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1、量子力学导论第4章答案第四章 力学量用算符表达与表象变换 4.1）设与为厄米算符，则和也是厄米算符。由此证明，任何一个算符均可分解为，与均为厄米算符，且 证：） 为厄米算符。） 也为厄米算符。）令，则， 且定义 （1） 由），）得，即和皆为厄米算符。则由（1）式，不难解得 4.2）设是的整函数，证明 整函数是指可以绽开成。证： （1）先证。 同理， 现在， 而 。 又 而 4.3）定义反对易式，证明 证： 4.4）设，为矢量算符，和的标积和矢积定义为 ，为Levi-civita符号，试验证 （1） （2） （3） 证： （1）式左端 （1）式右端也可以化成 。 （1）式得证。（2）式左端 （）
2、 （2）式右端 故（2）式成立。（3）式验证可仿（2）式。 4.5）设与为矢量算符，为标量算符，证明 （1） （2） 证：（1）式右端 （1）式左端 （2）式右端 （2）式左端 4.6）设是由，构成的标量算符，证明 （1） 证： （2） （3） 同理可证， （4） （5） 将式（3）、（4）、（5）代入式（2），于是（1）式得证。 4.7）证明 。 证： 利用基本对易式 即得 。因此 其次，由于和对易，所以 因此， 4.8）证明 （1） （2） （3） （4） 证: （1）利用公式 ，有 其中 因此 （2）利用公式， （） 可得 由，则（2）得证。（3） （4）就此式的一个重量加以证明，由4.
3、4）（2）， ， 其中 （即） 类似地。可以得到重量和重量的公式，故（4）题得证。 4.9）定义径向动量算符 证明：， ， ， ， 证：， 即为厄米算符。 据4.8）（1），。 其中 ， 因而 以左乘上式各项，即得 4.10)利用测不准关系估算谐振子的基态能量。解：一维谐振子能量 。又奇， （由(3.8)、(3.9)题可知） ， 由测不准关系，得 。 ，得 同理有，。 谐振子（三维）基态能量。 4.11) 利用测不准关系估算类氢原子中电子的基态能量。 解：类氢原子中有关电子的探讨与氢原子的探讨非常相像，只是把氢原子中有关公式中的核电荷数换成（为氢原子系数）而理解为相应的约化质量。故玻尔轨迹半径
4、 ，在类氢原子中变为。类氢原子基态波函数，仅是的函数。而，故只考虑径向测不准关系， 类氢原子径向能量为：。而，假如只考虑基态，它可写为 ， 与共轭，于是， （1） 求极值 由此得（：玻尔半径；：类氢原子中的电子基态“轨迹”半径）。代入（1）式，得 基态能量， 运算中做了一些不严格的代换，如，作为估算是允许的。 4.12)证明在分立的能量本征态下动量平均值为0。 证：设定态波函数的空间部分为，则有 为求的平均值，我们留意到坐标算符与的对易关系： 。这里已用到最基本的对易关系，由此 这里用到了的厄米性。 这一结果可作一般结果推广。假如厄米算符可以表示为两个厄米算符和的对易子，则在或的本征态中，的平
5、均值必为0。 4.13）证明在的本征态下，。 （提示：利用，求平均。） 证：设是的本征态，本征值为，即 ， ， 同理有：。 4.14) 设粒子处于状态下，求和 解：记本征态为，满意本征方程 ， 利用基本对易式 ， 可得算符关系 将上式在态下求平均，因作用于或后均变成本征值，使得后两项对平均值的贡献相互抵消，因此 又 上题已证 。 同理 。 4.15)设体系处于状态（已归一化，即），求 （a）的可能测值及平均值; （b）的可能测值及相应的几率； （c）的可能测值及相应的几率。 解：，； ，。（a）由于已归一化，故的可能测值为，0，相应的几率为，。平均值。（b）的可能测值为，相应的几率为，。（c）
6、若，不为0，则（及）的可能测值为：，0，。1）在的空间，对角化的表象中的矩阵是 求本征矢并令，则， 得，。）取，得，本征矢为，归一化后可得本征矢为。）取，得，本征矢为，归一化后可得本征矢为。）取，得，归一化后可得本征矢为。在态下， 取的振幅为，取的几率为；取的振幅为，相应的几率为； 取的振幅为，相应的几率为。总几率为。2）在的空间，对角化表象中的矩阵 利用 ，。，本征方程 ，。），本征矢为。在态下，测得的振幅为。几率为； ），本征矢为。在态下，测得的振幅为，几率为。），本征矢为，在态下，测得几率为。），本征矢为，在态下，测得的振幅为。几率为； ），本征矢为，在态下，测得的几率为。在态中，测（和）的可能值及几率分别为： 4.16）设属于能级有三个简并态，和，彼此线形独立，但不正交，试利用它们构成一组彼此正交归一的波函数。解： ， ，。是归一化的。， ， 。它们是正交归一的，但仍旧是简并的（可验证：它们仍对应于同一能级）。 4.17）设有矩阵等，证明 ， ， 表示矩阵相应的行列式得值，代表矩阵的对角元素之和。 证：（1）由定义， 故上式可写成：， 其中是的随意一个置换。 （2） （3） （4） （5）