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1、 1 送教下乡 勾股定理的应用-最值问题 一、教学目标：1、知识与技能目标：能运用勾股定理及直角三角形的判别条件（即勾股定理的逆定理）解决简单的实际问题。2、过程与方法目标：学会观察图形，勇于探索图形间的关系，培养学生的空间观念；在将实际问题抽象成几何图形过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想。3、情感与态度目标：通过有趣的问题提高学习数学的兴趣；在解决 实际问题的过程中，体验数学学习的实用性，体现人人都学有用的数学。二、学情分析：学生上节课探究了勾股定理在数轴上表示无理数的应用，又有了两点之间，线段最短；长方体和圆柱的侧面展开图；同侧和异侧的最短路径问题；勾股定理内容的知识
2、储备。为本节课探究平面内及立体图形上的最短路径做了铺垫。三、教学重点：探索、发现给定事物中隐含的勾股定理及其逆定理，并用它们解决生活实际问题。四、教学难点：利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题。五、前置性作业：见前置作业 word 六、教学准备：纸板做的长方体，幻灯片。七、教学过程：（一）、微课展示 师：上节课我们探究了勾股定理在数轴上表示无理数的应用，这节课我们继续探究勾股定理的另一个应用-解决最值问题。为了同学们高效地利用本节课堂，我们先来看看几位同学带来的知识回顾。播放微课视频（及时肯定学生，提出表扬）微课内容：1、两点之间，线段最短；2、长方体和圆柱的
3、侧面展开图；3、同侧和异侧的最短路径问题；4、勾股定理内容。（二）、小组交流（先学后教）2 师：有了以上知识的储备，那勾股定理在解决平面内最值问题中到底如何应用的呢？小组内交流探究一（师板书：平面图形）探究一：如图,已知点 A(0,3),B(4,4),P 是 x 轴上一个动点,则PA+PB 的最小值等于多少？预设：1、作法 1：学生过点 A 作 x 轴的对称点 A交 x 轴于点 P，连接 AB，则 AB 即为所求，再构造直角三角形解出 AB。2、作法 2：学生过点 B 作 x 轴的对称点 B交 x 轴于点 P，连接AB，则AB即为所求，再构造直角三角形解出AB。3、每种作法下构造直角三角形又有
4、不同的方式。4、本探究关键点在于不断追问学生为什么 PA+PB 的最小值是谁？为什么？（三）、全班汇报 1、小组汇报作法 1，师追问为什么 PA+PB 的最小值是 AB？师可在 x 轴上任意给个点 P，追问学生为什么 P不能使 PA+PB 取得最小值？学生可从两个角度解决这个问题：在三角形中，两边之和大于第三边；已经确定了两点 A、B，根据“两点之间，线段最短”，故点 P 为所求。2、小组汇报作法 2 3、归纳总结：本题利用对称：将两条线段的和转化到一条直线上，运用两点之间线段最短求最小值。（四）、小组再次交流 师：平面内的最值问题大家可以用勾股定理解决，那立体几何中的最值问题该如何解决呢，小
5、组内讨论交流探究二。探究二：如图,一只蚂蚁沿着长为 3cm，宽为 1cm，高为 6cm 的长方体表面从顶点 A 爬到顶点 C1，则它走过的路程最短为多少？预设：1、学生可能会沿着棱从 A 点可以到达 C1后，计算这种情况下的距B1 A1 D1 C1 C B A D 3cm 1cm 6cm 3 离。2、小蚂蚁可能沿着前侧面的对角线 AB1走，然后再沿着棱 B1C1到达C1；3、两点 A、C1已经确定，但这两点所在的平面不在同一平面内，故需要把这两个平面转化到同一个平面内，通过尝试，生发现有三种不同的展开方式，即前侧面和右侧面，前侧面和上底面，左侧面和上底面。通过计算每种方式下的 A C1，确定对
6、比最后的最短距离。（五）、全班再次交流汇报 1、立体几何两点间的最短路径问题要转化为同一平面，根据“两点之间，线段最短”，由于长方体三边不同，故会有三种不同的距离：前右：用勾股定理求得 AC1=2+12=(1+3)2+62=52 前上：用勾股定理求得 AC1=2+12=32+(6+1)2=58 A1A B C C1 B1 B A A1B1 C1 D1 4 左上：用勾股定理求得 AC1=2+12=12+(6+3)2=82 对比三种不同方式求得的距离，得：52 58 82 可知：蚂蚁从 A 点爬行到 C1的最短距离为52cm。2.方法总结：解决几何体表面上两点之间的最短距离问题的关键是要设法把立体
7、图形转化为平面图形。具体步骤为：把立体图形转化为平面图形；确定点的位置；构建直角三角形；分析直角三角形的边长，用勾股定理求解。（六）、好题分享（七）、课堂小结：1、体现了哪些数学思想？2、学习到了哪些好的经验和数学方法？板书设计：勾股定理的应用-最短路径 平面图形 实际问题 转化 立体图形 数学建模 D A A1D1 C1 B1 5 教学反思：1、本节课上我不断追问学生最小值是谁？为什么？并充分调动学生积极性，发现学生的闪光点，就把课堂还给学生，引发学生思维的交锋；2、不足：平面内的最值问题用的时间偏多，应压缩，重点应放在立体图形的最值问题上；PPT 出示归纳总结的时候，应给学生足够的时间让学生消化吸收