之，
3、许多函数问题也可以用方程的方法来解决函数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是历年高考的重点和热点1函数的思想：是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题理科数学第二部分2方程的思想：就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决方程的数学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题方程
4、思想是动中求静，研究运动中的等量关系理科数学第二部分3函数与方程思想的关系：(1)函数和方程是密切相关的，对于函数 yf(x)，当 y0时，就转化为方程 f(x)0，也可以把函数式 yf(x)看做二元方程 yf(x)0.函数问题(例如求反函数，求函数的值域等)可以转化为方程问题来求解，方程问题也可以转化为函数问题来求解，如解方程 f(x)0，就是求函数 yf(x)的零点4函数与方程思想的应用(1)函数与不等式也可以相互转化，对于函数yf(x)，当y0 时，就转化为不等式f(x)0，借助于函数图象与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式理科数学第二部分(2)数列的通项或前n 项和是
5、自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要(3)解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及二次方程与二次函数的有关理论(4)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决理科数学第二部分函数与方程思想在方程问题中的应用在研究含参数的三角、指数、对数等复杂方程解的问题时，通常有两种处理思路：一是分离参数构建函数，将方程有解转化为求函数的值域(函数思想)；二是换元，将复杂方程问题转化为熟悉的二次方程，进而利用二次方程根的分布或构造函数加以解决理科数学第二部分例1：设集合 Ax|4x2x+2a0，
6、xR，(1)若 A 中仅有一个元素，求实数 a 的取值集合 B；(2)若对于任意 aB，不等式 x26xa(x2)恒成立，求 x的取值范围解：(1)令2xt(t0)，设f(t)t24ta，由 f(t)0 在(0，)有且仅有一根或两相等实根，则有：f(t)0 有两等根时，0164a0a4.验证：t24t40t2(0，)，这时 x1.f(t)0 有一正根和一负根时，f(0)0a0.理科数学第二部分理科数学第二部分【配对练习】1(2011 年浙江模拟)已知函数 yf(x)的定义域和值域都是1,1(如图 1)，函数 g(x)sinx，x，则方程 f(g(x)0 的所有不同实数根的个数是_图 1理科数学
7、第二部分解析：由图象可知方程 f(x)0 有 4 个非零实数解，分别设为t1、t2、t3、t4，又因为函数g(x)在，上的值域为1,1，所以令 g(x)分别为 t1、t2、t3、t4 时，都有两个 x 值与之对应，则方程 f(g(x)0 的所有不同实根的个数是 8 个答案：8理科数学第二部分函数与方程思想在不等式中的应用在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，利用函数的图象和性质解决问题；在含有多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量或参数，能使函数关系更加清晰明朗，一般地，已知存在范围的量为变量，而待求范围的量为参数理科数学第二部分理科数学第二部分【思维点拨】首先明
8、确本题是求 x 的取值范围，这里注意另一个变量 m，不等式的左边恰是 m 的一次函数，因此依据一次函数的特性得到解决在多个字母变量的问题中，选准“主元”往往是解题的关键理科数学第二部分【配对练习】理科数学第二部分理科数学第二部分理科数学第二部分理科数学第二部分【思维点拨】(1)先求出导函数 f(x)，再求得 g(x)，然后利用导数判断函数的单调性(单调区间)，并求出最小值；(2)作差法比较，构造一个新的函数，利用导数判断函数的单调性，并由单调性判断函数的正负；(3)对任意x0 成立的恒成立问题转化为函数 g(x)的最小值问题理科数学第二部分函数与方程思想在数列中的应用理科数学第二部分例 3：在
9、等差数列an中，若 a10时，Sn有最小值推出n的值(2)因为Sn是常数项为零的二次函数，所以也可以利用二次函数求最值的方法来求Sn的最小值(3)既然Sn是常数项为零的二次函数，那么能结合二次函数的图象来解决本题二次函数Snn2 n中，当n5与n13时，对应的函数值相等由抛物线的对称性得其对称轴方程即可求解理科数学第二部分【配对练习】3设数列an是等差数列，Sn是其前 n 项和，且满足 a10，S120，S130，则使 Sn最大的 n 的值为()BA1B6C7D12解析：由S120有a1a12a6 a70，由 S13 a1 a13 2a70，a70，故当 n6 时，Sn 最大理科数学第二部分函数与方程思想在最值问题中的应用求参数的取值范围是函数、方程、不等式、数列、解析几何等问题中的重要问题解决这类问题一般有两种途径：其一，充分挖掘题设条件中的不等关系，构建不等式(组)求解；其二，充分应用题设条件中的等量关系，将待求参数表示成其他变量的函数，然后利用函数知识求值域理科数学第二部分理科数学第二部分理科数学第二部分 【思维点拨】将 d 用点 M 的坐标表示出来，d2(x2)2y2，然后求其最小值理科数学第二部分【配对练习】理科数学第二部分理科数学第二部分当 a4 时，如图 D19(1)可知函数在 y4 处取得最小值，图 D19