微积分题型总结.docx

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1、精品名师归纳总结微积分题型总结第一部分函 数函数是整个高等数学争论的主要对象,因而成为考核的对象之一。特殊是一元函数的定义和性质,其中包括反函数、复合函数、隐函数、初等函数和分段函数的定义和性质。一、 重点内容提要、函数定义中的关键要素是定义域与对应法就,这里要特殊留意两点：两个函数只有当它们的定义域和对应法就都相同时,才能说它们是相同的函数。分段函数是一个函数而不是几个函数。求函数的定义域： （答案只要求写成不等式的形式,可不用区间表示）对于用数学式子来表示的函数,它的定义域就是使这个式子有意义的自变量的取值范畴（集合） 主要依据：分式函数：分母偶次根式函数：被开方式对数函数式：真数式反正（

2、余）弦函数式：自变量x1例1求函数 yxx的定义域。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例2求函数ln x2y 的定义域。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4x 2y 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例3y =2x 的定义域可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 - 2x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 yln x 23xarccosx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在上述的函数解析式中,上述情形有几种就列出几个不等式组成不等式组解之。、关于反函数定义,我们仅要求把握变量反解法。、函数的简洁性质,重点把握

3、奇偶性、单调性。、关于复合函数定义将复合函数拆成基本初等函数或基本初等函数经四就运算形成的函数,这在求导和积分类型题中是不行防止的。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结指出 ysin1arctane x的复合过程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、隐函数：主要在后面求导数及应用中用到、留意初等函数的定义。留意 分段函数不是初等函数。二、 典型例题类型题、求函数定义域4x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例求函数f xlg x的定义域 .1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解 要使函数表达式有意义,要满意：4x0x4x10即x1lgx10x2

4、所以函数的定义域为（, ）（, .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1,例 求函数 1,0x11x2的定义域 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解函数 的定义域是 , .小结 ：留意,对于分段函数,它的定义域为全部分段区间的并集。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如: 函数f xx1x 2的定义域是。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 函数 yln x x1定义域是1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 函数f xlog 2 2

5、x1 的定义域可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结类型题、函数值与函数记号可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 设1x1,求（） 。（）f1。（） x1f .x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解 （） 11 x11x（） f11xx11x1x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（） f1xxx11x1x12x1x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结其次部分极限与连续作为高等数学争论的基本工具,求函数极限和争论函数的连续性乃是考核的基本类型题,要引起注意。一、 重点内容提要、函数极限的求法,留意单侧极限与极限存在的充要条件。、知

6、道极限的四就运算法就、娴熟把握两个重要极限、关于无穷小量（）把握无穷小量的定义,要特殊留意极限过程不行缺少。（）把握其性质与关系无穷小量的判定也是一个比较重要的问题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0, 以下那些量是无穷小量可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例： tan xx, x cos x, x3, x sinsin xx,x1, x sinx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、把握函数的连续性定义与间断点的求法（）把握函数的连续性定义（）把握间断点定义（）把握并会用单侧连续性（）把握初等函数的连续性的结论、把握闭区间上连续函数的性质（）懂得最大

7、值和最小值定理,即在闭区间上连续的函数,必能在其上取到最大值和最小值。本定理主要为求函数的最值做必要的铺垫。（）把握介值定理的推论零点定理。本定理主要用于判定一个方程根的存在性。二、典型例题求函数极限常用方法有：利用极限的四就运算法就求极限,利用初等函数的连续性求极限。利用两个重要极限求极限。利用洛必达法就求极限等。类型题、 利用极限的四就运算法就及初等函数连续性求极限可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结limf xlim a xna xn 1a xa 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例xx0nn 110xx0nn 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结

8、an x0an 1 x0m1nn 1a1 x0a0f x0 0nm可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结limpn xliman xan 1xa1xa0annm可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结m例xqm xxb xmbm 1 xb1 xb0bmnm可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结p x0 qx0 q x0 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结limp x0 洛比达法就 p x qx 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 xx 0

9、q x0px0 000。 q x0 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结23例求 lim x2x1x1x1解注 意到 x1 使 分 子和 分 母 都为 零 ,可 通 过约 去 公 共零 因子的 方 法解 决 , 我们 有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结23lim x2 x1 lim x1 22limx10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x1x1x1 x1 xx1 x 1 xx1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2注：约去零因子后,x1成为连续点,便可以利用初等函数的连续性求极限了。可编辑

10、资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 求 lim2x13可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x 4x22解 同上题,设法分别出零因子,然后消去。有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结lim2x13 lim2x132x13x22 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x4x22 x2 x21324 x2x22 2x12 3x22 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结limlim2x8x22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x42x22x422 x13x42x13可编辑资料 - -

11、- 欢迎下载精品名师归纳总结lim 2x222 2 222x 42x13333可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结类型题、 利用两个重要极限求极限重要极限一及其推广形式sin xsinx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结lim1 ,推广形式lim1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0xlimsin xx01 xlimsin x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结留意比较以下四个极限x0xxx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结lim xsin x0limxsin x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0x例 求

12、以下函数的极限：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（） limsin 3x。（）limsin 3 x.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0xxx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解 （）limsin 3xlimsin 3x3 令t3xlimsin t31 33.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0xx03xt0t可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（） limxsin 3xxlimx1 sin （由于xlim 1xx0 ,而是有界函数）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师

13、归纳总结例求 lim 1xxsin 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解lim 1 limx令t1/ xlimsin t1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xx x1xt0t可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结重要极限二 及其推广形式x例 求 lim12xxxx 2222212可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解li m 1li m 1令 2 / xlim1u ue可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x例limxxsin 2 xlimxsin xu0sin x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x.二 极限0x

14、xlim x0x1) x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xx1类型题、 利用无穷小量的性质求极限可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例1limx 2sin 1xlimxsin 1x00可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0sinxx0sinx1x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例2limsin 2 xlimsinxsinx100可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0xx0xsin 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例3limsinxlimsinxlimxlim1xsinlim1xsin可编辑资料 - - -

15、 欢迎下载精品名师归纳总结x0xxxxxxxx0x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结类型题、 利用洛必塔法就求极限可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例1limcosx - cosalim- sinx0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0x - aln11xx01- 1x 21x1x 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例2limxarccotxlimx11x1x2lim1x1xx 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例3lim xlnx例4 lim 11例5 limxsin x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总

16、结x0x例60xex1x0x2 t 2 dt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求极限limx00xt 10sint dt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结类型题 、判定函数在指定点的连续性（连续的定义要明确）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例判定函数f xc o sx1x 2,1 ,2x0,x0在处的连续性。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解由于lim limcos x12lim2sin2x) 22lim2sin x21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0x0x1.2x0

17、xx0x22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又由于1,所以函数 在处连续 .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结.二 设f xx12x3,要使f x在处连续,应补充定义可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数在某一点是否有定义、是否有极限、是否连续、可导、可微之间的关系小结判定分段函数在分界点处是否连续,第一要判定函数在该点处的极限是否存在,然后考察 在该点的极限值是否等于函数在该点处的函数值,如相等,就函数在分界点处连续,否就就不连续。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结类型题 、求函数的连

18、续区间可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 求函数 13 x 23x的连续区间。2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解 由于 的定义域为,即 得且。所以函数 的连续区间是,11,22,小结由于一切初等函数在其定义域内都连续,因此要求初等函数的连续区间也就是求它的定义域。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结类型题 、求函数间断点。1例求函数 2x2的间断点。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解 对于有理分式函数,使分母为零的点是它的不连续点。使 的点为 ,是函数 的间断点。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例求函数 x2 x1)

19、 的间断点。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x2 x3解 对于有理分式函数,使分母为零的点是它的不连续点。使（） 的点为 , 是函数 的间断点。类型题、 判定方程根的存在性可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 证明：方程 x54 x10 至少存在一个实根。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证：设f xx54 x1 ,就函数f x 是定义在整个数轴上的初等函数,故在区间 0,1 上连续,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结且有 f0f 1 140

20、, ,由零点定理知,至少存在一个点xc0,1, 使得f c0, 或可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结c54c10,即方程 x54x10 至少存在一个实根xc.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结小结： 这类证明题一般都是先行设一个函数,这个函数通常是将给定方程的非零项移至方程的一侧所形成的。然后通过方程观看使函数值异号的两个不同点,这两个点做端点就可以形成一个区间。假如所设函数在此区间上连续,问题便转化为利用零点定理的证明问题了。当然,此题的区间可以不取、而取和、和等做端点,同样可以证明之。取和只是由于运算简洁罢了。第三

21、部分导数与微分求函数的导数与微分自然是作为高等数学（即微积分）考核的主要内容,应当做到非常娴熟。其考核比例为。一、重点内容提要、把握导数的定义和几何意义可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x limylimf x0xf x0 limf xf x0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0f xx0xlimyxlim0f xxxf xxx 0xx0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0xx0x、娴熟把握求导方法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（）娴熟基本初等函数的导数公式（依据所给的规律性成对记忆）（）把握导数的四就运算法就（）娴熟把握复合

22、函数的求导法就（）把握隐函数的求导法就（）娴熟把握高阶导数的求法（以二阶导数为主）二、 典型例题类型题、 求显函数的导数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 求函数3 xcos x ,求y 的导数。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解 利用基本求导公式和四就运算法就,2y 1 x 33sin x11x 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 设,求 y .解 先利用四就运算法就有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（） /ln2x 31 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结再分别使

23、用复合函数求导法就,即得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结/1y 2 x316 x22 x316x 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结arctan1例 ysin ex求 y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结类型题、 隐函数求导方法例 求由方程所确定的隐函数yf x 在点 处的导数dy 。dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解 方程两边对求导有： y y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解得y y 2 y2 x ,于是有x可编辑

24、资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y2, 1y2x2yx5 2, 14可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结类型题、 取对数求导法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例yx xx aa xa aa0求y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例yxsin x求y 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x2 x例y4x4x5 3求y7可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2类型题、 求函数的微分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2补充：设x1arctgx ,求 .可编辑资料 -

25、 - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： y112 x2arctgx1x2arctgx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 ydx1x 2x2arctgx 1x 21x 21x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例设求.1x21x 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解 留意到函数 y 是由二元方程所确定,方程两边对求导：得y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y y yyyy1xe可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结.1xey小结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求函数 的微分,只要求出的导数f ,再乘以就可以了,

26、即f 。故这里仅此一例足以了可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结类型题、 导数的几何应用可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 求抛物线上点1 , 1处的切线方程 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解y242x1（点 1124, 在曲线上）,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12x1x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结抛物线上点1 , 1处的切线方程为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结24 11 x142即 .留意在求曲线的切线方程时,要特殊留意所给点是否在曲线上。第四部分导数的应用一、 重点内容提要、把握罗必

27、达法就、把握函数增减性的导数符号判别法（）函数单调性的判肯定理（）单调区间的确定、把握函数的极值及其求法、知道曲线的凹向与拐点,把握曲线凹向的判别法与拐点的的求法、把握函数的最值的求法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结类型题、 求未定型的极限二、典型例题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 求极限lim ee x22：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xx0sinx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x解lim ee x22（呈0 型） limexe xlim ee可编辑资料 - - - 欢迎

28、下载精品名师归纳总结xxx0sinx0x02 sin x cos xx0sin 2 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结仍呈0 型 lim ee111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xx0x02 cos 2 x2例 求以下函数的极限：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（） lim （）x 。（）lim21.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x12x1x1ln x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：（）lim （）x （呈 0型）lim1x（呈0 ） lim1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x12x1xco

29、t20x1csc2x22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结lim2 sin 2x22 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x1limx1（呈型）limx ln xx1 （呈0 型）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x1limx1ln x1ln x1 limln xx1 x11) ln x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x1ln x小结x1 xx11 2ln x1x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（）罗必塔法就既不是万能的,也不肯定是最简的。（）罗必塔法就可以连续使用,但每一次使用前都必需检查是否满意法就的条件,只有三个

30、条件都满意了,才能连续使用。（）使用罗必塔法就时,要准时化简。 类型题、 函数单调性的判定和应用可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 求证x 1 （ ）x111x 31可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明设（）x3,就xf 22xxx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当时f 故（）单调增加,于是有当 时 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即x31即 x 1 xx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结留意： 明白和总结利用单调性证明不等式的步骤是必要的。类型题、 函数的极值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 求函

31、数 yx3 x1 的极值点及极值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解 函数的定义域是（,）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y3 x1x33 x124 x33 x312可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结令 y得驻点 34可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又在处函数的导数不存在。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结333 ,444一不存在y微小值点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3 是函数的微小值点,其微小值为（433 31）。444可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结类型题、 函数的凹向与拐点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 争论 y2 x33 x2x2 的凹向,并求拐点。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑