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1、第一章量子力学基本概念和一般理论一、量子态矢量的定义是什么。描述微观粒子状态的态矢量力等符号代表一个复矢量，而y+是y的厄密共较矢量或称 “对偶矢量”。用狄拉克符号记为|“，表示波函数2的右矢；力|表示左矢。右矢和左矢是 互相独立的，但存在如下关系：川=(什)o二、请简述线性算符的运算规则和性质。(1) (4+5)|夕+ c(2)(45)|步)=4(司少)。(3)4初三4司一三45-34； 4用三43：三48 + H4,为所规定的对易式。(4)例不助(5)若力= N+,则力称为厄米算符。(6)若由方程能够唯一地解出|力,则可定义算符A的逆算符 为才啊=|以于是火满足二 AA = I若uu+=u
2、+u=i,则U称为幺正算符。00FA=、f An(8) d ”,表示算符A的函数。三、幺正变换的基本性质有哪些。幺正变换具有许多非常有意义的性质。(1)幺正变换下两个态矢量的内积不变。(2)幺正变换下算符方程的形式不变。(3)幺正变换下力学量算符对应的平均值保持不变。(4)幺正变换下算符的行列式不变。(5)幺正变换下算符的本征值谱不变。(6)幺正变换下算符的迹不变。(7)利用上述性质(6)可以给出指数算符函数的一一个有用公式。(8)可以证明，若算符R是厄米算符，即R=R+,则由它所生成的算符U = caR四、时间演化算符u(t , to)的基本性质有哪些。1 .初始条件2 .幺正性3 .S矩阵
3、的幺正性和光学定理0=JK 由=半1m益=:1m。）4 .S矩阵的时间反演对称性（耶恸嘘）=,嘘什旌+）*”网-E三十四、请写出戴逊（Dyson）方程以及玻恩级数的方程式。（7.43）T = U+U!TEs-Hq+ iha式（7.43）称为戴逊（Dyson）方程。它既可以用算符的形式写出，也可以用态的形式给出。 由式（7.20）,进行反复迭代后有*+GE）U嗯）=忆 +G.（及）。匕+G4）UG+（及）。匕 + （7.44）1=匚6（旦）.匕波函数的戴逊方程式（7.44）是玻恩级数，它一直可以做到任意级。它的一级近似就是玻 恩一级近似。第八章形式散射理论三十五、请写出克莱因-高登方程的方程式以
4、及怎么理解负能量的问题。上式即为克莱因-高登方程。在相对论力学中，负能量的出现几乎是不可避免的。在经典力学中，由于粒子的初始能 量为正，运动过程又必须保持能量守恒，因此以后任何时刻，能量也必然为正，不会引起麻 烦。在量子力学中，负能量问题必须另外考虑。因为若有负能级存在，而且按式（8.8）, k越 大，E负得越大。粒子从负的数值小的较高能级向负的数值大的较低能级跃迁，将不断放出 能量。于是体系将不会出现稳定态。这个结果当然是不合理的。三十六、分析一下克莱因-高登方程为什么会出现负概率问题的原因。先分析一下克莱因-高登方程出现负概率问题的原因。由于克菜因-高登方程是对时间的二阶微分方程,九和初始
5、条件必须同时由况Lm决定。而概率流守恒定律或连续性方程是p对时间的一阶微分方程，为使它和克莱因-高登方程一致，p必然依赖于时间的一阶微di/r商。而况人0是任意的，于是就不可避免地出现负概率问题。三十七、为了克服跃迁到负能态的困难，狄拉克提出空穴理论，请简单分析。为了克服跃迁到负能态的困难，狄拉克提出“空穴”理论。假定在真空状态下，所有负 能态都已被电子填满。因此根据泡利不相容原理，在真空中运动的能量为正的电子不可能跃 迁到负能态中去。这种被填满的负能态称为费米海，它只起一个背景的作用。在负能态中的 电子，它的能量和动量是不能观测的。只有从费米海中移去一个或多个电子时，才会产生可 观测的效应。
6、例如，由于某种外来作用，把负能态中的一个电子激发到正能态，从而使得负 能态中出现一个空穴，于是这个空穴就类似于某种具有正能量的东西。三十八、洛伦兹矩阵由哪些重要的性质。对每一个n(n=S, V, T, P, A),均有(厂)2=+1或一1除外，对每一个n,最少一个有Pm,使它满足利用性质(2)和(1),得+rn=_叮厂=+rn（rm）2两边取迹.Trrn =-irrmrnrm = -Trrn）2 = Trrn（rm）2 =o即除s外，所有其余的15个矩阵的阵迹均为零。对给定的a和b(a Wb),总可以找到另一个n,但这个n不是ns,使得rarb =frn式中，AM是一个常数，视a、b、n不同而
7、可能取不同的值丫 5矩阵满足 % = - ； %。九一九七)一仇八-九 )/5 =。三十九、为以后将狄拉克方程写成更方便的协变形式，引入四维坐标的协变和抗 变矢量，第。分量的方程式是什么，以及应满足什么条件。法育=一.2(数+%获+%京(仁+械号”N= Hm(相 应的密度算符可表示成如下矩阵形式，称为密度矩阵。Pn&=(|)|叫=卜帆(。)例讣)=七、请列举混合态密度算符的性质。/?，二。(2) Trp = WpgPk= Z。% = 1。kkL外袅vX以风外=乩入以okkkr-(4)丁卬 2 neg.m佃 i匕历m=e(匕 1%)佃 pm=Er - i%i pj 0n vyi L j第二章量子
8、力学测量问题八、从不同角度，量子测量有不同分类，常见的分类有哪些。(1)一般测量、投影测量和POVM；(2)直接测量和间接测量；(3)完全测量与不完全测量。九、理想测量的三个基本要求是什么。(1)当t=0,即探测体和被测系统相互作用之前，探测体制备在量子态Pp,同时量子客 体制备在Po态。(2)使用仪器测量之前，量子客体和探测体在t=0时开始相互作用，在仁工0时结束作 用。(3)此方法的第三步是，一个经典仪器及在探测体上的测量可以用冯诺依曼投影假设 的理想测量描述。十、什么叫标准量子极限，标准量子极限可以逾越吗?a ahm Ax -=Msql-其中，3s以和s以叫作标准量子极限。标准量子极限可
9、以逾越吗?答案是肯定的。在得到这个极限时用了不确定关系，但是二 者是不相同的。标准量子极限的具体数值依赖于量子态，与如何测量有关，而不确定关系是 底线。那么，在遵守不确定性原理的前提下如何使测量精度超越标准量子极限呢？目前有两 种思路：一种是以牺牲共辄量一方为代价，去求得另一方的超精度测量，这即是压缩态的思 想；另一种就是量子非破坏性测量(QuantumNon-DemolitionMeasurement, QND测量)。十一、什么是量子Zeno效应，在对量子系统进行连续测量时，测量设备一般以 两种不同的方式反作用于量子系统，请简单描述。量子Zen。效应是纯量子测量效应。理论和实验都已经表明，频
10、繁的测量能阻止不稳定 量子系统的衰变或跃迁。极端而言，连续进行的量子测量将使不稳定的量子系统稳定地保持 在其初态上，这种不稳定初态的存活概率在连续测量下将成为百分之百，这就是量子Zeno 效应。这种在古代哲学中提到的“飞矢不动”的佯谬，在量子系统中真的可以实现。在对量子系统进行连续测量时，测量设备一般以两种不同的方式反作用于量子系统。其 一，它可以影响被测量的可观测值的期望值的演化。这被称为“动力学反作用”，这种影响 是可以预测的。其二，测量设备以随机的方式扰动这个可观测量，增加它们的不确定性，从 而造成对期.望值的随机偏离。第一种情况可以通过构造合适的测量设备来加以避免；而第 二种作用是基本
11、的、无法去除的。第三章二次量子化方法十二、什么是二次量子化方法。二次量子化方法是研究全同粒子组成的多粒子体系的一种常用方法，是现代多体理论及 场论的基础。众所周知，对于单粒子体系，不存在粒子交换问题，粒子的性质在不考虑自旋 时由坐标算符x(为简单起见，此处只写出一维)和动量算符p构成一对正则共辗量，它们的 对易关系比，p=法定义了单粒子量子力学。但是在多粒子体系中，由于粒子不止一个， 体系的性质当然不能再由一个粒子的坐标算符和动量算符描述。十三、谐振子相干态的定义以及表达式是什么。历史上最早定义的相干态为谐振子相干态，它是谐振子的一些量子力学状态，处于这些 态中的粒子按量子力学规律运动，与在同
12、一势场中具有相同能量的经典粒子的简谐运动最为 接近。为简单起见，我们讨论一维运动。经典谐振子的运动规律x(t)与其能量表达式为xc(0 = x0 COS(次 + (p)十四、相干态的基本性质有哪些？(1)声子数不确定，且呈泊松分布。(2)具有最小不确定性。(3)不具有正交性，但仍可归一化。(4)具有完全性，形成完全集。十五、压缩算符定义即它的性质。首先定义如下压缩算符： S(z) = exp它具有如下性质：ST(z) = S(-z) = S+(z)十六、请阐述二次量子化方法共有两条规定。(1)将普通场量函数替换为非对易的场算符。替换的主要内容就是规定对易规则。(2)维持原来方程形式不变，只将原
13、来的普通函数替换成场算符。对薛定谓方程可以严格证明，这种二次量子化程式正是将单粒子薛定娉方程转化为该粒子全同多粒子薛定谓方程的方法。十七、全同粒子系统的算符通常可以分为几种类型。N(1)单体算符，如式(3.103)中的第一部分T,其中每一项仅仅涉及单个粒子的运动特征；2?(的)(2)两体算符，如式(3.103)中的第二部分,这是多体系统中的两体相互作用 能部分，涉及两个粒子的相对运动特征。(3)多体算符，这类和式中的算符每一项都涉及三个或更多粒子的运动特征，这类算符 并不常见。第四章辐射场的量子化及其与物质的相互作用十八、经典电动力学中给出的电磁场能量密度和总能量公式分别是什么。电磁场能量密度
14、场的总能量公式为十九、什么是JC模型？我们得到频率为v的单模量子化场与-一个两能级原子相互作用的系统的哈密顿算符为H = Hq+Hi(4.47)其中，Hq= hva a+ hcocr7Hx = Tig(ya + a+rr_)式(4.47)称作Jaynes-Cummings哈密顿量，相应的模型称作JC模型。二十、用哪三种方法求解JC模型。1 .概率幅方法2 .海森伯算符方法3 .幺正时间演化算符方法、经典电磁场转化为量子场的算符有几种方法。(1)考虑光子是玻色子，所以取如下同时性对易关系：4心)4(心切=。的(),=04(中),弓./=洗为贫不一尸)(2)在前面建立的自由电磁场量子化理论的基础上
15、，现在进一步将场算符分解为简正模 式。第五章开放量子系统动力学二十二、量子理论在哪些方面有重大的改变和发展。统所做的局部观测和统计性研究，导致量子理论在以下三个方面的重大改变和发展：其 一，产生了不同于纯态的混态概念；其二，混态的演化不再像纯态遵守幺正和可逆的薛定谤 方程，而是遵守一般是非幺正和不可逆的“主方程”；其三，测量过程一般不再是正交投影， 而是非正交投影。二十三、开放系统动力学的定义，总哈密顿量的公式是什么。一般来说，开放系统是指一个量子系统S耦合到另一一个称作环境的量子系统B的系 统。因此，它是复合系统S+B的子系统。多数情况下假设复合系统是封闭的，遵循哈密顿 动力学，然而，子系统
16、s的状态将随其内部动力学和与环境的相互作用而改变。相互作用导 致某种系统一一环境关联，以致一般情况下，s态的变化下不再是幺正的、哈密顿动力学的 变化，子系统S的动力学由总系统哈密顿演化驱动常称作约化系统动力学，并且S也被称 作约化系统。设Hs是系统的希尔伯特空间，Hg是环境的希尔伯特空间。总系统S+B的希尔伯特空 间由张量积 =艺b表示。总哈密顿量H(t)为二十四、马尔科夫量子主方程怎么写如果量子动力学半群存在，在某种数学条件下(见下面)，一个线性映射L,即半群的生 成元，可以表示成如下指数形式：V (t)= exp(Zf)由此，立刻可以得到开放系统约化密度矩阵的一阶微分方程上式方程式叫作马尔
17、科夫量子主方程。二十五、借助本征算符的性质可以得到的近似有哪些。第一个近似是弱耦合假设，这个假设允许将精确的运动方程展开到密度矩阵二阶项，结 合条件夕()“马(。夕导致对主方程的玻恩近似。第二个近似是马尔科夫近似，将密 度矩阵Ps用当前时刻的密度矩阵Ps代替。再者，将积分限推至无穷大得到主方程的玻恩 -马尔科夫近似。玻恩-马尔科夫近似相关的物理条件是，系统和库的关联时间TB比系统的弛 豫时间TR小很多，即句口。最后，在旋波近似中，对于比例于expu3-。)，的快速振 荡项中的力工0部分可忽略，这使得量子主方程为Lindblad形式。相应的物理条件是，问 题中涉及频率差的倒数6 T o-)。第六
18、章开放系统退相干二十六、请简单说明库系统的优点。这个模型的优点是：一方面，它显示出了退相干的几个重要特性；另一方面，它又足够 简单并精确可解。正如下面将要看到的，模型以最纯粹的形式显示退相干，也就是没有布居 衰减的量子相千破坏。二十七、根据退相干函数分析三个时间不同的函数。(1)短时间范围，在这个范围内，的值随时间t的平方增加(2)真空范围这里，退相干函数可以近似地写为q -InCf(3)热范围。这个范围也可以称作马尔科夫范围，因为退相干函数的数值随时间 线性增加，有r(t) -%二十八、对粒子散射的两种限度情况进行分析讨论。首先，假设的左0Ax其中ko是散射粒子的典型波数。表达式(6.106
19、)中指数平均为 零，由此得到尸卬睥(可倒2 =脚术)=yseatt式中，。出)是总横截面，Yseatt是总散射率，类似于两个内部能级转换引起的退相干, 散射引起的退相干饱和于大的距离*,并且以等于总散射率的比率发生。退相干函数的饱 和容易被获知：对于左0Ax散射粒子的波长小于距离aX。因此，一个单个的散射反应 对定位客体系统即已提供了充足的信息。进一步增加不可能增强这个信息。其次，对于小距离，岛人1,我们发现引入球坐标以至于d2 = dcos6de，dildcos/dd 则有F(x - xr) 16kl )b哂(k)k2 (x - m)2式中。啕（k） = j （cos 0 - cos 夕）2
20、1/（必倒2上式被视为有效横截面二十九、简单描述原子与腔场模相互作用实验的基本思想。首先，让我们简单描述实验的基本思想。第一个谐振器Ri用来制备原子在状态|e和g 的某个叠加态。初始时刻，腔C包含一个较小的相干态|a。正像下面将要说明的，原子和 腔C中的场相互作用有效地驱动场态的相移土（p,其中的符号由原子态诱发。因此，第一个 原子Ai和腔C中的场相互作用导致两个原子态和两个相分量|aexp（土i（p）|之间的纠缠。第二 个谐振器R2驱动Ai状态的进一步混合，以至于在场发射探测器4和5驱动中原子态最终 测量不给出任何有关态的信息。结果，A上的状态测量投影C中的场在一个两相分量的薛 定诱猫型叠加
21、态上，两相分量在复平面上被2（p分开。忽略瞬时场阻尼、归一化因子及再相 因子，这个态实质上取如下形式：.三十、指针基的动力学选择与正统的量子力学解释矛盾吗？为什么吗？并不矛盾，必须认识到，上面讨论的问题与正统的量子力学解释并不矛盾。因为它只有 在人们拒绝对仪器的可观测量给出肯定的决定和拒绝应用约化假设的时候才会有上面的讨 论结果。然而，情况还是有些不能令，人满意，因为按照日常经验，如果一个测量设备被设 计出来用于测量某物理量，如动量，则它只能测量动量，而不能测量位置。测量系统可观测 量的这种模糊性明显是由于系统一仪器相互作用不固定在仪器的希尔伯特空间Hm（或某个 子空间）唯一的基矢|M上。这种
22、模糊性，只有对于某些原因，当一个具体基矢被挑出，即只有一一个具体的物理量（或是它的某个函数）可能在M上被测量，才有可能避免。系统可观测量6由仪器测量，然而却由对应的相关态|Sn集合确定。第七章形式散射理论三十一、T矩阵的方程式以及怎么用T矩阵求跃迁率。完成式(7.10)的积分并令to-8后得T%（一 + ia）当rWs时为2（叱+&2）按照上述方式定义的矩阵T称为跃迁矩阵。式(7.12)表示，一旦求出T矩阵，就可以给 出跃迁概率。由式(7.12)得到，从s态到r态的跃迁速率为三十二、什么是S矩阵，应满足什么条件。为了使散射理论的公式具有更明显的对称性，在量子力学和量子场论中用得更多的是散 射矩
23、阵，或称S矩阵。下面将看到：S矩阵和T矩阵一对应，实质上是完全一样的，不过是 换了一种对称更明显的表述方式。由于8F)是完备系，可以将年按”)展开,有“+)=%(756)式(7.56)的右端不包含分立的束缚态，因为这些态都和犷g正交。由散射态的正交归一 条件得%=(必-)|靖)矩阵S称为散射矩阵或简称S矩阵。三十三、S矩阵具有下述性质有哪些。LS矩阵具有幺正性，满足2；,%=松或2%号”=% nn2.S矩阵和演化算符的关系S = U(gF)(7.75)式(7.75)表示，S矩阵对应的算符等于体系从t-8开始，经散射后，演化到t-+8的 演化算符。算符S称为幺正散射算符。它的矩阵元Srq表示若体系在tf-8时处在无微扰的 本征态巾q,则经过散射和相互作用后，在t一+ 8时体系处在心态的概率振幅。S矩阵与体 系的性质、体系的哈密顿算符有关，因为演化算符U决定于体系的哈密顿算符H。QO3.S矩阵的转动不变性和分波法+ l)e sin SR (cos 0)