《2022年高中数学中集合的概念与运算的解题归纳,推荐文档 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高中数学中集合的概念与运算的解题归纳,推荐文档 .pdf（5页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、1.1 集合的概念与运算一、知识导学1. 集合：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合. 2. 元素：集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元. 3. 子集：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素（若Aa则Ba），则称集合 A为集合 B的子集，记为AB或 BA；如果 AB，并且 AB，这时集合A称为集合B的真子集，记为AB或 BA. 4. 集合的相等：如果集合A、B同时满足 AB、BA ，则 A=B. 5. 补集：设 AS，由 S中不属于 A的所有元素组成的集合称为S的子集 A的补集，记为ACs. 6. 全集：如果集合S包含所要研究的各个集合，这时S可以看做一个全集，全
2、集通常记作 U. 7. 交集：一般地，由所有属于集合A且属于 B的元素构成的集合，称为A与 B的交集，记作 AB. 8. 并集：一般地，由所有属于集合A或者属于 B的元素构成的集合，称为A与 B的并集，记作AB. 9. 空集：不含任何元素的集合称为空集，记作. 10. 有限集：含有有限个元素的集合称为有限集. 11. 无限集：含有无限个元素的集合称为无限集.12. 集合的常用表示方法：列举法、描述法、图示法（Venn图） . 13. 常用数集的记法：自然数集记作N，正整数集记作N+或 N*，整数集记作Z，有理数集记作 Q ，实数集记作R. 二、疑难知识导析1. 符号，=，表示集合与集合之间的关
3、系，其中“”包括“”和“ =”两种情况，同样“”包括“”和“=”两种情况 . 符号，表示元素与集合之间的关系.要注意两类不同符号的区别. 2. 在判断给定对象能否构成集合时，特别要注意它的“确定性”，在表示一个集合时，要特别注意它的“互异性”、“无序性”. 3. 在集合运算中必须注意组成集合的元素应具备的性质. 4. 对由条件给出的集合要明白它所表示的意义，即元素指什么， 是什么范围 用集合表示不等式（组） 的解集时， 要注意分辨是交集还是并集，结合数轴或文氏图的直观性帮助思维判断空集是任何集合的子集，但因为不好用文氏图形表示，容易被忽视，如在关系式中，B=易漏掉的情况 .5. 若集合中的元素
4、是用坐标形式表示的，要注意满足条件的点构成的图形是什么，用数形结合法解之 . 6. 若集合中含有参数，须对参数进行分类讨论，讨论时既不重复又不遗漏. 7. 在集合运算过程中要借助数轴、直角坐标平面、Venn图等将有关集合直观地表示出来. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - 8. 要注意集合与方程、函数、不等式、三角、几何等知识的密切联系与综合使用. 9. 含有 n 个元素的集合的所有子集个数为：n2，所有真子集个数为
5、：n2-1三、经典例题导讲 例 1已知集合 M=y|y =x21,x R,N=y|y =x1,x R，则 M N= （）A（ 0，1），（ 1，2） B （0，1），（ 1，2） Cy|y=1,或 y=2 Dy|y 1错解 ：求 M N 及解方程组112xyxy得10yx或21yx选 B 错因 ：在集合概念的理解上，仅注意了构成集合元素的共同属性，而忽视了集合的元素是什么事实上M 、N的元素是数而不是实数对(x,y) ，因此 M 、N是数集而不是点集, M 、N分别表示函数y=x21(x R) ，y=x1(x R) 的值域，求M N 即求两函数值域的交集正解 ：M=y|y=x21,x R=y|
6、y1， N=y|y=x1,x R=y|y R M N=y|y1y|(y R)=y|y1,应选 D注： 集合是由元素构成的， 认识集合要从认识元素开始，要注意区分 x|y=x21 、 y|y=x21,xR、 (x,y)|y=x21,xR ，这三个集合是不同的例 2已知 A=x|x23x2=0,B=x|ax2=0且 AB=A ，求实数a组成的集合C错解 ：由x23x2=0 得x=1 或 2当x=1时，a=2，当x=2 时， a=1错因 ：上述解答只注意了B为非空集合，实际上，B= 时，仍满足AB=A. 当a=0时， B=，符合题设，应补上，故正确答案为C=0，1，2 正解 ：AB=ABA 又 A=
7、x|x23x2=0=1 ，2 B=或21 或C=0，1，2 例 3 已知mA,nB, 且集合 A=Zaaxx,2|，B=Zaaxx, 12|，又C=Zaaxx,14|，则有：（）Am+nA B. m+nB C.m+nC D. m+n不属于 A，B，C中任意一个错解 ：mA，m=2a,aZ, 同理n=2a+1,aZ, m+n=4a+1, 故选 C 错因是上述解法缩小了m+n的取值范围 . 正解 ：mA, 设m=2a1,a1Z,又nB, n=2a2+1,a2 Z , m+n=2(a1+a2)+1, 而a1+a2 Z , m+nB, 故选 B. 例 4 已知集合 A=x|x23x100，集合 B=x
8、|p 1x2p 1若 BA ，求实数 p 的取值范围名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - 错解 ：由 x23x100 得2x5欲使 BA，只须3351212ppp p 的取值范围是 3p3.错因 ：上述解答忽略了 空集是任何集合的子集 这一结论，即B= 时，符合题设正解 ：当 B时，即 p12p 1p2.由 BA得：2p 1 且 2p15.由3p3. 2p3当 B= 时，即 p12p1p2. 由、得： p3.点评 ：从
9、以上解答应看到：解决有关AB=、AB=，AB 等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题 例 5已知集合 A=a,a b,a 2b ，B=a,ac,ac2若 A=B，求 c 的值分析 ：要解决 c 的求值问题， 关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式解：分两种情况进行讨论（1）若 ab=ac 且 a2b=ac2，消去 b 得： aac22ac=0，a=0 时，集合 B中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故a0c22c1=0，即 c=1，但 c=1 时，B中的三元素又相同，此时无解（2
10、）若 ab=ac2且 a2b=ac，消去 b 得： 2ac2aca=0，a0，2c2c1=0，即(c 1)(2c 1)=0，又 c1，故 c=21点评 ：解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验. 例 6设 A是实数集，满足若aA，则a11A，1a且 1 A. 若 2A，则 A中至少还有几个元素？求出这几个元素. A 能否为单元素集合？请说明理由. 若 aA，证明： 1a1A.求证：集合A中至少含有三个不同的元素. 解：2A 1A 21A 2A A 中至少还有两个元素：1 和21如果 A为单元素集合，则aa11即12aa0 该方程无实数解，故在实数范围内，A不可能是单
11、元素集名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - aA a11A a1111A111aaA，即 1a1A由知 aA 时，a11A， 1 a1A . 现在证明a,1 a1, a11三数互不相等.若 a=a11, 即 a2-a+1=0 ，方程无解，aa11若 a=1a1，即 a2-a+1=0 ，方程无解 a1a1若 1a1 =a11，即 a2-a+1=0 ，方程无解 1a1a11. 综上所述，集合A中至少有三个不同的元素. 点评
12、 ：的证明中要说明三个数互不相等，否则证明欠严谨. 例 7设集合 A=a|a=12n,nN+ ，集合 B=b|b=542kk,kN+ ，试证：AB证明 ：任设aA，则a=12n=(n2)24(n2) 5 (nN+), nN*， n 2N* aB 故显然， 1*2, 1|NnnaaA，而由B=b|b=542kk,kN+=b|b=1)2(2k，kN+ 知 1B，于是AB由、得 AB点评：（ 1）判定集合间的关系，其基本方法是归结为判定元素与集合之间关系（2）判定两集合相等，主要是根据集合相等的定义四、典型习题导练1集合 A=x|x23x100，xZ，B=x|2x2x60，xZ，则 AB的非空真子集
13、的个数为（） A16 B14 C15 D32 2数集 1， 2，x23中的 x 不能取的数值的集合是（）A2，-2 B2，5 C2，5 D5，5 3. 若 P=y|y=x2,x R， Q=y|y=x21,x R，则 PQ 等于（）AP BQ C D不知道4. 若 P=y|y=x2,x R， Q=(x ，y)|y=x2,x R，则必有（）APQ= BP Q CP=Q DP Q 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - 5若集
14、合M 11|xx，Nx|2xx ，则 MN （）A 11|xx B 10|xxC 01|xx D6. 已知集合 A=x|x2(m2)x 1=0,x R，若 AR=，则实数m的取值范围是_7. （06 高考全国II 卷）设aR，函数2( )22 .f xaxxa若( )0f x的解集为A，|13 ,BxxABI，求实数a的取值范围。8. 已知集合A=012|2baxxx和 B=0|2baxxx满足ICAB=2，AICB=4，I= R，求实数 a,b 的值 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - -