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1、量子力学导论第2章答案其次章 波函数与Schrdinger方程 2.1设质量为的粒子在势场中运动。（a）证明粒子的能量平均值为 ， （能量密度） （b）证明能量守恒公式 （能流密度） 证：（a）粒子的能量平均值为（设已归一化） （1） （势能平均值） （2） 其中的第一项可化为面积分，而在无穷远处归一化的波函数必定为。因此 （3） 结合式（1）、（2）和（3），可知能量密度 （4） 且能量平均值 。（b）由（4）式，得 （ ：几率密度） （定态波函数，几率密度不随时间变更） 所以 。2.2考虑单粒子的Schrdinger方程 （1） 与为实函数。（a）证明粒子的几率（粒子数）不守恒。（b）证明
2、粒子在空间体积内的几率随时间的改变为 证：（a）式（1）取复共轭， 得 （2） （1）-（2）,得 （3） 即 ， 此即几率不守恒的微分表达式。（b）式（3）对空间体积积分，得 上式右边第一项代表单位时间内粒子经过表面进入体积的几率（ ） ，而其次项代表体积中“产生”的几率，这一项表征几率（或粒子数）不守恒。 2.3 设和是Schrdinger方程的两个解，证明 。 证： （1） （2） 取（1）之复共轭： （3） （3）（2）,得 对全空间积分： ，（无穷远边界面上，） 即 。 2.4）设一维自由粒子的初态， 求。 解： 2.5 设一维自由粒子的初态，求。提示：利用积分公式 或 。解：作Fo
3、urier变换： ， ， （） （指数配方） 令 ，则 。 2.6 设一维自由粒子的初态为，证明在足够长时间后， 式中 是的Fourier变换。 提示：利用 。证：依据平面波的时间改变规律 ， ， 随意时刻的波函数为 （1） 当时间足够长后（所谓） ，上式被积函数中的指数函数具有函数的性质，取 ， ， （2） 参照本题的解题提示，即得 （3） （4） 物理意义：在足够长时间后，各不同k值的分波已经相互分别，波群在处的主要成分为，即，强度，因子描述整个波包的扩散，波包强度。设整个波包中最强的动量成分为，即时最大，由（4）式可见，当足够大以后，的最大值出现在处，即处，这表明波包中心处波群的主要成分为。 2.7 写出动量表象中的不含时Schrdinger方程。 解：经典能量方程 。在动量表象中，只要作变换， 所以在动量表象中，Schrdinger为： 。