《2023年微积分总结.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年微积分总结.docx（22页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2023年微积分总结 第一篇：微积分总结 第一章学问点 1.极限的定义(-定义： 重在理解)2.两边夹法则 先看它是否有明显的界限，再有极限相同入手。 但要留意：夹的时候确定要保证不等关系始终成立 3.在证明不等关系时，二项式定理是一个不错的工具，尤其是涉及到n次幂的问题P9 例题3 4.复合函数问题中DfZg对于一个复合函数f(g(x),那么g(x)的值域与f(x)的定义域必需要有交集小错误 5.有基本初等函数(反对幂指三经过有限次变换得到的函数均为初等函数定理：初等函数在其定义域内均连续6.邻域均为开区间 7.用-定义定义证明极限等于某个常数，其关键是找出一个符合要求的，并要充分利用lim
2、=n这一条件。P30 例1 8.Limf(x)=时，f(x)的极限不存在，只是借用这一符号。在此处有垂直渐近线 9.左右极限存在且相等= 函数在这一点极限存在 10.函数极限存在则必有唯一性反证法，与定义冲突)11.连续可推出极限存在 12.连续性的条件：1.f(x0)有意义 2.f(x0)在此处的极限存在 3.此处limfx=fx013.换元要换限，取值范围要跟着变。 14.无穷小性质： 1.有限个无穷小之和与乘积是无穷小 2.有界函数和常数 与无穷小的乘积是无穷小 用于简化求极限的式子 15.利用无穷小求极限就是丢掉不影响的无穷小高阶无穷小，再用等价无穷小替换。 16.若f(x)在x0处可
3、微，则f(x)在处连续，其极限也必定存在 17.可微=左右微商相等 不等即微商不存在 18.因此求分段点出的微商的步骤是：先求左微商，再求右微商，再看其等不等。等便存在，不等便不存在 19.连续点处或左右微商：1.先求增量y 2.再求y/x 3.求极限极限为无穷则称其不行微20.切线方程，法线方程 21.求极限时留意谁是变量。 22.无穷小等价代换 乘除可换 加减不能 在对无穷小比无穷小求极限的过程中，可以把分子或分母中的某个因子用等价无穷小替换，加减时一般不能用等价无穷小替换，加减时候等价无穷小替换的条件是：lim a/b中极限存在，且极限不等于-1，则a+b中的无穷小a和b可以用它们的等价
4、无穷小替换。 23.间断点类型：第一类间断点：1.左右极限存在且相等但不等与 f(x0)(可取间断点 2.左右极限不等跳动间断点其次类间断点： 左右极限至少有一个不存在 24.极限比值为常数且分子或分母也为0，则另一个也为0分子分母为同阶无穷小25.(1)limsinx=1x0x1x比较limxsinx=0x(2)lim(1+x)x0=e或lim(1+x1x)=ex 26.极限的性质：1.唯一性 2.局部保号性 3.两边夹法则 4.比值极限性质 27.仅个人小小理解，当作总结，若有错误还请刚好与我沟通，愿大家共同进步！ 其次篇：微积分 晋州耕地利用分析 城乡2班张杰 晋州市属于华北中部平原，地
5、势平坦，西北高东南低，海拔35-45米，自然坡度1/3000，土壤特别肥沃，年平均降水量456.2毫米。属于相宜植物生长。 对地域组合分析：晋州市位于河北省中部，地处集中平原腹地，西距省会石家庄市50公里，8镇2乡，224个自然村，总面积619平方公里，耕地4.07万公顷，交通便利，距北京天津等消费中心近，且当地以种植鸭梨主导产业，晋州市属于暖湿带大陆性季风气候，春季枯燥多风，晴多雨少，夏季燥热多雨，秋季天高气爽，气候宜人，冬季寒冷少雪，温度低湿度小，枯燥寒冷，年平均气温12.3，极端最高42，极端最低-21.4，年平均日照数2726.7小时，大于等于10，积温4427.3，无霜期199天，为
6、梨树生长供应最正确生长环境。目前，石家庄市现有梨果总面积72.17万亩、产量11.98亿公斤，占全省1/3强，是全国梨总产量的1/8。主要集中在我市东部的辛集、晋州、藁城、赵县四县(市)，是全国最大梨果生产基地之一，可见晋州拥有良好的梨果产业基础。晋州翠玉集团，晋州长城、及周边的一些龙头企业的实力增加及带动作用，使锦州及其周边梨果产业在国内外市场的知名度和综合竞争力显著提高。 对晋州耕地的开发利用方式提出以下几种方案：一扩大梨果种植面积，并且强力推行梨无公害生产。无公害生产是当今市场和社会对果品业的基本要求和总的进展趋势，提高依法行政意识和实力，提高从生产到消费各环节对无公害梨果生产的重视程度
7、，使梨果无公害生产理念深化人心。二是大力培植和进展梨果出口创汇基地和有机梨果生产机地，通过抓基地建设，重点推行梨树标准化规模管理，实现无公害生产，逐步到达绿色标准、创绿色品牌、进展绿色经济，提高出口商品果率；二，进展观光农业，在以上分析的基础上，在一些环境较好，交通便利的区域进展观光农业，同时要进行一些便民措施的实施，例如在旁边要建有旅馆，饭店，最好干脆实行一体化，即观光园设有餐饮住宿等条件。 开发利用效应的评价，关于推行无公害生产，首先符合当今市场和社会对果品业的要求，市场前景好，从具体实施上分析，目前，石家庄无公害梨果生产面积已达55万亩，但是，人们生产和消费无公害梨果意识整体上还比较淡薄
8、，无公害梨果生产水平总体不高，质量检验监测体系不健全，所以在加强人们无公害意识上需要一段时间，但就长远考虑，这一措施必将为梨果产业带来更大的进展。就观光农业的进展，其实和无公害化有必定的联系，随着人们农业观光旅游在人们休闲旅游中所占比重的增大，会带来确定的经济效应，但是作为梨果主导产业地，不能只依靠观光，终归照旧只有少数人会到果园里观光旅游，假如过分强调观光农业，会导致梨果收益下降，但是可以在以下交通环境等选出来更好的一小部分区域来进行观光农业进展。 第三篇：微积分教案 1.6 微积分基本定理的应用 课型：新授课 一教学目标 1.会利用微积分基本定理求函数的积分.2通过微积分基本定理的学习，体
9、会事物间的互相转化、对立统一的辩证关系，培育学生辩证唯物主义观点，提高理性思维实力。 二温故知新： 1.微积分基本定理 2.定积分的简洁性质 3.导数公式 三探究导航 探究1 例1计算以下定积分：12023311dx； 2(2x-2)dx。 1xx例2求以下定积分： p1(3x+4x)dx 22sin202xdx 2分析：利用定积分的性质及微积分基本定理求定积分时，有时需先化简，再积分！ 探究二：p0sinxdx,sinxdx,sinxdx。 p02p2p由计算结果你能觉察什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所觉察的结论 n 计算定积分的一般步骤： n(1)把被积函数能化简的先化简，不能化简的变
10、为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数与常数的和或差； n(2)利用定积分的性质把所求的定积分化为若干个定积分的和与差； n(3)分别利用求导公式找到F(x)使得F(x)f(x)； n(4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值； n(5)计算所求定积分的值 四课堂达标练习 A 组 1(ex+e-x)dx= 01121Ae+ B2e C De- eee2(3x2+k)dx=10，则k=_ 023计算定积分：1(4-2x)(4-x)dx 202221x2-2x-3dx x33 41x(1-x)dx 4(x+21x)2dx B组 1计算定积分： 1edx 2p4cos2xdx 01p2x6
11、 2设m是正整数，试证以下等式：1psinmxdx=0-p 2 3已知fx是一次函数，其图象过点3，4且p-pcos2mxdx=p 10f(x)dx=1求fx的解析式 五课后作业 已知fx=ax+bx+c且f1=2，f(0)=0，f(x)dx=-4 -121求a，b，c的值 第四篇：微积分学习心得 既然叫心得，就先从老师的教学感受说起吧，刘老师宠爱讲课外的故事，我很宠爱这种提神的插曲还能了解专业和学校以及数学方面的学问，刘老师与中学不同之处或是说讲课目的差异，就在于讲课的实质性，不像原来我们只是学方法和题型，不需要在常规题型上问为什么，这节省了复习时间，但如今最终知道好多原来不解的缘由，比方，
12、中学定义e为计算机常数，而如今却从极限的角度来定义，还有正态分布，中学只是略过一遍，如今看来，自然界以正态分布居多和许多的统计，函数等，着实扩充了自己的学问层面，自己没有数学系中同学的天分，但在数学思想上还是宠爱学习的，技不如人也好，几个月的微积分还是有些感悟的。 从极限学起，似乎还是远来的学问，加上导函数应用，但还是不同，第一次作业中有一道题 让我不会只信任那答案了。 1.收敛数列A与发散数列B之和A+B必为发散数列，正确答案是命题正确，可是参考答案是 错，我还纠结找例子推反，最终还是错了，还有一题是 2.设Fx在xa处可导，求h0时，Fa+3h-Fa-hh 此题依据分子加上再减去一项Fa即
13、可得到答案，可是盲目信任答案，没有坚持自己的答案，太依靠这种保守性的更正反而不如没有更正来的好些，正如曾经有个老师说的，看答 案看久了，考试只能是一片空白。 极限一节和洛必达法则应用在微积分的课程中是很重要的，比方求xx在x0时的极限，原来是做不的，但定积分时这类题很多，洛必达法则的应用就使问题迎刃而解了，稍加转变成分数形式就解出了。无穷小量的提出为此后的微分奠定了基础，也是求极限比大小的一种手段，同时也为等价替换这一技巧留下余地，夹挤原理也解决了不能计算的一些题，如确定 物理定理的基础证明 1.x0时sinxx极限为1，物理学家在探讨单摆原理继而引申到简谐振动时，小角或是小位移关系是大量统计
14、的出sinxx的结论，从而得出公式，而单位圆法夹挤原理应用利用，x0时cosx1.再求解，根存在问题与零点和介值定理应用我个人也是有所收获的，根有与否可以应用图像或是构造函数求导的方法，零点定理是基础，常见的有几个根和其范围，用中点试法可以得到更精确的值，微分的引入解决了我以前求值不出啊，如求arctan1.01如今可以依靠特殊点近似求角和差量了，无穷小量的舍弃，求出主体部分，微分与导数密不行分，而积分的特殊公式也在这节提出，求切线问题，算是老题型了，但骨子里数形结合思想不变，微分中值定理在证 明题中作用很大，构造函数也很重要如 1.求证x1时，e的x次方大于x.e，构造Fxexex.求导即可
15、，2.已知函数fx在0x1上连续，在0，1内可导，且f10.求证在0，1内 至少有一点a使afafa0 留意到这个式子导数于变量乘积，于是构造Fxxfx.又F1F00.则必有F0即求导后可证。 高阶导数的计算是个技巧，尤其在参数函数和隐函数结合上，对于一般的高阶可以结合洛必达法则，参数函数与隐函数则困难些，这也引出了对数求导法，很好用，但也有限制他，那些困难多因式可以很好解决，特别指出二阶求导的应用，对于函数单调性与极值和凹凸性的运用其很大作用，记得中学常有题目一阶导数是解不出函数在某个范围内的单调性的，借助二阶导数探讨导数本身才能得出答案，与此不得不提的泰勒公式，给人很大的数学冲击，解决全部
16、函数式的差量与具体让人可以想更多的统计与得出规律性结论，看懂还是不简洁的，终归我们都远比上那个天才，最优化问题很好用，自然可以产生确定的经济效益，修路打药甚至是公司的前景应用都很重要，在最小值计算中导数有时和多项均值定理有异曲同工之效，但项数变更运用均值定理一般要比导数简洁 积 分是在最近我觉察大家普遍头疼的一章，不管是哪个学校的同学都发表说忙于计算积分驾驭技巧包括我在内，确实是考验勤奋度与思维灵敏度的一章学问，我确定必要的公式确定要记这样就不必做一道翻一下书了， 第五篇：微积分教案 微积分数学模型的应用 微分模型 一、光纤收费标准模型 某地有多家有线电视公司。有线电视公司A的光纤收费标准为1
17、4元/月。户，目前它拥有5万个用户。某位投资顾问意料，若公司每月降低1元的光纤收费，则可以增加5000个新用户。1请根据这一意料，为公司制定收费标准，以获得最大收益 2假如公司每月每户降低一元的光纤收费，只增加1000个新用户，问该如何制定收费标准？ 一、模型假设与符号说明 1、假设该地的用户数远远大于5万 2、假设只考虑公司降价而不考虑提价的状况 3、若公司每月每户降低1元的光纤收费，可增加a个新用户，公司每月每户降低x的光纤收费，公司的月收益为P(x)。 二、模型建立 P(x)=每月每户交纳的费用总用户数，即 P(x)=(14-x)(50000+ax)=700000+(14a-50000)
18、x-ax 三、模型求解 1当a=5000时，P(x)=700000+20000x-5000x，求导得 P(x)=20000-10000x 令P(x)=0，得驻点x=2。 根据实际问题的分析知道：当公司定价为12元时，公司拥有60000用户，此时公司每月的最大收益为72万元。 21当a=1000时，p(x)=700000-36000x-1000x，求导得 2P(x)=-36000-2000x 令P(x)=0，得驻点x=-18。 根据实际问题知：x0，故与实际状况不吻合 二、存贮模型 一不允许缺货的存贮模型 1.问题的提出 存贮问题广泛存在于工厂的原材料贮备，商店的商品贮备、水库蓄水等现实问题中这
19、里的关键是存贮量的大小，存贮量过大则需付出过高的存贮费用；存贮量缺乏又可能导致不能满意需求从而造成损失因此，确定一个最优的贮存策略是具有重要意义的 2.模型的构建 下面假定需求量是确定的，并且不允许缺货现象出现，如钢厂订购废钢供炼钢就是这种状况，因为钢生产对原料的需求是确定的，而一旦缺少了原料将造成巨大的损失 在不允许缺货的状况下我们可以考虑两种费用：订货时需付的一次性订货费，货物的贮存费建立模型的目的是在单位时间的需求量为常数的状况下制定最优存贮策略，即多长时间订一次货，每次订多少货，使总费用最小 模型假设：1每天货物需求量为r吨 2每隔T天订一次货称T为订货周期，订货量是Q吨，当贮存量降到
20、零时新一批订货恰好到达3每次订货费为C1与订货量无关，也与货物本身的价格无关，每天每吨货物贮存费为C2 模型建立：订货周期T、订货量Q与每天需求量r之间应满意关系 Q=rT 订货后贮存量由Q均匀地下降，设随便时刻的贮存量为q(t)，则q(t)是t的线性递减函数，其转变规律如图101 考虑一个订货周期的总费用C(T)：订货费C1与贮存费 _贮存费每天每吨货物的贮存费平均每天的存贮吨数天数 C2Q+0T 2 图101 于是得 1C2QT 21C(T)C1+C2QT，2_1C(T)C1+C2rT2 2_ 2 明显，不能以一个周期内的费用为目标函数，这样会导致订货周期越短越省钱的错误结论，而应以每天的
21、平均费用记作C(T)为目标函数，于是 C(T)= C(T)C11+C2rT TT2_ 3 制定最优存贮策略归结为求订货周期T使C(T)最小 3.模型求解 利用微分法，令 -C1dC(T)=0，得21+C2r=0，2dTT解得 最正确进货周期 T=2C1 rC4 将Q=rT代入上式得最正确进货量 Q=2C1r C2 5 式8就是经济理论中著名的经济订货批量公式 4.模型应用 订货批量公式5说明，订货费C1越高，需求量越大，则订货批量Q应越大；贮存费C2越高，则订货批量Q应越小这些结论都可以由常识得到，不过公式在定量上说明的平方根关系却是凭常识无法得到的 例 1 一鞋店平均每天卖出110双鞋，批发
22、手续为每次200元，每双鞋每储存一天的费用为0.01元，该商店多少天进一次货最好，进货量为多少？ 解 此题中r=110，C1=200,C2=0.01.于是得最正确进货量 Q=最正确进货天数 2C1r=C222001102098(双)，0.01T= Q2098=20(天)r110即20天进货2098双最好 二允许缺货的存贮模型.问题的提出 考察一个商店经理制定最优订货周期和最优订货批量时遇到的问题设市场对某种商品的需求是确定的和已知的，市场对某种商品的需求仍为每天r吨，但允许缺货缺货时因失去销售机会而使利润削减，削减的利润可以视为因缺货而付出的费用，称缺货损失费于是这个模型的第1、第3条假设与不
23、允许缺货时相同，而第2条改为(2)每隔T天订货Q吨，允许缺货，每天每吨货物的缺货损失费为C3 2.模型的构建 缺货时贮存量q(t)视作负值，则q(t)的图形 如图102货物在t=T1时售完，但每天需求量仍为r，在T1,T这段时间内缺货，可视存贮量q(t)为负值，于 是在t=T时下一次订货量Q一次到达，且Q=rT1 图102 一个订货周期内总费用C：订货费C1，贮存费C2_T10q(t)dt，缺货损失费 贮存费=每天每吨货物的存贮费从第一天到第T1天总共存贮的货物吨数的和 C2T10q(t)dt=C2Q(1-0T1t1)dt=C2QT1 T12tdt(T1 640 10天后出售，可多得利润20元
24、 四、森林救火 当森林失火时，消防站应派多少消防队员去灭火呢？派的队员越多，火灾损失越小，但救援开支越大.如何确定灭火队员的人数，才能使总费用火灾损失+救援开支最小？ 解 1问题分析 1火灾损失与森林被烧面积有关，而被烧面积又与从起火到火灭的时间有关，而这时间又与消防队员人数有关.2救援开支由两部分构成：灭火剂的消耗与消防队员酬金与人数和时间有关；运输费与人数有关.3在无风的状况下，可认为火势以失火点为圆心，均匀向四周扩大.半径与时间成正比，从而被烧面积应与时间的平方成正比.2模型假设 1火灾损失与森林被烧面积成正比 记起先失火的时刻为t=0，起先灭火的时刻为t=t1，火被完全扑灭的时刻为t=
25、t2.设在时刻t森林被烧面积为B(t)，C1表示单位面积被烧的损失，则总损失为C1B(t2).2被烧面积与时间关系 dBdBdB表示单位时间被烧面积(燃烧速度：m2/min),当t0与t=t2时为零，当t=t1时最dtdtdtdBdB|t=t1=b.由前面分析，B(t)与t2成正比,故不妨设在区间与上，大，记 都是t的dtdt线性函数.在上，斜率为b0，b称为火势扩大速度,在 上,斜率为b-lx0,其中x为消防队员人数.l为队员的平均灭火速度.3救援开支 设x为消防队员人数，灭火剂消耗与消防队员酬金每单位时间的费用为C2, 运输费平均每人费用为C3, 则救援开支为C3x+C2x(t2-t1).
26、3模型建立与求解 图14-3 由假设2，dBdt与t的关系如图14-3所示.利用定积分的牛顿-莱布尼兹公式，大面积为 B(tt2dB2)=B(tdtDOMN面积bt22)-B(0)=0dt2 总费用 C=12C1bt2+C2x(t2-t1)+C3x.此式中t2与x是变量，其余为常数.但t2与x是亲热相关的，由图可知 b=btb1,t=lx-b, t+b2=t1lx-b 2-t1从而，总费用可化为一元函数： ()C2Cx=12C1bt1+1b2(lx-b)+C2bxlx-b+C3x dC2令 =0，解得唯一驻点 x=1C1lb+2C2bbdxl2C+b.3l驻点就是最小值点.4模型评价 森林被被
27、烧的最 从结果看，xbb，这表示为了能把火扑灭，派出的消防队员人数要大，这保证b-lx0).10+x假设塘中现有鱼量为A公斤，需要捕捞的鱼量为T公斤。当我们已经捕捞了x公斤鱼之后，塘中所剩的鱼量为A-x公斤，此时再捕捞Dx公斤鱼所需的本钱为 DC=C(A-x)Dx=因此，捕捞T公斤鱼所需本钱为 2000Dx.10+(A-x)C=T0200010+A=Tdx=-2000lnx=2000ln(元)x=010+(A-x)10+(A-T)将已知数据A=10000kg,T=6000kg代入，可计算出总捕捞本钱为 C=2000ln10010=1829.59(元)4010顺便可以计算出每公斤鱼的平均捕捞本钱
28、 C= 二、投资决策模型 某公司投资1860万元建成一条生产线投产后，其追加本钱和追加收入分别是本钱函数和收入-1829.590.30元 6000函数对时间t的转变率，类似于边际函数概念分别为G(t)=5+2t百万元/年，b(t)=17-t百万元/年试确定该生产线运用多长时间停产则可使公司获得最大利润？最大利润是多少？ 解 简洁看出，追加本钱G(t)是单调增加函数而追加收入b(t)是单调递减函数，这说明生产费用在逐年增加，而生产收入在逐年削减，二者之差即为生产利润随时间的转变率： 2323b(t)-G(t)=(17-t)-(5+2t)=12-3t 232323与边际本钱和边际收入的关系相同，生产利润最大值存在的必要条件是b(t)=G(t)解方程得t=8，由于生产利润对时间的导数为 b(t)-G(t)8=-2t-130，23所以，t=8是生产利润的最大值点这样，生产利润的最大值为 b(t)-G(t)dt-18.6=(12-3t008)dt-18.6=38.4-18.6=19.8(百万元)