《高中数学中集合的概念与运算的解题归纳.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学中集合的概念与运算的解题归纳.docx（12页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - - 1.1 集合的概念与运算一、学问导学1. 集合：一般的，肯定范畴内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合2. 元素：集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元3. 子集：假如集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素（如 a A 就 a B ），就称集合 A 为集合 B 的子集，记为A B 或 B A ; 假如 A B, 并且 A B, 这时集合 A 称为集合B 的真子集，记为*B 或 B4 A.4. 集合的相等：假如集合A B 同时满意 A B 、B A 贝 U A=B.5. 补集：设 A S, 由
2、S 中不属于 A 的全部元素组成的集合称为S 的子集 A 的补集，记为 CsA .6. 全集：假如集合S 包含所要争论的各个集合，这时S 可以看做一个全集，全集通常记作 U.7. 交集：一般的，由全部属于集合A 且属于 B 的元素构成的集合，称为A 与 B 的交集 ,记作 A B.8. 并集：一般的，由全部属于集合A 或者属于 B 的元素构成的集合，称为A 与 B 的并集，记作 A B.9. 空集：不含任何元素的集合称为空集，记作10. 有限集：含有有限个元素的集合称为有限集11. 无限集：含有无限个元素的集合称为无限集.12. 集合的常用表示方法：列举法、描述法、图示法（Venn 图） .1
3、3. 常用数集的记法：自然数集记作N, 正整数集记作2 或 N *，整数集记作Z, 有理数集记作 Q 实数集记作R.二、疑难学问导析可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1.符号，乂，二其中“”包括“右”和“, 亠， =, 表示集合与集合之间的关系，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结两种情形，同样“”包括“”和“ =”两种情形 .符号，表示元素与集合之间的关系要留意两类不同符号的区分.2. 在判定给定对象能否构成集合时，特殊要留意它的 确定性”，在表示一个集合时，要特殊注意它的“互异性”、“无序性”3. 在集合运算中必需留意组成集合的元素应具备的性质4. 对由条件给出的
4、集合要明白它所表示的意义，即元素指什么，是什么范畴. 用集合表示不等式（组）的解集时，要留意辨论是交集仍是并集，结合数轴或文氏图的直观性帮忙思维判定. 空集是任何集合的子集，但由于不好用文氏图形表示，简单被忽视，如在关系式 中， B= 易漏掉的情形 .5. 如集合中的元素是用坐标形式表示的，要留意满意条件的点构成的图形是什么，用数形结合法解之 .6. 如集合中含有参数，须对参数进行分类争论，争论时既不重复又不遗漏7. 在集合运算过程中要借助数轴、直角坐标平面、Venn 图等将有关集合直观的表示出8. 要留意集合与方程、函数、不等式、三角、几何等学问的亲密联系与综合使用可编辑资料 - - - 欢
5、迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -9.全部真子集个数为：含有 n 个元素的集合的全部子集个数为：2n-1三、经典例题导讲例 1已知集合M= y|y=x2+1,x.R,N=y|y = x + 1,x .R ，贝 U MA N= 2n，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A.0,1,1 ,2C. y|y=1, 或 y=2D错解：求 MAN 及解方程组B . 0
6、, 1,1,2. y|y 1y x 1 如 x亠 x 1”y得或.选 By x 1y 1y 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结错因：在集合概念的懂得上，仅留意了构成集合兀素的共冋属性，而忽视了集合的兀素是什么 .事实上M N 的元素是数而不是实数对 x,y ，因此 M N 是数集而不是点集，2M N 分别表示函数y=x + 1x .R ,y=x + 1x .R的值域，求MAN即求两函数值域的交集.2正解： M= y| y=x + 1,x .R= y| y 1,N=y|y=x+ 1,x .R=y|y .R. MAN= y|y 1Ay|y .R= y|y 1,二应选D.注：集合是由
7、元素构成的，熟悉集合要从熟悉元素开头，要留意区分 x| y=x 2+ 1 、y|y=x22+ 1, x.R、 x, y| y= x + 1, x .R，这三个集合是不同的. 例 2已知A= x|x2 3x + 2=0,B=x| ax-2=0 且 AUB=A 求 实数a 组成的集合C. 错解：由 x2 3x + 2=0 得 x=1 或 2.当 x=1 时， a =2,当 x=2 时， a=1 .错因：上述解答只留意了B 为非空集合，实际上，B= 时，仍满意 A UB=A当 a=0 时， B= ，符合题设，应补上，故正确答案为C=0 ,1,2 .正解： . AUB=A . B= A 又 A= x|
8、 x2 3x + 2=0=1,2. B= 或 1 或 2. C=0 ,1,2例 3已知 m A, nB, 且集合 A= x | x2a,a Z,B= x|x2a 1, a Z ，又C= x | x 4a1,a Z，就有： A. m+nAB.n+n B C. n +n CD.n+n 不属于 A, B ,C 中任意一个错解： Tm A,.m= 2a, a Z ,同理 n =2a +1, a Z, . m+n=4 a+1, 应选C错因是上述解法缩小了n+ n 的取值范畴 .正解： T m A, .设 m=2 a 1, a1 Z, 又 T n B , . n=2 a2+1, a2Z ,. n +n=2
9、 a 1+a 2 +1, 而 a1 +a2 Z , . n+n B, 应选B.例 4 已知集合A=x|x 2 3x 10 W0, 集 合 B=x|p + 1 x 2p 1 . 如 荃 A 求 实 数 p的取值范畴 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -错解：由x2 3x 10 0得一 2 XW5.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结
10、欲使 8= A , 只须2 p 12p 1 5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结. p的取值范畴是一32.由 B 二 A 得 ： 2wp+ 1 且 2p 1w5.由3wpw3.2wp2p 1 二: pv2.由、得： pw3.点评：从以上解答应看到：解决有关AnB 二、 AUB=t , 心 B 等集合问题易忽视空集的情形而显现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度注视问题.例 5已知集合A=a,a + b,a + 2b ,B=a,ac,ac2. 如 A=B, 求 c 的值.分析：要解决c 的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应依据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定
11、性、互异性，无序性建立关系式.解：分两种情形进行争论.(1) 如 a+ b=ac 且 a+ 2b=ac ， 消去b 得 ： a+ ac 2ac=0 ,a=0 时，集合 B 中的三元素均为零，和元素的互异性相冲突，故0.c 2 2c+仁 0, 即 c=1 ，但 c=1 时， B 中的三元素又相同，此时无解.(2) 如 a+ b=ac 且 a+ 2b=ac , 消 去 b 得 ： 2ac ac a=0,2-aM0,. 2c c仁 0,1即c 12c + 1=0 ，又 CM 1 , 故 c= 2点评：解决集合相等的问题易产生与互异性相冲突的增解，这需要解题后进行检验.1例 6设 A 是实数集，满意如
12、a.A, 就 A, a 1 且 1 A.1 a如 2.A,就 A 中至少仍有几个元素？求出这几个元素.A 能否为单元素集合？请说明理由.1如 a.A,证明： 1.A.a求证：集合A 中至少含有三个不同的元素解： 2.A 1 .A1.A2. A 中至少仍有两个兀素：一1 1 和丄2假如 A 为单元素集合，就a=-1 a该方程无实数解，故在实数范畴内，A 不行能是单元素集可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word
13、精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -即 a2 a 1 = 0该方程无实数解，故在实数范畴内，A 不行能是单元素集可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -111 a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 a.A1 a.A.A11 -1 a1 11 a 1A,a，1即 1 .Aa1 1可编辑资料 - - - 欢迎下载
14、精品名师归纳总结由知 a.A t 时，.A,1 .A. 现在证明-,三数互不相等可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1如 a= 11 aaa 1 a,即 a2-a+1=0 ，方程无解，.1a 工可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 2 11 a1 a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 a=1 ，即 a-a+1=0 ，方程无解二a 丰 1 aa1111如 1 _ = - -，即 a2-a+ 仁 0 , 方程无解 .1 工.a 1 aa 1 a综上所述，集合A 中至少有三个不同的元素.点评：的证明中要说明三个数互不相等，否就证明欠严谨例7设集合A= a |
15、 a = n2 1, n .N+, 集合B= b | b=k2 4k 5 , k .N+ ，试证 :AB.证明：任设 a .A,2 2 +贝 Ua = n 1 = n +2 4 n +2 +5 n .N,./ n.N*, .n + 2.N*.a.B故。二 -明显， 1 A a | a n 1, n N，而由B= b |b = k2 4k 5 , k .N+= b| b=k 2 2 1 , k . 知 1.B, 于是 AB由、得 gB.点评： 1 判定集合间的关系，其基本方法是归结为判定元素与集合之间关系. 2 判定两集合相等，主要是依据集合相等的定义.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归
16、纳总结四、典型习题导练1. 集合 A=x|x子集的个数为2 23x 10 W0,x.Z ,B=x|2xx60, x. Z，贝 yAnB 的非空真可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A .16B.14 C15D. 32可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 . 数集 1 ,2,2x 3中的 x 不能取的数值的集合是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A.2 ,-2B. 2,5 C. 2, 5D. 5 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3.如 P=y|y=x2,x .R ,Q=y|y=x2+ 1,x .R ，就pnQ等于 可编辑资料 - - -
17、欢迎下载精品名师归纳总结A. P B .Q C .D. 不知道4.如 P=y|y=x2,x .R ,Q=x ,y|y=x 2,x .R, 就必有 A.PnQ= B . 旷 Q C .P=QD.Q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -1 25 .如集合M= x |1 ,N = x | x X， 就 M N =XAx|1x1B .x|x 1C.x|1
18、xD .6.已知集合A=x|x 2 + m + 2x + 1=,x .R ，如 A AR+斗，就实数m 的取值范畴是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7. 6 高考全国 II 卷 设 a R ，函数 fx ax 2 2x 2a. 如 fx的解集为A，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结B x |1 x 3 ,AI B，求实数 a 的取值范畴。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结8. 已知集合A= x | x 2 ax 12b和 B= x | x 2 ax b满足可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结CI A AB= 2 ,AAC I B= 4 ,I= R, 求实数a,b 的值 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载