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1、 第一讲 集合的概念与运算【考点透视】1理解集合、子集、补集、交集、并集的概念 了解空集和全集的意义.3了解属于、包含、相等关系的意义掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合 4.解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念,特别是集合中元素的三要素;对于用描述法给出的集合P,要紧紧抓住竖线前面的代表元素以及它所具有的性质；要重视发挥图示法的作用，通过数形结合直观地解决问题 5注意空集的特殊性,在解题中,若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性,如AB,则有A或A两种可能，此时应分类讨论.【例题解析】题型.正确理解和运用集合概念 理解集合的概念,正确应用集合的性质是解此类题目的关键
2、 例 1已知集合 My|y=2+1,xR,N=y|y=x+1，x,则 MN（）（,1)，（1,2)B.(0，1),(1,）Cy|y=,或 y=Dyy1 思路启迪：集合 M、N 是用描述法表示的,元素是实数 y 而不是实数对(x,y），因此 M、N 分别表示函数 y=2()，y=+(xR)的值域,求N 即求两函数值域的交集.解：My|y=21,xRy1，Ny|=x1，xR=y|yR MN=y1|yR=y|1,应选 点评:本题求 M，经常发生解方程组21,1.yxyx0,1,xy得 1,2.xy或 从而选 B 的错误,这是由于在集合概念的理解上，仅注意了构成集合元素的共同属性,而忽视了集合的元素是
3、什么.事实上 M、的元素是数而不是点,因此 M、是数集而不是点集集合是由元素构成的,认识集合要从认识元素开始，要注意区分x|y=x2+1、|yx+1,xR、(x,y）|y=x1,x，这三个集合是不同的.例若=yy=x2,xR,=y|y=x21,xR，则 PQ 等于(）A.Q C.D不知道 思路启迪:类似上题知集合是 y=x2(xR）的值域集合，同样 Q 集合是=x2(xR)的值域集合，这样 PQ 意义就明确了 解：事实上，P、Q 中的代表元素都是 y,它们分别表示函数x2,y=x2+1 的值域,由y|y,Q=y|y1，知P，即 PQ=Q应选.例 3 若 Py|y=x2，xR,Q=(,y)|y=
4、2,R,则必有（)APQ B.C=D.P Q 思路启迪：有的同学一接触此题马上得到结论 P=,这是由于他们仅仅看到两集合中的 yx2,xR 相同，而没有注意到构成两个集合的元素是不同的,P 集合是函数值域集合,集合是 y=x2,xR 上的点的集合，代表元素根本不是同一类事物.解：正确解法应为：P 表示函数 y=2的值域,表示抛物线 y=x上的点组成的点集,因此 PQ应选 A.例 4 若032|1|22xxxBxxA，,则BA=(）A 3B C D1 思路启迪:|1,1|1,3,1.Ax xxBx xxAB ，解:应选 D 点评:解此类题应先确定已知集合 题型 2集合元素的互异性 集合元素的互异
5、性，是集合的重要属性,教学实践告诉我们,集合中元素的互异性常常被学生在解题中忽略,从而导致解题的失败,下面再结合例题进一步讲解以期强化对集合元素互异性的认识.例 5.若=，4,a32a2a+,B,a,a2a2,-12（a2-3a-8),a3a23a+7，且 AB=2,5，则实数a的值是_.解答启迪:=2,5，a32a2a+75，由此求得a2 或a=A=，4,5,集合 B 中的元素是什么，它是否满足元素的互异性，有待于进一步考查.当a=1 时，a2-2a+2=1,与元素的互异性相违背,故应舍去a=1 当a=-1 时，B=1，,，2，4，与 AB=2，5相矛盾，故又舍去a=1 当a2 时,A2,4
6、,5,B=1,3,2,2，此时 AB=2，满足题设.故a=2 为所求 例 6.已知集合 Aa,a+b,a2b,B=a，a,a2.若=B,则的值是_.思路启迪:要解决 c 的求值问题,关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式 解：分两种情况进行讨论 （1)若ab=ac 且a2ba2，消去 b 得：a+ac22a=,a=0 时,集合 B 中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故a.c0，即 c=1,但 c=1 时，B 中的三元素又相同,此时无解（)若ab=ac2且a2bac，消去得：2ac2ac-a0,a0，2c10，即（c-)
7、(2c1)=0,又 c1，故=-12 点评:解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解,这需要解题后进行检验和修正.例.已知集合 A=x|23x2=0,B=x|2-ax+a1=,且 AB=,则a的值为_ 思路启迪:由=ABA而推出 B 有四种可能,进而求出a的值.解:A=A,BA A=,2，B=或 B=或 B=2或 B=，2 若 B=,则令0 得aR 且a，把 x1 代入方程得a,把 x=代入方程得a=3.综上a的值为或 3 点评:本题不能直接写出=1,a-1,因为a-1 可能等于，与集合元素的互异性矛盾,另外还要考虑到集合 B 有可能是空集，还有可能是单元素集的情况 题型 3要注意掌握好证
8、明、判断两集合关系的方法 集合与集合之间的关系问题，是我们解答数学问题过程中经常遇到，并且必须解决的问题,因此应予以重视反映集合与集合关系的一系列概念，都是用元素与集合的关系来定义的.因此,在证明（判断)两集合的关系时,应回到元素与集合的关系中去 例 8.设集合=a|a=3n+,nZ,集合|k-1,kZ,则集合 A、B 的关系是_.解：任设aA，则a=3n3(n+)-(Z)，nZ，+Z.aB,故AB 又任设 b,则 b3-1=3(k)2（Z)，kZ,k1Z.bA，故BA 由、知 A=B.点评：这里说明aB 或 bA 的过程中，关键是先要变(或凑）出形式，然后再推理.例若、B、为三个集合，CBB
9、A，则一定有（).CA B.AC C.CA D.A 考查目的本题主要考查集合间关系的运算.解:由ABBC知，,ABB ABCABC,故选 A.例 1.设集合1,2A,则满足1,2,3AB的集合 B 的个数是(）1 B.C 4 D 考查目的 本题考查了并集运算以及集合的子集个数问题,同时考查了等价转化思想.解:1,2A，1,2,3AB，则集合 B 中必含有元素，即此题可转化为求集合1,2A 的子集个数问题,所以满足题目条件的集合 B 共有224个.故选 C.例 11.记关于x的不等式01xax的解集为P，不等式11x 的解集为Q.（I)若3a，求P；(II）若QP，求正数a的取值范围.思路启迪：先解不等式求得集合P和Q.解：(I）由301xx，得13Pxx