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1、第 1 课：1 分钟微积分：X 射线和延时视觉 我们通常以表面价值来看待形状、公式和情况。微积分为我们提供了两个深入挖掘的超能力：X 射线视觉：您可以看到图案中隐藏的部分。你不只是看到这棵树，你知道它是由年轮组成的，在我们说话的时候，另一个正在生长。延时视觉：您会看到摆在您面前的物体的未来路径（很酷，对吧？）。“嘿，月亮来了。在接下来的几天里它会是白色的，但在第六天它会在天空低处，是我喜欢的颜色。那我去拍张照片。”那么微积分有什么用呢？好吧，想象一下随意使用 X 射线或延时视觉。对于我们关心的对象或场景，它是如何组合在一起的？下线会发生什么？（奇怪的是，我写给 Marvel 的关于 Calcu
2、lus-man 的信至今都被忽略了。）10 分钟内的微积分：逐步查看模式 X 射线和延时视觉有什么共同点？他们逐步检查模式。X 射线显示内部的各个切片，延时摄影将每个未来状态放在另一个旁边。这看起来很抽象。让我们看看周长、面积、表面积和体积的方程：我们有一种模糊的感觉，这些公式是有联系的，对吧？让 我 们 打 开 X 射 线 视 觉，看 看 这 会 导 致 什 么 结 果。假 设 我 们 知 道我们想找出面积方程。我们可以做什么？这是一个棘手的问题。正方形很容易测量，但我们如何计算出不断弯曲的形状的大小？微积分来拯救。让我们使用我们的 X 射线视觉来意识到光盘实际上只是一堆放在一起的环。类似于
3、树干，这是一个圆圈区域的“逐步”视图：这个观点有什么帮助？好吧，让我们将那些卷曲的圆环展开成直线，这样它们就更容易测量了：哇！我们有一堆形成三角形的拉直环，这更容易测量。每个环的高度取决于它与中心的原始距离；距中心 3 英寸的环的高度为 英寸。最小的环或多或少是一个精确点，根本没有任何高度。最大环的高度是整个圆周（）。而且由于三角形比圆形更容易测量，因此找到面积并不太麻烦。“环形三角形”的面积=，这是圆的面积公式！我们的 X 射线图像显示了一个简单、易于测量的弯曲形状结构。我们意识到一个圆圈和一组粘在一起的戒指真的是一样的。从另一个角度来看，填充圆盘实际上只是单个环变大的“时间流逝”。那么我可
4、以用微积分做什么？还记得学算术吗？您学习了如何计算一个数字，以及如何将其与其他数字组合（加/减、乘/除、指数/根）。从技术上讲，计数是不必要的，因为我们的穴居人祖先在没有它的情况下做得“很好”（幸存下来）。但是，拥有特定的数量概念可以更轻松地浏览世界。你没有“大”和“小”一堆石头：你有一个确切的数量。你知道每个猎人可以得到多少支箭，或者收集的浆果是否足以满足部落的需求。更好的是，算术为我们提供了超越严格计算的隐喻。它使我们对所有事物的描述更加清晰，从辣度和电影评级（1 到 5）到我们的情绪（1 到 10），我们都可以阐明一切。具体的测量是一个有用的想法，一旦看到就很难放弃。微积分用两个新的比喻训练我们：分裂和粘合在一起。一个模式可以分成多个部分，这些部分可以逐步组合成完整的模式。这种观点是生存所必需的吗？不。但它很有趣。数字和方程描述了我们所拥有的，但微积分解释了使我们达到目标的步骤。我们可以看到食谱，而不仅仅是饼干。当然，微积分出现在科学中是因为一步一步的蓝图比给出最终结果更有用。但是在日常场景中，我们有一个很好的视角可以打开：是什么步骤让我们走到了这里？这种方法有什么优点或缺点吗？基于这些步骤，我们下一步要去哪里？让我们感受一下微积分的观点是什么样的。