微积分题型总结.docx

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1、-微积分题型总结第一部分函 数函数是整个高等数学研究的主要对象，因而成为考核的对象之一。特别是一元函数的定义和性质，其中包括反函数、复合函数、隐函数、初等函数和分段函数的定义和性质。一、重点内容提要1、函数定义中的关键要素是定义域与对应法则，这里要特别注意两点：两个函数只有当它们的定义域和对应法则都相同时，才能说它们是相同的函数。分段函数是一个函数而不是几个函数。求函数的定义域：（答案只要求写成不等式的形式，可不用区间表示）对于用数学式子来表示的函数，它的定义域就是使这个式子有意义的自变量x 的取值范围（集合） 主要根据：分式函数：分母0偶次根式函数：被开方式0对数函数式：真数式0反正（余）弦

2、函数式：自变量 x 1例1求函数y =x -x的定义域。例2求函数2 + x1 - 2x例3y =的定义域。ln(x - 2y)4 - x 2 - y2的定义域例 4 y = ln(x2 + 3x) + arccos x在上述的函数解析式中，上述情况有几种就列出几个不等式组成不等式组解之。2、关于反函数定义，我们仅要求掌握变量反解法。3、函数的简单性质，重点掌握奇偶性、单调性。4、关于复合函数定义将复合函数拆成基本初等函数或基本初等函数经四则运算形成的函数，这在求导和积分类型题中是不 可避免的。y = sin earctan 1指出x 的复合过程5、隐函数：主要在后面求导数及应用中用到6、注意

3、初等函数的定义。注意分段函数不是初等函数。二、 典型例题类型题 1、求函数定义域4 - x例 1求函数 f ( x) =的定义域.lg(x - 1)解 要使函数表达式有意义，x 要满足：.-4 - x 0x - 1 0即lg( x - 1) 0x 4x 1x 2所以函数的定义域为（1，2） （2，4.1,例 2 求函数f(x)= - 1,0 x 1的定义域.1 x 2解 函数 f(x)的定义域是0，2.小结：注意，对于分段函数，它的定义域为所有分段区间的并集。x1 - x 2如:(1)函数 f (x) =+ln(x + 1)的定义域是；x - 1(2) 函数 y =定义域是 (3) 函数 f

4、(x) = log (2x - 1) +arcsin(1-x)的定义域 2类型题 2、函数值与函数记号1例 设 f(x)=，求（1）f(x-1)；（2） f 1 ；（3）f f 1 .x + 1 x x =11解 （1）f(x-1)=( x - 1) + 1x（2） f 1 =1x1=xx + 1+ 1x（3）f f 1 =f x =1=x + 1xx + 1x2x + 1+ 1x + 1第二部分 极限与连续作为高等数学研究的基本工具，求函数极限和讨论函数的连续性乃是考核的基本类型题，要引起注意。一、 重点内容提要1、函数极限的求法，注意单侧极限与极限存在的充要条件。2、知道极限的四则运算法则

5、3、熟练掌握两个重要极限4、关于无穷小量（1） 掌握无穷小量的定义，要特别注意极限过程不可缺少。（2） 掌握其性质与关系无穷小量的判定也是一个比较重要的问题.-x 0,下列那些量是无穷小量例： tan x , x cos x, x3, x sin x, sin x , x sin 1xxx5、掌握函数的连续性定义与间断点的求法（1） 掌握函数的连续性定义（2） 掌握间断点定义（3） 掌握并会用单侧连续性（4） 掌握初等函数的连续性的结论6、掌握闭区间上连续函数的性质（1） 理解最大值和最小值定理，即在闭区间上连续的函数，必能在其上取到最大值和最小值。本定理主要为求函数的最值做必要的铺垫。（2）

6、 掌握介值定理的推论-零点定理。本定理主要用于判定一个方程根的存在性。二、典型例题求函数极限常用方法有：利用极限的四则运算法则求极限，利用初等函数的连续性求极限；利用两 个重要极限求极限；利用洛必达法则求极限等。类型题 1、利用极限的四则运算法则及初等函数连续性求极限lim f (x) = lim(axn + axn-1 +LLax+ a )例 1x x0x xn0n-110= a x nn0+ axn-10n-1 +LLa x+ a= f (x )1000p (x)axn + axn-1 +LLa0x+ a an m p(x ) 0 q(x0 )q(x0) 0limp(x)= 0 (洛比达法

7、则)p(x) = q(x) = 0 例 3xx0 q(x)0p(x0) 0；q(x000) = 0x 2 - 2x + 1例 1求lim x1x3 - 1解注意到 x = 1 使分子和分母都为零，可通过约去公共零因子的方法解决， 我们有limx 2 - 2x + 1 =lim( x - 1)2=limx - 1= 0x1x3 - 1x1 ( x - 1)( x 2 + x + 1)x1 x2 + x + 12x + 1- 3x - 2 -2注：约去零因子后， x = 1成为连续点，便可以利用初等函数的连续性求极限了。例 2求limx4解 同上题，设法分离出零因子，然后消去。有.2x + 1-

8、3x - 2 -2-limx4(=lim2x + 1x - 2(- 3)(2x + 1 + 3)(+2 )(x - 2 -2 )(2x + 1 + 3)(x - 2 +2 )x4)2x - 8 ( x - 2 +(x - 4) 2x + 1 + 32)x - 22x + 12x + 1 2 - 32 (+2 )()()= lim() ( )=limx4 x - 22 -22 (+ 3)x4= limx4= 2 22 = 222(+2 )2x + 1 + 3x - 23 + 33类型题 2、利用两个重要极限求极限重要极限一及其推广形式lim sin x= 1 ，推广形式 limsinj(x) =

9、 1x0xj( x)0lim sin x = 1j(x)lim sin x = 0注意比较以下四个极限 x0xlim x sin x = 0x0例 2求下列函数的极限：xxlim x sin x = 1x（1） limsin 3x ；（2） limsin 3x.x0xxx解 （1） limsin 3x =limsin 3x 3 令t = 3xlimsin t 3 = 1 3 = 3 .x0xx03xt0t（2） limsin 3x = lim1 sin 3x=0（因为lim1 = 0 ，而sin3x 是有界函数）xxx xx x例 3求lim xsin 1xx解lim xsin 1 = lim

10、sin 1x令t = 1/ xlim sin t = 1.xxx1xt0t重要极限二 及其推广形式例 1求lim1 +2 xx x 2xx222解 l i m1 + = lim1 + 2令 u= 2 / x =lim(1 + u)1 = e2xx xx u0 u 例lim sin 2 x= lim sin x sin x = 0x0xx0xx - 1x + 1(07.二.6) 极限lim() x =x类型题 3、利用无穷小量的性质求极限.-11例1limx 2sinxsinx= limxsinxsinx= 0 = 01x0x0 x例2lim sin 2 x = lim sinx sinx =

11、1 0 = 0x0xx0xsin 1例3lim sinxlim sinxlimxlim xsin 1lim xsin 1x0xxxxx类型题 4、利用洛必塔法则求极限xxx0x例1lim cosx - cosa= lim - sinx = 0x0x - aln(1 + 1 )x01- 1例2limx= lim x 2- 1= limx1 + x 2 = 1x+ arccotxx+ 1 +11 + x 2x+ 1 + xx 2x例3limxlnx例4 lim( 1 -1)例5 limxsin x x0+例6x0 xex - 1x0+ x 2 t 2 dt求极限 lim0x 0 x t (1 -

12、sin t ) dt0类型题 5、判断函数在指定点的连续性（连续的定义要明确）c o sx - 1 ,x 2x 0,例 1判断函数f ( x) = 1在 x=0 处的连续性。- ,2x = 0xx 2解 因为lim f(x)= limcos x - 12- 2(sin)2= lim2=limsin1 2-x= - 1 .2x0x0xx0x 2x02 2又因为f(0)=- 1 ，所以函数f(x)在 x=0 处连续.2x + 1 - 2(07.二.7) 设 f (x) =，要使 f (x) 在 x=3 处连续，应补充定义f(3)= x - 3函数在某一点是否有定义、是否有极限、是否连续、可导、可微

13、之间的关系小结判断分段函数在分界点处是否连续，首先要判断函数在该点处的极限是否存在，然后考察f(x)在该 点的极限值是否等于函数在该点处的函数值，若相等，则函数在分界点处连续，否则就不连续。.-类型题 6、求函数的连续区间13 x 2 - 3x + 2例 求函数 f(x)=的连续区间。解 因为f(x)的定义域为x23x+2 0，即(x-1)(x-2) 0 得 x 1 且 x 2。所以函数f(x)的连续区间是(- ,1) (1,2) (2,+)小结由于一切初等函数在其定义域内都连续，因此要求初等函数的连续区间也就是求它的定义域。类型题 7、求函数间断点。1例 1求函数f(x) (x + 2)2的

14、间断点。解 对于有理分式函数，使分母为零的点是它的不连续点。使(x+2)2=0 的点为x= 2，x= 2 是函数f(x)的间断点。(x - 2)(x - 1)例 1求函数f(x) (x - 2)(x - 3) 的间断点。解 对于有理分式函数，使分母为零的点是它的不连续点。使（x-2）(x-3)=0 的点为x= 2，x= 3 x= 2，x= 3 是函数f(x)的间断点。类型题 8、判定方程根的存在性例 1 证明：方程 x5+ 4x - 1 = 0 至少存在一个实根。证：设 f (x) = x5+ 4x - 1，则函数 f (x) 是定义在整个数轴上的初等函数，故在区间0,1上连续，且有 f (0

15、) f (1) = (-1) (4) 0)求y 例 2y = xsin x求y (x - 2)x - 44(x - 5)3(x - 7)例 3y =求y 类型题 5、求函数的微分x 2 + 1补充：设y=+ (arctgx) 2 ，求 dy.-1 + x 2解： y = 1 1 2x + 2arctgx 1=1 + x 2x+ 2arctgx2y dx = (x1 + x 21 + x 2+ 2arctgx )1 + x 2dy=例设 y=xy+ey求 dy.1 + x 2dx解 注意到函数 y 是由二元方程所确定，方程两边对x 求导：得yy =y+x y +ey yy = 1 - x - e

16、 ydy=小结ydx.1 - x - e y求函数y=f(x)的微分，只要求出f(x)的导数 f (x)，再乘以dx 就可以了，即dy = f (x)dx。故这里仅此一例足以了类型题 6、导数的几何应用11 例 1求抛物线y=x2 上点- , 处的切线方程.24 (- 111解y= 2xx=-= -1（点 , ) 在曲线上）， 2412x=-211 抛物线 y=x2 上点 -, 处的切线方程为24 1y 4= - 1 x + 1 2即 4x+4y+1=0.注意 在求曲线的切线方程时，要特别注意所给点是否在曲线上。第四部分 导数的应用一、 重点内容提要1、掌握罗必达法则2、掌握函数增减性的导数符

17、号判别法（1） 函数单调性的判断定理（2） 单调区间的确定3、掌握函数的极值及其求法4、知道曲线的凹向与拐点,掌握曲线凹向的判别法与拐点的的求法5、掌握函数的最值的求法二、典型例题类型题 1、求未定型的极限ex + e- x - 2例 1求极限lim：x0sin2 x.-解limex + e- x - 2（呈 0 型）=limex - e- x= limex - e- xx0sin 2 x0x0 2 sin x cos xx0sin 2x(仍呈 0 型)=limex + e- x= 1 + 1 = 10x0 2 cos 2x2例 2求下列函数的极限：-. （1） lim （1-x）tan p

18、x ；（2） lim 21x12x1 x - 1ln x 解：（1） lim （1-x）tan p x （呈0 型）=lim1 - x（呈 0 ）=lim- 1x= limx1x12 sin2 px2p2= 2 .px1cot p x02x1pp- csc222(2)lim x-1 （呈 - 型）=limx ln x - x + 10（呈 型）x1 x - 1ln x x1( x - 1) ln x0=limln x + 1 - 1=limln x1=x1ln x +x - 1x1ln x + 1 - 12xx小结（1） 罗必塔法则既不是万能的，也不一定是最简的。（2） 罗必塔法则可以连续使用

19、，但每一次使用前都必须检查是否满足法则的条件，只有三个条件 都满足了，才能继续使用。（3） 使用罗必塔法则时，要及时化简。类型题 2、函数单调性的判定和应用x1例 求 证 23-（x1）x证 明 设 f（x）=2- 3 -1 ，则 f (x)=1- 1=- 1xxx 3x x 2x 2当 x1 时f (x)0故 f（x）单调增加，于是有当x1 时 f (x)f(1)=0x即 2- 3 - 1 0即 21x3-x x注意：了解和总结利用单调性证明不等式的步骤是必要的。类型题 3、函数的极值例 求函数 y = x3 x - 1 的极值点及极值解 函数的定义域是（- ，+ ）y = 3 x - 1

20、+x4 x - 333 ( x - 1)233 ( x - 1)2=.-3令 y =0得驻点 x= 4又在 x=1 处函数的导数不存在。x(- , 3)y3403(,1)1(1,+ )4一4+不存在+y极小值点3 - 14 x= 3 是函数的极小值点，其极小值为f（ 3 ）=3。444类型题 4、函数的凹向与拐点例 讨论 y = 2x3+ 3x 2+ x + 2 的凹向，并求拐点。x3例 讨论曲线f(x)=（a0）的凹向，并求拐点。x 2 + 3a23x 2 ( x 2 + 3a2 ) - 2x x3x 4 + 9a2 x 2解 f ( x) = ( x 2+ 3a2 )2( x 2+ 3a2

21、 )2()()2() ()f (x)=4x 3 + 18a 2 xx 2 + 3a 2( -x 4 +)9a2 x 2 2 x 2 + 3a2 2x()= - 6a2 x(x 2 - 9a2 )x 2 + 3a2 3x 2 + 3a2 4123令 f (x)=0，得x =0，x =-3a，x =3ax(- ,y )y拐点拐点拐点函数无二阶不可导点，f(x)的定义域为（- ，+ ），列表-3a)-3a(-3a,0)0(0,3a)3a(3a,+00+0类型题 5、函数的最值例 求 y = 2x3- 3x 2-1,4 的最大值和最小值。Q例 设某商品的需求函数为P=10-，成本函数为5C=50+2Q，求产量多少时总利润L 最大。解P=10- Q ， C=50+2Q， R=PQ=10Q- Q2 ，而55Q2Q2L=R-C=10Q- 5-50-2Q=8Q- 5-50令 L =8- 2 Q=0得唯一驻点Q=20。又 L =- 2 55当产量Q=20 时总利润L 最大. 0), 求x , y 。z解xz= yx y-1 ，y= x y ln x.-例 2设 z = cos x sin y求dz例 3 求多元函数的高阶偏导数 2 z 2 z 2 zz = esin xcos y,yxxyx 2例 4求下列复合函数的偏导数: