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1、函数与方程思想 函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的。函数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是历年高考的重点。1函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。2方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性
2、质去分析、转化问题，使问题获得解决。方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系；3函数方程思想的几种重要形式(1)函数和方程是密切相关的，对于函数 yf(x)，当 y0 时，就转化为方程 f(x)0，也可以把函数式 yf(x)看做二元方程 yf(x)0。(2)函数与不等式也可以相互转化，对于函数 yf(x)，当 y0 时，就转化为不等式 f(x)0，借助于函数图像与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式；(3)数列的通项或前 n 项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要；(4)函数 f(x)(1+x)n(nN*)与二项式定理是密切相关的，利用这个函数用赋值法和比
3、较系数法可以解决很多二项式定理的问题；(5)解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关理论；(6)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用布列方程或建立函数表达式的方法加以解决。【例 1】.关于 x 的方程(x21)2|x21|k0，给出下列四个命题：存在实数 k，使得方程恰有 2 个不同的实根；存在实数 k，使得方程恰有 4 个不同的实根；存在实数 k，使得方程恰有 5 个不同的实根；存在实数 k，使得方程恰有 8 个不同的实根.其中真命题是_ 解答：根据题意可令x21t(t0)，则方程化为 t2tk0，
4、(*)作出函数 tx21的图象，结合函数的图象可知当 t0 或 t1 时，原方程有两上不等的根，当 0t1 时，原方程有 4 个根，当 t1 时，原方程有 3 个根.(1)当 k2 时，方程(*)有一个正根 t2，相应的原方程的解有 2 个；(2)当 k时，方程(*)有两个相等正根 t，相应的原方程的解有 4 个；(3)当 k0 时，此时方程(*)有两个不等根 t0 或 t1，故此时原方程有 5 个根；(4)当 0k时，方程(*)有两个不等正根，且此时方程(*)有两正根且均小于 1，故相应的满足方程|x21|t 的解有 8 个 答案：1234【例 2】若不等式 x2ax10 对于一切 x(，成
5、立，则 a的最小值为_ 解答：.分离变量，有 a(x)，x(，恒成立.右端的最大值为，a.2.看成关于 a 的不等式，由 f(0)0，且 f()0 可求得 a 的范围.3.设 f(x)x2ax1，结合二次函数图象，分对称轴在区间的内外三种情况进行讨论.4.f(x)x21，g(x)ax，则结合图形(象)知原问题等价于f()g()，即 a.【例 3】设 f(x)，g(x)分别是定义在上的奇函数和偶函数，当 x0 时，f(x)g(x)f(x)g(x)，且 g()，则不等式f(x)g(x)0 的解集为_ 解析：以函数为中心，考查通性通法，设(x)f(x)g(x)，由f(x)，g(x)分别是定义在 R
6、上的奇函数和偶函数，所以 F(x)f(x)g(x)f(x)g(x)F(x)，即 F(x)为奇函数.又当 x0 时，F(x)f(x)g(x)f(x)g(x)0，所以 x0 时，F(x)为增函数.因为奇函数在对称区间上的单调性相同，所以 x0 时，F(x)也为增函数.因为 F(3)f(3)g(3)0F(3).如上图，是一个符合题意的图象，观察知不等式 F(x)0 的解集是(，)(，)【例 4】已 知 实 数,a b分 别 满 足553,1532323bbbaaa，则ab=_ 解答：已知的等式都是三次方程,直接通过方程解出,a b有 一定的困难,但是,题设的两个等式的左边的结构相同,使我们想到用 统
7、一的式子来表示这两个等式,对题设的两个等式变形为 331212,1212aabb,根据这两个等式的特征,构造函数 32f xxx.函数 f x是一个奇函数,又是R上的增函数,则有 于是,111,f af bfb 因而得11.2.abab 【例 5】若 圆0104422yxyx上至少有三 个不同 的 点到直线0:byaxl的距离为22,则直线l的倾斜角的取值范围是 _ 解答：圆0104422yxyx整理为 222(2)(2)(3 2)xy，圆心坐标为(2，2)，半径为32，要求圆上至少有三个不同的点到直线0:byaxl的距离为22，则圆心到直线0:byaxl的距离应小于等于2，22|22|2ab
8、ab，241aabb 0，2323ab ，akb，2323k，直线l的倾斜角的取值范围是512 12，【例 6】如果实数,x y满足等式2223,xy那么yx的最大值为 _ 解答：根据已知等式,画出以2,0为圆心,以3为半径的圆,则yx的几何意义是圆上一点,x y与原点0,0所连直线的斜率.显然,yx的最大值是过原点0,0与圆相切的直线OA的斜率,由2,3OCCA可得3AOC.于是,yx的最大值是tan33【例 7】设是方程0sin1tan12xx的两个不等实根，那么过点和的直线与圆的位置关系是_ 解答：由题意，因此和都在直线上，原点到该直线的距离，过的直线与单位圆相切【例 8】设定义域为 R
9、 的函数1,01|,1|lg|)(xxxxf，则关于x的方程0)()(2cxbfxf有 7 个不同实数解的充要条件是_ 解答：画出函数 xf的图像,该图像关于对 称,且 0 xf,令 txf,若0)()(2cxbfxf有 7 个不同实数解,则方程02cbtt有 2 个不同实数解,且为一正根,一零根.因此,充要条件是0b且0c 对 任 意【例 9】.设函数)(xfx21，x),23(，)(4)1()(4)(2mfxfxfmmxf恒成立，则实数m 的取值范围是_ 【答案】解析：(解法 1)不等式化为 f(x1)4f(m)f4m2f(x)0，即(x1)214m2414m2x24m20，整理得 x22
10、x30，因为 x20，所以 14m2，设 g(x)，x.于是题目化为 14m2g(x)，对任意 x恒成立的问题 为此需求 g(x)，x的最大值设 u，则 0u.函数 g(x)h(u)3u22u 在区间上是增函数，因而在 u处取得最大值 h3，所以 14m2g(x)max，整理得 12m45m230，即(4m23)(3m21)0，所以 4m230，解得 m或 m，因此实数 m 的取值范围是 m.(解法2)(前面同解法1)原题化为14m2g(x)，对任意x恒成立的问题 为此需求 g(x)，x的最大值 设 t2x3，则 t6，)g(x)h(t).因为函数 t在(3，)上是增函数，所以当 t6 时，t
11、取得最小值 6.从而h(t)有最大值.所以14m2gmax(x)，整理得12m45m230，即(4m23)(3m21)0，所以 4m230，解得 m或 m，因此实数 m 的取值范围是 m.(解法 3)不等式化为 f(x1)4f(m)f4m2f(x)0，即(x1)214m2414m2x24m20，整理得 x22x30，令 F(x)x22x3.由于 F(0)30，则其判别式 0，因此 F(x)的最小值不可能在函数图象的顶点得到，所以为使 F(x)0 对任意 x恒成立，必须使 F 为最小值，即实数 m 应满足 解得 m2，因此实数 m 的取值范围是 m.【例 10】某工厂 2005 年生产利润逐月增
12、加，且每月增加的利润相同，但由于厂方正在改造建设，一月份投入的建设资金恰与一月份的利润相等，随着投入资金的逐月增加，且每月增加投入的百分率相同，到十二月份投入的建设资金又恰与十二月份生产利润相同，问全年总利润 W 与全年总投入资金 N 的大小关系是_ 解答：设第一个月的投入资金与一月份的利润均为 a，每月的增加投入百分率为 r 则每月的利润组成数列，每月投入资金组成数列，如图，由两函数图象特点可知，有，可见，故 WN 1.(2011北京)已知函数2,)1(2,2)(3xxxxxf若关于 x 的方程kxf)(有两个不同的实根，则实数k的取值范围是 _ 2.(2011广东)等差数列an前 9 项的
13、和等于前 4 项的和若a11，aka40，则 k_.3.(2009福建)若曲线 f(x)ax3lnx 存在垂直于 y 轴的切线，则实数 a 的取值范围是_ 4.(2010天津)设函数 f(x)x，对任意 x1，)，f(mx)mf(x)0(1)若 m1，求证：函数 f(x)是增函数；(2)如果函数 f(x)的值域是0,2，试求 m 的取值范围；(3)如果函数 f(x)的值域是0，m2，试求实数 的最小值 解答：(1)证明：当 m0，所以 f(x)是增函数，(2)解：令 g(x)x|x23|，x0，则 g(x)当 0 x时，g(x)33x2，由 g(x)0 得 x1，所以 g(x)在0,1上是增函
14、数，在1，上是减函数 当 x时，g(x)3x230，所以 g(x)在，)上是增函数，所以 x0，时，g(x)maxg(1)2，g(x)ming(0)g()0，所以 0m时，在 x0，时，f(x)0,2，在 x，m时，f(x)0，f(m)，这时 f(x)的值域是0,2的充要条件是 f(m)2，即 m33m2，(m2)(m1)20，解得m2.综上，m 的取值范围是1,2(3)由(2)可知，0m2 时，函数 f(x)的最大值为 f(m)m33m，由题意知m33mm2，即 m，这是增函数，.综上，当 m2 时，实数 取最小值为.变式训练 已知函数 g(x)xlnx，设 0ab，求证：0g(a)g(b)
15、2g(ba)ln2.点拨：确定变量，构造函数证明不等式 证明：g(x)xlnx，g(x)lnx1.构造函数 F(x)g(a)g(x)2g，则 F(x)g(x)2lnxln.当 0 xa 时，F(x)0，在此 F(x)在(0，a)内为减函数；当 xa 时，F(x)0，因此 F(x)在(a，)上为增函数 从而，当 xa 时，F(x)有极小值 F(a)因为 F(a)0，ba，所以 F(b)0，即 0g(a)g(b)2g.再构造函数 G(x)F(x)(xa)ln2，则 G(x)lnxlnln2lnxln(ax)当 x0 时，G(x)0.因此 G(x)在(0，)上为减函数 因为 G(a)0，ba，所以
16、G(b)0，即 g(a)g(b)2g(ba)ln2.综上得 0g(a)g(b)2g(ba)ln2.【例 2】已知二次函数 yg(x)的导函数的图象与直线 y2x平行，且 yg(x)在 x1 处取得最小值 m1(m0)设函数f(x).(1)若曲线 yf(x)上的点 P 到点 Q(0,2)的距离的最小值为，求 m 的值(2)k(kR)如何取值时，函数 yf(x)kx 存在零点，并求出零点 解：(1)设 g(x)ax2bxc，则 g(x)2axb；又 g(x)的图象与直线 y2x 平行，2a2，a1.(1 分)又 g(x)在 x1 取极小值，1，b2，g(1)abc12cm1，cm；(2 分)f(x
17、)x2，设 P(x0，y0)，则|PQ|2x(y02)2x22x2m22m，(4 分)当且仅当 2x02时，|PQ|2取最小值，即|PQ|取最小值.当 m0 时，2m2m2，m1(6 分)当 m0，若 m0，k1，函数 yf(x)kx 有两个零点 x；(10 分)若 m0，kbc，且 abc=0，抛物线被 x 轴截得的弦长为 l，求证：证明：，且从而 故抛物线与 x 轴有两个不同的交点，即方程必有两个不相等的实数根，由韦达定理得 可见，是的二次函数 由及，得，解得 在上是减函数，即 题型三 函数与方程思想在三角函数中的应用【例 5】已知函数 f(x)=x2(m1)xm(mR)(1)若 tanA
18、，tanB 是方程 f(x)4=0 的两个实根，A、B 是锐角三角形 ABC 的两个内角.求证：m5；(2)对任意实数，恒有 f(2cos)0，证明 m3;(3)在(2)的条件下，若函数 f(sin)的最大值是 8，求 m（1）证明：f(x)4=0 即 x2(m1)xm4=0依题意：又 A、B 锐角为三角形内两内角，AB tan(AB)0，即 m5(2)证明：f(x)=(x1)(xm)，又1cos1，12cos3，恒有 f(2cos)0 即 1x3 时，恒有 f(x)0 即(x1)(xm)0，mx 但 xmax=3，mxmax=3(3)解：f(sin)=sin2(m1)sinm=，且2，当 s
19、in=1 时，f(sin)有最大值 8 即 1(m1)m=8，m=3 题型四 函数与方程思想在解析几何中的应用【例 6】直线和双曲线的左支交于 A、B 两点，直线 l 过点 P(2，0)和线段 AB 的中点 M，求 l 在 y 轴上的截距 b 的取值范围 解：由消去 y，得（）因为直线 m 与双曲线的左支有两个交点，所以方程（）有两个不相等的负实数根 所以解得 设，则 由三点共线，得出 设，则在上为减函数，且，或，或 题型五 函数与方程思想在立体几何中的应用【例 7】如图，已知面，于 D，（1）令，试把表示为 x 的函数，并求其最大值；（2）在直线 PA 上是否存在一点 Q，使成立？解答：（1）面，于 D，为在面上的射影，即 即的最大值为，等号当且仅当时取得 （2）令，解得：，与交集非空 满足条件的点 Q 存在 点评：本题将立体几何与代数融为一体，不仅要求有一定的空间想象力，而且，做好问题的转化是解决此题的关键