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1、小结小结 思考题思考题 作业作业预备知识预备知识概念的引入概念的引入概念与性质概念与性质对坐标的曲面积分的计算法对坐标的曲面积分的计算法两类曲面积分之间的联系两类曲面积分之间的联系surface integral第五节第五节 对坐标的对坐标的曲面积分曲面积分1观察以下曲面的侧观察以下曲面的侧曲面分曲面分上上侧和侧和下下侧侧曲面分曲面分内内侧和侧和外外侧侧1.有向曲面有向曲面 通常光滑曲面都有两侧通常光滑曲面都有两侧.如流体从曲面的这一侧如流体从曲面的这一侧如流体从曲面的这一侧如流体从曲面的这一侧流向另一侧的流量问题等流向另一侧的流量问题等流向另一侧的流量问题等流向另一侧的流量问题等.(假设曲面
2、是光滑的假设曲面是光滑的)对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分一、预备知识一、预备知识2有两侧的曲面有两侧的曲面.规定规定(1)双侧曲面双侧曲面2.曲面的分类曲面的分类法向量法向量的方向来区分曲面的两的方向来区分曲面的两侧侧.对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分3(2)单侧曲面单侧曲面莫比乌斯莫比乌斯(Mobius)带带.B、C 粘在一起形成的环粘在一起形成的环不通过边界可以不通过边界可以这在这在双侧曲面双侧曲面上是不能实现的上是不能实现的.决定了侧的曲面称为决定了侧的曲面称为它是由一张长方形纸条它是由一张长方形纸条ABCD,扭转一下扭转一下,将将A、D粘在一起，粘在一起，行带行带.小毛虫在小毛虫在莫
3、比乌斯带上莫比乌斯带上,爬到任何一点去爬到任何一点去.有向曲面有向曲面.对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分Mobius(1790-1868)19世纪德国数学家世纪德国数学家43.有向有向曲面在坐标面上的投影曲面在坐标面上的投影设设是是有向曲面有向曲面.恰好等于恰好等于 与坐标面与坐标面xOy的二面角的二面角.假定假定的余弦的余弦上各点处的法向量与上各点处的法向量与 z轴的夹角轴的夹角有相同的符号有相同的符号.在有向曲面在有向曲面取一小块取一小块对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分5 类似地类似地,可定义可定义 在在yOz面及面及zOx面的投影面的投影:希自己写出希自己写出希自己写出希自己写出在在xO
4、y面上的面上的投影投影在在xOy面上的投影区域的面积附以一定的面上的投影区域的面积附以一定的实际上就是实际上就是正负号正负号.的的二面角二面角.对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分6流向曲面一侧的流向曲面一侧的流量流量.流量流量实例实例(为平面为平面A的的单位单位法向量法向量)(斜柱体体积斜柱体体积)(1)流速场为流速场为常向量常向量有向有向平面平面区域区域 A,求单位时间流过求单位时间流过A的流体的质量的流体的质量(假定密度为假定密度为1).对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分二、概念的引入二、概念的引入7(2)设稳定流动的不可压缩流体设稳定流动的不可压缩流体给出给出,函数函数 流体的密度与速度流体
5、的密度与速度均不随时间而变化均不随时间而变化(假定密度为假定密度为1)的速度场由的速度场由当当 不是常量不是常量,曲面曲面求在单位求在单位时间内流向时间内流向指定侧的指定侧的流体的质量流体的质量是速度场中的一片是速度场中的一片有向曲面有向曲面,对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分8 分割分割则该点流速为则该点流速为 ，法向量为法向量为 对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分9常向量常向量,有向平面有向平面求和求和取近似取近似该点处曲面该点处曲面的的单位单位法向量法向量高高底底对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分通过通过流向指定侧的流量流向指定侧的流量kjiniiiirrrrg gb ba acoscosco
6、s+=),cos(|iiinvvrrr10取极限取极限对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分111.定义定义三、概念与性质三、概念与性质定义定义对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分12或称或称被积函数被积函数积分曲面积分曲面存在存在,则称此则称此极限为极限为第二类曲面积分第二类曲面积分.记作记作即即如曲面为如曲面为封闭曲面封闭曲面:对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分13类似可定义类似可定义2.存在条件存在条件对对坐标的曲面积分存在坐标的曲面积分存在.在有向光滑在有向光滑连续连续,对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分143.组合形式组合形式4.物理意义物理意义如如:上述流向上述流向指定侧的流量指定侧的流量为为:
7、对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分155.性质性质(1)(2)(3)对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分 当曲面当曲面(4)是母线平行于是母线平行于z轴的柱面时轴的柱面时,表示表示相反的一侧相反的一侧,的曲面积分的曲面积分性质对坐标性质对坐标zxyz.也有类似的结果也有类似的结果16对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分上上侧侧,四、四、对坐标的曲面积分的计算法对坐标的曲面积分的计算法设积分曲面设积分曲面是由是由的曲面的曲面在在xOy面面上的投影区域为上的投影区域为函数函数具有一阶连续偏导数具有一阶连续偏导数,被积函数被积函数R(x,y,z)在在上连续上连续.17 取取上上侧侧即即对坐标的曲面积分对坐标的
8、曲面积分xyxyiS)()(s sD DD D=18对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的必须注意曲面所取的注注侧侧.对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分19 计算计算对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分时时:(1)认定对哪两个坐标的积分认定对哪两个坐标的积分,将曲面将曲面表为表为这两个变量的函数这两个变量的函数,并确定并确定的投影域的投影域.(2)将将 的方程代入被积函数的方程代入被积函数,化为投影域上化为投影域上的二重积分的二重积分.(3)根据根据的侧的侧(法向量的方向法向量的方向)确定二重积分确定二重积分前的正负号前的正负号.对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分20解解投影域投影域对坐
9、标的曲面积分对坐标的曲面积分 例例 计算计算其中其中是球面是球面外侧外侧在在的部分的部分.21极坐标极坐标对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分22 例例其中其中是是所围成的正方体的表面的所围成的正方体的表面的24563 先计算先计算由于平面由于平面都是都是母线平行于母线平行于x轴的柱面轴的柱面,则在其上对坐标则在其上对坐标y,z的积分为的积分为0.解解三个坐标面与平面三个坐标面与平面外侧外侧.对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分123x=a面在面在yOz面上的投影为面上的投影为正正,而而x=0面在面在yOz面上的投影为面上的投影为负负.投影域均为投影域均为:0ya,0za,故故由由 x,y,z 的对等
10、性的对等性知知,所求所求曲面积分为曲面积分为 3a4.后两个积分值也等于后两个积分值也等于a4.对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分24563124设有向曲面设有向曲面是由方程是由方程函数函数具有一阶连续偏导数具有一阶连续偏导数,给出给出,五、两类曲面积分之间的联系五、两类曲面积分之间的联系对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分在在xOy面上投影区域为面上投影区域为对坐标的曲面积分为对坐标的曲面积分为被积函数被积函数 R(x,y,z)在在上连续上连续.25曲面曲面的法向量的法向量的方向余弦为的方向余弦为对面积的曲面积分为对面积的曲面积分为所以所以(注意取曲面的两侧均成立注意取曲面的两侧均成立)对坐标的曲
11、面积分对坐标的曲面积分26两类曲面积分之间的联系两类曲面积分之间的联系类似可得类似可得不论哪一侧都成立不论哪一侧都成立.对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分其中其中是有向曲面是有向曲面在点在点处的法向量的方向余弦处的法向量的方向余弦.27解解 例例下下侧侧.对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分28对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分由对称性由对称性29 例例其中其中解解 法一法一直接用直接用对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分计算法计算法.且其投影区域分别为且其投影区域分别为由于由于取上侧取上侧,在第一卦限部分的在第一卦限部分的上侧上侧.面的投影面的投影都是都是正的正的,对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分30取
12、上侧取上侧对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分 -+-1010d)222(dxyxyxx31法二法二 利用利用两类曲面积分的联系两类曲面积分的联系计算计算.取取上侧上侧,锐角锐角.则法向量则法向量n与与z轴正向的夹角为轴正向的夹角为对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分32对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分yxzzSyxdd1d22+=33若分片光滑的闭曲面若分片光滑的闭曲面0其中其中注注补充补充x的偶函数的偶函数x的奇函数的奇函数曲面曲面不封闭也可以不封闭也可以.取取外侧外侧(内侧仍成立内侧仍成立),那末那末关于关于yOz平面对称平面对称,对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分34 例例其中其中:解解关于关于
13、yOz面对称面对称,被积函数被积函数关于关于x为偶函数为偶函数.下侧下侧.关于关于zOx面对称面对称,被积函数被积函数关于关于y为偶函数为偶函数.对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分35 原式原式=对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分36解解 1994年研究生考题年研究生考题,计算计算,6分分对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分求求而而,)0(围成立体表面的外侧围成立体表面的外侧 r37对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分求求,)0(围成立体表面的外侧围成立体表面的外侧 r38对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分或或39关于曲面侧的性质关于曲面侧的性质对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分六、小结六、小结 对坐标的曲面
14、积分的计算对坐标的曲面积分的计算 对坐标的曲面积分的概念对坐标的曲面积分的概念四步四步:分割、取近似、求和、取极限分割、取近似、求和、取极限思想思想:化为化为二重积分计算二重积分计算;对坐标的曲面积分的物理意义对坐标的曲面积分的物理意义注意注意:“一投一投,二代二代,三定号三定号”对坐标的曲面积分的性质对坐标的曲面积分的性质两类曲线积分之间的联系两类曲线积分之间的联系方法方法:40思考题思考题是非题是非题是以是以原点为中心的球面原点为中心的球面.由对称性知由对称性知对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分41思考题解答思考题解答 非非因为因为上半球面上半球面下半球面下半球面故故对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分42作作 业业习题习题11-511-5 (228(228页页)3.(1)(2)(4)4.对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分43