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1、可编辑第八章自旋8.1)在z表象中，求x的本征态。解：在z表象中，x的矩阵表示为：x 1设x的本征矢（在z表象中）为，则有201001aa 10bbab可得b a及a b1,1。1,则a b;1,则a b利用归一化条件，可求出x的两个本征态为1,1 11 1 1,;11。2 28.2)在z表象中，求n的本征态，nsincos,sinsin,cos是,方向的单位矢.解：在z表象中，的矩阵表示为010i10 x，yz10i001（1）因此，nn xnxynyznznz n inyxnxiny cos inzsinesinei（2）cosa设n的本征函数表示为 b，本征值为，则本征方程为 cossi
2、neian 0，即 0（3）sineicosb由（3）式的系数行列式 0，可解得 1。对于1，代回（3）式，可得nxiny1 nxasineicos2ieb1cosn in1 nsinxyx2归一化本征函数用,表示，通常取为icoscos2e22或1,isinei22sin2e（4）精品文档，欢迎下载可编辑后者形式上更加对称，它和前者相差因子ei2，并无实质差别。若用n的直角坐标分量来表示，可以取为1n 1 nznxiny1或1 n（4）n in21 nzx21 nzyz1如nz 1，二者等价（仅有相因子的差别）。若n 0,0,1，应取前者；若n 0,0,1，应取后者。对于 1,类似地可以求得
3、sina1cosi2ei 1 nx nxiny e bsinnxiny1 nxcos2i2sinsine2或21,iicose22cos2e（5）或1n 1 nz nxiny1（5）1 n或21 nz21 nznxinyz101若n 0,0,1，取1 1;若n 0,0,1，取1 0。8.3)在sz本征态1sz 下，求sx和sy221022。解：sx sx sx22 sx sx2但sx 22，4（常数矩阵）sx011 10 0，1002 2sx 24，类似有sy2 24。8.4)（a）在sz本征态1下，求n的可能测值及相应的几率。（b）同第 2 题，若电子处2于n 1的自旋态下，求的各分量的可能
4、测值及相应的几率以及的平均值。解：（a）利用 8.2）题求得n的本征函数，容易求出：在自旋态1 中，n1的几率为 2021112 cos2211 nz（1）2n 1的几率为精品文档，欢迎下载可编辑2112 sin2211 nz（2）2（b）在自旋态1n1态，z1的几率为2112 cos22211 nz（3）2z 1的几率为：112 sin2211 nz（4）2z或11 nz111 nz1 nz22z cos221sin221 cos22sin22 cos nz（5）考虑到nxnxynyznz，各分量以及n各分量在n的构造中地位对称，所以利用式（3）、（4）、（5），作x,y,z轮换，就可推论出
5、以下各点：x 1的几率为11 nx，（6）2x nx（7）11 ny（8）2y 1的几率为y ny（9）将式（5）、（7）、（9）合并写成矢量形式如下：自旋态1n1中，n（10）类似地，容易算出：自旋态1n 1中，n（11）解二：（a）在z1自旋态1中，n的可能测值为本征值1;设相应的几率为w及w，则2n w1 w1 ww（12）由于nxnxynyznz（13）考虑到在z的本征态中x和y的平均值为0，z的平均值即为其本征值，因此在1态下，2nznz1nz nz cos（14）由式（12）、（14），并利用w w1，就可求出w11 nz，w11nz（15）22此即解一中的式（1）、（2）。精品文
6、档，欢迎下载可编辑（b）在式（14）中，是z轴和n的夹角。z轴和n的选取是任意的。完全可以将原来的z轴作为新的n轴，而原来的n取作新的z轴。由此可知：在n1的自旋态中，z的平均值仍为cos，即nz。再令x,y,z轮换，即得自旋态1n1中，n（10）在1态下各分量的取值大部分当然均为1，其几率也可估照（a）中计算而写出，即11 nx（6）21y 1的几率为1 ny（8）21z 1的几率为1 nz（3，4）2x 1的几率为8.5)证明e8.7）由两个非全同粒子（自旋均为）组成的体系，设粒子间相互作用表为H As1s2（不考虑轨迹运动）。izxei cos2xsin2y（为常数）量z2设初始时刻（t
7、 0）粒子 1 自旋“向上”s1z1 2，粒子 2 自旋“向下”s2z 1 2。求时刻t 0时，(a)粒子 1 自旋向上的几率（答：cos2At 2，取 1）(b)粒子 1 和 2 的自旋向上的几率（答：0）(c)总自旋 s=0 和 1 的几率（答：都是1 2）(d)求和的平均值（答：s1x s1y s2x s2y 0，s1z解：从求体系的自旋波函数入手，由于11。cos At，s2z cos At）22A23H As1s2s（1）22易见总自旋s是守恒量，所以定态波函数可以选为s、sz的共同本征函数，按照总自旋量子数s的不同取值，本征函数和能级为2s 1,1Ms,E1 A 4,（2）s 0,
8、00,E0 3A 4t 0时，体系的自旋态为012因此，t 0时波函数为121000（3）t1210eiE t11200eiE t（4）0精品文档，欢迎下载可编辑即t11212eiAt 411212e3iAt 422AtAt12cosi12sineiAt 4（4）22(a）由式（4）可知，在时刻t，粒子 1 自旋“向上”同时粒子 2 自旋“向下”，相当于12项的几率为cos 2 At。2(b)粒子 1 和 2 自旋均“向上”相应于12，式（4）中没有这种项的几率为0。这是容易理解的。因为总自旋sz为守恒量，而体系初态sz 0，所以任何时刻sz必为 0，不可能出现两个粒子均“向上”sz1的情形。(c)由式（4）可知，总自旋量子数s取1和0的几率相等，各为1 2。由于s守恒，这个几率不随时间改变(d)利用式（4）容易算出s1和s2的平均值为2s1xt s1y s2xt s2y 0,tt1 2At12Ats1ztcossincos At,（5）22221s2zt s1zt cos At。2.精品文档，欢迎下载