学案函数与方程思想.pptx

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1、3.3.数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数,用 函数的观点去处理数列问题十分重要.4.4.函数f(x)=()=(a+bx)n(nNN*)与二项式定理密切相关,利用这个函数,用赋值法和比较法可以解决与二项式 定理有关的诸多问题及求和的问题.5.5.解析几何中的许多问题，例如直线与二次曲线的位 置关系问题，需通过二元方程组才能解决.6.6.立体几何中的有关线段、角、面积的计算,经常需 用到方程或建立函数表达式的方法加以解决,建立空 间向量后，立体几何与函数方程之间的关系就能较 为密切.第1页/共42页1.1.设函数f(x)=)=x3 3+x,则对任意实数a,b,“,“a+b0”0”是“f(

2、a)+)+f(b)0”)0”的 ()()A.A.充分必要条件 B.B.充分而不必要条件 C.C.必要而不充分条件 D.D.既不充分也不必要条件 解析 因为函数f(x)=)=x3 3+x,所以f(x)在R R上是递增的奇 函数，又a+b0,0,所以a-b,则f(a)f(-(-b)=-)=-f(b),),所以f(a)+)+f(b)0)0，且每一步都是可逆的.故选A.A.A A第2页/共42页2.2.已知|a|=2,|=2,|b|=1,|=1,为a与b的夹角,则关于x的方程 x2 2+|+|a|x+ab=0=0有实数根的概率为 ()()A.A.B.B.C.C.D.D.解析因方程x2 2+|+|a|x

3、+ab=0=0有实数根,所以=|=|a|2 2-4 4ab=4(1-2=4(1-2 )0)0，C C第3页/共42页3.3.对任意a-1,1,-1,1,若函数f(x)=)=x2 2+(+(a-4)-4)x+4-2+4-2a的值 恒为正,则x的取值范围是 ()()A.(1,3)B.(-,1)(3,+)A.(1,3)B.(-,1)(3,+)C.(1,2)D.(-,1)(2,+)C.(1,2)D.(-,1)(2,+)解析 因为函数f(x)=)=x2 2+(+(a-4)-4)x+4-2+4-2a的值恒为正,可 看成关于a的一次函数,不妨令g(a)=()=(x-2)-2)a+x2 2-4-4x+4,+4

4、,x1 1或x3.3.x(-,1)(3,+).(-,1)(3,+).B B第4页/共42页4.4.已知等差数列 an 的前n项和满足S7 7=S1616,则S S2323=_.=_.解析 由题意可设Sn=An2 2+Bn，所以7 72 2A+7+7B=16=162 2A+16+16B，即2323A+B=0=0，所以S2323=23=232 2A+23+23B=23(23=23(23A+B)=0.)=0.0 0第5页/共42页题型一 运用函数与方程思想解决函数、方程和不 等式的有关问题【例1 1】对于满足00p44的一切实数，不等式 x2 2+px44x+p-3-3恒成立，试求x的取值范围.解

5、不等式x2 2+px4 4x+p-3-3恒成立，即(x-1)-1)p+x2 2-4-4x+3+30 0恒成立，构造函数f(p)=()=(x-1)-1)p+x2 2-4-4x+3.+3.当x=1=1时，f(p)=0)=0，不满足f(p)0.0.f(p)表示p的一次函数,p0,4,0,4,第6页/共42页函数f(x)的图象是一条线段,要使f(p)0 0在0,40,4上恒成立，解得x-1-1或x3,3,所以x的取值范围是(-,-1)(3,+).(-,-1)(3,+).【探究拓展】本题看上去是一个不等式的问题,但是 经过等价转化,确定适合的变量和参数,从而揭示函 数关系,使问题更加明朗化,因此我们把它

6、转化为一 个简单的一次函数,并借助函数图象建立一个关于x 的不等式组,从而求得x的取值范围.第7页/共42页变式训练1 1 设不等式2 2x-1-1m(x2 2-1)-1)对满足|m|2|2的 一切实数m的取值都成立，求x的取值范围.解 设f(m)=()=(x2 2-1)-1)m-(2-(2x-1),-1),此为关于m的一次函 数或常函数.即2 2x-1-1m(x2 2-1)-1)对|m|2|2的一切m都成立.所以x的取值范围是第8页/共42页题型二 运用函数思想证明不等式问题【例2 2】若x(0,+),(0,+),求证：证明 当t(1,+)(1,+)时,f(t)0,0,所以函数f(t)在区间

7、(1,(1,+)+)上是增函数,则有f(t)f(1)=0,(1)=0,即t-1-1lnln t.第9页/共42页 当t(1,+)(1,+)时,g(t)0,0,所以函数g(t)在区间 (1,+)(1,+)上是增函数，第10页/共42页【探究拓展】在解决值的大小比较问题时，往往通 过构造适当的函数，利用函数的单调性或图象解 决，这是一种重要的思想方法.利用导数解决不 等式问题时，一般要先根据欲证不等式的结构形 式及特点，构造相应的函数借助导数研究函数的 单调性，从而使问题迅速解决.第11页/共42页变式训练2 2 证明 令x=1,2,=1,2,n-1-1时,代入上式,将所得不等式两边相 加,得第1

8、2页/共42页题型三 利用函数思想解决数列问题【例3 3】已知设f(n)=)=S2 2n+1+1-Sn+1+1,试确定实数m的取值范围,使得对于一切大于1 1的正整数n，不等式解 由f(n)=)=S2 2n+1+1-Sn+1+1,得第13页/共42页 f(n)f(n-1)-1)f(3)(3)f(2)(2)(nNN*,n2).2).要使对于一切大于1 1的正整数n,原不等式恒成立,设y=log=logm(m-1)-1)2 2,则y0.0.第14页/共42页【探究拓展】在解答这类问题时,应首先确定f(n)的 表达式,而f(n)是一个不可求和的的数列,直接求f(n)的最小值是不可能的,进而研究f(n

9、)的单调性可知,f(n)是单调递增所以f(n)minmin=f(2),(2),结合不等式恒成 立,进一步利用函数与方程思想使问题得以解决.第15页/共42页 变式训练3 3 已知f(x)是定义在正整数集N N*上的函 数，当x为奇数时，f(x+1)-+1)-f(x)=1)=1；当x为偶数时，f(x+1)-+1)-f(x)=3,)=3,且满足f(1)+(1)+f(2)=5.(2)=5.（1 1）求证：f(2(2n-1)(-1)(nNN*)是等差数列；（2 2）求f(x)的解析式.（1 1）证明 由于nNN*，则2 2n为偶数，2 2n-1-1为奇数，由题意得，两式相加得，f(2(2n+1)-+1

10、)-f(2(2n-1)=4,-1)=4,所以 f(2(2n-1)(-1)(nNN*)是以4 4为公差的等差数列.第16页/共42页(2)(2)解 所以f(2(2n-1)=-1)=f(1)+(1)+(n-1)4=2(2-1)4=2(2n-1),-1),因此当x为奇数时，f(x)=2)=2x,又因为当x为奇数时，f(x+1)-+1)-f(x)=1,)=1,所以f(x+1)=2+1)=2x+1=2(+1=2(x+1)-1,+1)-1,故当x为偶数时，f(x)=2)=2x-1.-1.第17页/共42页题型四 运用函数与方程思想解决立体几何问题【例4 4】三棱锥SABC,SA=x,其余所有棱长均为2,2

11、,它 的体积为V,(1)(1)求V=f(x)的表达式;(2)(2)当x为何值时,V有最大值？并求出最大值.解 (1)(1)取BC的中点D,连接SD、AD,SDBC,ADBC,所以BC平面SAD,取SA的中点 E,连接ED,因为SD=AD=,=,所以DESA,第18页/共42页【探究拓展】在解答立体几何中的“运动问题”、“最值问题”等问题时,常常借助函数思想来解决,建立目标函数后,运用函数的方法来解决.第19页/共42页变式训练4 4 正三角形ABC的边长为a，直线 DEBC,交AB,AC于点D,E,现将 ADE沿DE折起成6060的二面角，求DE在何位置时，折起后点A到 BC的距离最短，最短距

12、离是多少.解 取BC的中点M,连接AM交DE于N,则AMDE，沿DEDE折起时,如图所示,ANDE，MNDE,则ANM是二面角 ADEM的平面角，即 ANM=60=60，且AMBC，则线段AM的长为所求，第20页/共42页设AN=x，则MN=在AMN中，AM2 2=AN2 2+MN2 2-2-2ANMNcos 60cos 60所以当x=时，即DE为ABC的中位线时，AM最短，且最短距离为 .第21页/共42页【考题再现】(2008(2008天津)设函数f(x)=)=x4 4+ax3 3+2+2x2 2+b(xR R),),其中 a、bR.R.(1)(1)当a=时,讨论函数f(x)的单调性；(2

13、)(2)若函数f(x)仅在x=0=0处有极值,求a的取值围；(3)(3)若对于任意的a-2,2,-2,2,不等式f(x)1 1在-1,1-1,1 上恒成立,求b的取值范围.第22页/共42页【解题示范】解 (1)(1)f(x)=4)=4x3 3+3+3ax2 2+4+4x=x(4(4x2 2+3+3ax+4).+4).f(x)=)=x(4(4x2 2-10-10 x+4)=2+4)=2x(2(2x-1)(-1)(x-2).-2).2 2分令f(x)=0,)=0,解得 x1 1=0,=0,x2 2=,=,x3 3=2.=2.当x变化时，f(x),),f(x)的变化情况如下表：所以f(x)在(0,

14、),(2,+)(0,),(2,+)内是增函数,在（-,0),(,2)-,0),(,2)内是减函数.5 5分x(-(-,0 0)0 02 2(2,(2,+)f(x)-0 0+0 0-0 0+f(x)极小值极小值极大值极大值极小值极小值第23页/共42页（2 2）f(x)=)=x(4(4x2 2+3+3ax+4),+4),显然x=0=0不是方程 4 4x2 2+3+3ax+4=0+4=0的根.为使f(x)仅在x=0=0处有极值，必须4 4x2 2+3+3ax+40+40恒成 立，即有=9=9a2 2-640.6-640.6分 解此不等式，得 这时，f(0)=(0)=b是唯一极值.因此满足条件的a的

15、取值范围是 .8.8分第24页/共42页(3)(3)由条件a-2,2-2,2可知=9=9a2 2-64-640,0,从而4 4x2 2+3+3ax+4+40 0恒成立.当x0 0时,f(x)0;0;当x0 0时,f(x)0.0.因此函数f(x)在-1,1-1,1上的最大值是f(1)(1)与f(-1)(-1)两者中的较大者.10.10分为使对任意的a-2,2,-2,2,不等式f(x)1)1在-1,1-1,1上恒成立，当且仅当所以b-4,13-4,13分因此满足条件的b的取值范围是(-,-4.14(-,-4.14分第25页/共42页1.1.函数与方程思想方法的应用，主要体现在根据问题 的需要构造辅

16、助函数，从而将所给问题转化为构造 的辅助函数的性质,如单调性、周期性、奇偶性、正 负性、图象的交点个数、最值等.2.2.要用好函数与方程思想解决问题,必须熟练掌握一 次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数 函数、三角函数等基本初等函数的图象与性质等具 体特征,合理运用图象与性质.3.3.在解答非函数、方程问题时,要注意对题中各量的第26页/共42页观察分析,会用函数和变量来思考,学会转化已知与未知的关系.在解题时,用函数思想作指导就需把字母看作变量,把代数式看做函数,利用函数性质作工具进行分析,解决问题.用方程思想作指导就需要把含字母的等式看作方程,研究方程根有什么要求.第27页/共42

17、页一、选择题 1.1.已知正数x,y满足xy=x+9+9y+7,+7,则xy的最小值为 ()()A.32 B.43 C.49 D.60 A.32 B.43 C.49 D.60 解析 因为xy=x+9+9y+7,+7,所以C C第28页/共42页2.2.已知关于x的方程sinsin2 2x+cos+cos x+k=0=0有实数解,则实数 k 的取值范围是 ()()A.B.C.D.A.B.C.D.解析 原方程可化为coscos2 2x-cos-cos x=k+1,+1,C C第29页/共42页3.3.不等式f(x)=)=ax2 2-x-c0 0的解集为 x|-2|-2x1,1,则 函数y=f(-(

18、-x)的图象为 ()()解析 因为不等式f(x)=)=ax2 2-x-c0 0的解集为 x|-2|-2 x1,1,所以a0,0,则函数f(x)=)=ax2 2-x-c的图象与x轴的 交点分别为(-2,0),(1,0),(-2,0),(1,0),又函数y=f(-(-x)的图象与 函数y=f(x)的图象 关于y轴对称,故选D.D.D D第30页/共42页4.4.已知实数x,y满足3 3x+5+5y3 3-y+5+5-x,则下面式子成立的 是 ()()A.A.x+y0 B.0 B.x+y0 0 C.C.x-y0 D.0 D.x-y0 0 解析 设函数 则 是定义域上的增函数，而3 3x+5+5y3

19、3-y+5+5-x,可化为 即x-y,x+y0.0.A A第31页/共42页5.5.定义在R R上的函数f(x)满足f(x+y)=)=f(x)+)+f(y)+2)+2xy (x,yR),R),f(1)=2,(1)=2,则f(-3)(-3)等于 ()()A.2 B.3 C.6 D.9 A.2 B.3 C.6 D.9 解析 f(1)=(1)=f(0+1)=(0+1)=f(0)+(0)+f(1)+201(1)+201 =f(0)+(0)+f(1),(1),f(0)=0.(0)=0.f(0)=(0)=f(-1+1)=(-1+1)=f(-1)+(-1)+f(1)+2(-1)1(1)+2(-1)1 =f(

20、-1)+(-1)+f(1)-2,(1)-2,f(-1)=0.(-1)=0.f(-1)=(-1)=f(-2+1)=(-2+1)=f(-2)+(-2)+f(1)+2(-2)1(1)+2(-2)1 =f(-2)+(-2)+f(1)-4,(1)-4,f(-2)=2.(-2)=2.f(-2)=(-2)=f(-3+1)=(-3+1)=f(-3)+(-3)+f(1)+2(-3)1(1)+2(-3)1 =f(-3)+(-3)+f(1)-6,(1)-6,f(-3)=6.(-3)=6.C C第32页/共42页6.6.设f(x)是连续的偶函数,且当x0 0时是单调函数,则 满足 的所有x之和为 ()()A.-3 B

21、.3 C.-8 D.8 A.-3 B.3 C.-8 D.8 解析 因为f(x)是连续的偶函数，且x00时是单调函 数,由偶函数的性质可知若f(x)=)=f(),(),只有两种 情况:x=;=;x+=0.+=0.由知x2 2+3+3x-3=0,-3=0,故两根之和为x1 1+x2 2=-3.=-3.由知x2 2+5+5x+3=0,+3=0,故其两根之和为x3 3+x4 4=-5.=-5.因此满足条件的所有x之和为-8-8.C C第33页/共42页二、填空题7.7.已知（3 3x2 2+2+2x+1+1）2 2=a0 0+a1 1(x+1)+1)+a2 2(x+1)+1)2 2+a3 3(x+1)

22、+1)3 3 +a4 4(x+1)+1)4 4,则a1 1+a2 2+a3 3+a4 4=_.=_.解析 令x=0,=0,得a0 0+a1 1+a2 2+a3 3+a4 4=1 =1 令x=-1,=-1,得a0 0=4.=4.由可得a1 1+a2 2+a3 3+a4 4=-3.=-3.-3第34页/共42页8.8.若函数 ,abc0.0.则下式正确的是 _._.解析 所以g(x)是减函数，因为abc0,0,所以g(a)g(b)g(c)，第35页/共42页9.9.方程(x+1)+1)2 2-1=-1=在-1,+)-1,+)上的解为 _.解析 原方程可化为x(x+2)=,+2)=,两边平方整理 得

23、,(,(x+2)(+2)(x3 3+2+2x2 2-1)=0,-1)=0,所以(x+2)(+2)(x+1)(+1)(x2 2+x-1)=0-1)=0的 解为x1 1=-2,=-2,x2 2=-1,=-1,所以方 程在-1,+)-1,+)的解为 (经检验x=-1=-1不满足题 意)第36页/共42页10.10.三棱锥PABC的三条侧棱PA、PB、PC两两垂直,PC=1,=1,PA=x,PB=y,且x+y=4,=4,则该三棱锥取得最大体 积时,顶点P到底面的距离为_._.解析 由题意知VPABC=此时 x=y=2;=2;如图,易知:PA=PB=2,=2,作CDAB于D,且点D是AB的中 点,PQC

24、D于Q,则线段PQ的长为所求,因CD=第37页/共42页三、解答题11.11.已知二次函数f(x)=)=ax2 2+bx(a,b为常数,且a0)0)满 足条件：f(x-1)=-1)=f(3-(3-x)且方程f(x)=2)=2x有相等实根.(1)(1)求函数f(x)的解析式;(2)(2)是否存在实数m,n(mn),),使f(x)的定义域和值域 分别为 m,n 和44m,4,4n,如果存在,求出m,n的值,如 果不存在,说明理由.解 (1)(1)方程ax2 2+bx-2-2x=0=0有等根,=(=(b-2)-2)2 2=0,=0,得b=2,=2,由f(x-1)=-1)=f(3-(3-x)知此函数图

25、象的对称轴方程为x=1.=1.第38页/共42页(2)(2)f(x)=-()=-(x-1)-1)2 2+11,4+11,4n1,1,即n .而抛物线y=-=-x2 2+2+2x的对称轴为x=1=1，当n 时,f(x)在 m,n 上为增函数.若满足题设条件的m,n存在,解得m=0=0或-2,-2,n=0=0或-2,-2,又mn ,m=-2,=-2,n=0,=0,这时定义域为-2,0-2,0，值域为-8,0.-8,0.由以上知满足条件的m,n存在,m=-2,=-2,n=0.=0.第39页/共42页12.12.已知实数a,b,c满足:a+b+c=2,=2,abc=4.=4.(1)(1)求a,b,c中

26、的最大者的最小值;(2)(2)求|a|+|+|b|+|+|c|的最小值.解 (1)(1)不妨设a是a,b,c中的最大值,即ab,ac.由题设条件可知,a0,0,b+c=2-=2-a,于是b,c是关于x的一元二次方程 (a2 2+4)(+4)(a-4)0,-4)0,a4.4.又当a=4,=4,b=c=-1=-1时满足题设 条件:a+b+c=2,=2,abc=4,=4,b+c=-2=-2，00bc1.1.第40页/共42页a的最小值为4.4.因此a,b,c中的最大者的最小值为4.4.(2)(2)abc0,0,a,b,c全大于0 0或一正两负.若a,b,c全大于0,0,则由a+b+c=2=2知,a,b,c中的最大者小于2,2,与(1)(1)的结论矛盾.若a,b,c为一正两负,设a0,0,b0,0,c0,0,则|a|+|+|b|+|+|c|=|=a-b-c=a-(2-(2-a)=2)=2a-2.-2.由(1)(1)知,a4,24,2a-26.-26.又当a=4,=4,b=c=-1=-1时,a,b,c符合题设条件,且不等式成立.|a|+|+|b|+|+|c|的最小值为6.6.返回第41页/共42页感谢您的观看！第42页/共42页