高中数学：常用逻辑用语_1.pdf

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1、 第 1 页 常用逻辑用语 一、知识框架 1.命题定义：用语言、符号或式子表达的、可以判断正误的陈述语句，叫做命题。其中，判断为真的即为真命题，为假的即为假命题。2.命题的判断以及命题真假的判断（1）命题的判断：判断该语句是否是陈述句；能否判断真假。（2）命题真假的判断：首先，分清条件与结论，其次，再判断命题真假。3.一般地，用 p 和 q 分别表示原命题的条件和结论，用 p 和 q 表示 p 与 q 的否定，即如下：（四种命题的关系）4.充分条件和必要条件（1）充分条件：如果 A 成立，那么 B 成立，则条件 A 是 B 成立的充分条件。（2）必要条件：如果 A 成立，那么 B 成立，这时

2、B 是 A 的必然结果，则条件 B 是 A 成立的必要条件。（3）充要条件：如果 A 既是 B 成立的充分条件，又是 B 成立的必要条件，则 A 是 B 成立的充要条件，与此同时，B 也一定是 A 成立的重要条件，所以此时，A、B 互为充要条件。【注意】充分条件与必要条件是完全等价的，是同一逻辑关系“AB”的不同表达方法。5.逻辑联结词（1）不含逻辑联结词的命题是简单命题，由简单命题和逻辑联结词“或”“且”“非”构成的命题是复合命题，它们有以下几种形式：p 或 q（pq）；p 且 q（pq）；非 p（p）。（2）逻辑联结词“或”“且”“非”的含义的理解 在集合中学习的“并集”“交集”“补集”与

3、逻辑联结词中的“或”“且”“非”关系十分密切。6.量词与命题（1）全称量词和存在量词表示 量词名称 常见量词 表示符号 全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个、任给等 存在量词 存在一个、至少有一个、某个、有些、某些等 命 题 表述形式 原命题 若 p 则 q 逆命题 若 q 则 p 否命题 若p 则q 逆否命题 若q 则p 第 2 页（2）全称命题与特称命题 命题 全称命题“xpMx,”特称命题“00,xpMx”定义 短语“对所有的”“对任意一个”等，在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“”表示。含有全称量词的命题叫做全称命题 短语“存在一个”“至少有一个”等，在逻辑中通常叫做存在量词，用符号

4、“”表示。含有存在量词的命题，叫做特称命题 实质 全称命题就是陈述某集合所有元素都具有某种性质的命题 存在性命题就是陈述某集合中有（存在）一些元素具有某种性质的命题 表述方法 所有的 xpMx,成立；对一切 xpMx,成立；对每一个 xpMx,成立；任选一个 xpMx,成立；凡 xpMx,成立。存在 00,xpMx使成立；至少有一个 00,xpMx使成立；对有些 00,xpMx使成立；对某个 00,xpMx使成立；有一个 00,xpMx使成立。7.命题的否定：其与否命题不是同一概念，否命题与原命题无真假关系（1）含一个量词的命题（全称命题与特称命题）的否定 全称命题的否定为特称命题 特称命题的

5、否定为全称命题 （2）复合命题的否定“p”的否定是“p”；“pq”的否定是“pq”；“pq”的否定是“pq”二、高考常见题型及解题方法 1.命题类题型考法与思路（1）命题及命题真假的判断方法 一般地，陈述句、反义疑问句是命题，而感叹句、祈使句、疑问句都不是命题，含有变量的语句叫开语句，不能判断真假的开语句也不是命题；判断命题是否为真，也可先写出命题，分清条件和结论，然后直接判断；也可从其与逆否命题等价角度判断；（2）判断四种命题之间的关系时，要注意分清命题的条件和结论，再比较 p、q 之间的关系；（3）当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提；对于有并列条件组成的命题时，要将其

6、中一个（或 n 个）作为大前提。（4）一些词语及其否定如下表所示：命 题 命题的否定)(xpMx，)(px00 xM，)(px00 xM，)(xpMx，词语 是 都是 都不是 等于 大于 小于 至少有一个 至多有一个 至少有n 个 至多有n 个 否定 不是 不都是 至少一个是 不等于 不大于 不小于 一个都没有 至少有两个 至多有n-1 个 至少有n+1 个 第 3 页 2.命题四种形式判断的考法与解法（1）命题判断法 设“若 p，则 q”为原命题，那么：原命题为真 原命题为假 逆命题为真 P 为 q 的充要条件 必要不充分条件 逆命题为假 充分不必要条件 既不充分也不必要条件 命题判断（定义

7、法）a.分清条件与结论（p 与 q）；b.找推式：即判断 p=q 及 q=p 的真假；c.下结论：根据上表。（2）集合判断法 从集合的观点看，建立命题 p，q 相应的集合 p：A=x|p(x)成立，q：B=x|q(x)成立那么：若BA则 p 是 q 的充分条件；若 A B，则 p 是 q 的充分不必要条件；若AB 则 p 是 q 的必要条件；若 B A，则 p 是 q 的必要不充分条件；若BA且AB，即 A=B，则 p 是 q 的充要条件。（3）充分必要条件的判断应注意问题的设问方式“A 是 B 的充分不必要条件”是指：A=B 且 BA；“A 的充分不必要条件是 B”是指：B=A 且 AB；3

8、.复合命题真假的判断 p q qp qp p 真 真 真 假 假 真 假 假 4.全（特）称命题真假的判断及其应用 5.全称命题与特称命题的否定形式、真假判断及求参数范围 三、针对训练 1.给出以下四个命题：“若 xy=0，则 x，y 互为相反数”的逆命题；“全等三角形的面积相等”的否命题；“若1q，则02qxx有实根”的逆否命题；“不等边三角形的三内角相等”的逆否命题。其中真命题是()A B C D 2.直线1 kxy的倾斜角为钝角的一个必要非充分条件是（）命题名称 真假 判断方法 1 判断方法 2 全称命题 真 所有对象命题真 否定为假 假 存在一个对象命题假 否定为真 特称命题 真 存在

9、一个对象命题真 否定为假 假 所有对象命题假 否定为真 第 4 页 Ak0 Bk1 Ck1 Dk2 3.给出 4 个命题：若0232 xx，则 x=1 或 x=2；若32x，则032xx；若x=y=0，则022 yx；若Nyx,，xy 是奇数，则 x，y 中一个是奇数，一个是偶数。那么（）A的逆命题为真 B的否命题为真 C的逆否命题为假 D的逆命题为假 4.“ABC 中，若C=90，则A、B 都是锐角”的否命题为（）AABC 中，若C90，则A、B 都不是锐角 BABC 中，若C90，则A、B 不都是锐角 CABC 中，若C90，则A、B 都不一定是锐角 D以上都不对 5.在一次跳伞训练中，甲

10、、乙两位学员各跳一次，设命题 p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（）A（p）（q）Bp（q）C（p）（q）Dpq 6.已知 a0,则0 x满足关于 x 的方程 ax=b 的充要条件是（）A.02022121,bxaxbxaxRx B.02022121,bxaxbxaxRx C.02022121,bxaxbxaxRx D.02022121,bxaxbxaxRx 7.命题“对任意 xR，都有 x20”的否定为()A.对任意 xR，都有 x20 B.不存在 xR，都有 x20 C.存在 x0R，使得 x020 D.存在 x0R，

11、使得 x020 8.设Zx，集合 A 是奇数集，集合 B 是偶数集。若命题BxAxp2,:，则（）A.BxAxp2,:B.BxAxp2,:C.BxAxp2,:D.BxAxp2,:9.设Ryxyxp,211:22；Ryxyxyxyq,111:，则 p 是 q 的（）A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 10.命题22:xp，命题131:xq，则p是q成立的（）A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 11.给定两个命题 p,q,p：若 x+y4 或 xy4，则 x2 或 y2；q：有一个偶数是质数，则“qp”为 命题

12、（填“真”或“假”）。12.已知命题 p:方程0122 axx有两个大于-1 的实数根，命题 q：关于 x 的不等式012axax的解集为 R。若“qp”与“p”都是真命题，则实数 a 的取值范围：。13.已知命题 0,2,1:2axxp，命题022,:0200aaxxRxq，若命题“qp”是真命题，求实数 a 的取值范围 。14.已知命题024,:1mRmRxpxx，且命题p是假命题，则实数 m 的取值范围 第 5 页 为 。15.若2,2x，不等式aaxx32恒成立，求 a 得取值范围 。四、高考真题训练 1.【2013 全国卷 1 文】已知命题xxRxp32,:；命题231,:xxRxq

13、，则下列命题中为真命题的是（）A.qp B.qp C.qp D.qp 2.【2014 全国卷 1 理】不等式组421yxyx的解集记为 D.有下面四个命题：22,:1yxDyxp；22,:2yxDyxp；32,:3yxDyxp；12,:4yxDyxp.其中真命题的是（）A.32,pp B.21,pp C.41,pp D.31,pp 3.【2014 全国卷 2 文】函数 xf在0 xx 处导数存在，若 00:,0:xxqxfp是 xf的极值点，则（）A.p 是 q 的充分必要条件 B.p 是 q 的充分条件，但不是 q 的必要条件 C.p 是 q 的必要条件，但不是 q 的充分条件 D.p 既不

14、是 q 的充分条件，也不是 q 的必要条件 4.【2015 全国卷 1 理】设命题nnNnp2,:2，则p为（）A.nnNn2,2 B.nnNn2,2 C.nnNn2,2 D.nnNn2,2 5.【2015 北京】设，是两个不同的平面，m 是直线且”“/.mm 是”“/的（）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 6.【2015 天津】设Rx，则“12 x”是“022 xx”的（）A.充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 7.【2015 浙江】命题“nnfNnfNn且*,”的否定形式是()A nnfNnfNn且*,B nnfNnfNn或*,C 00*0*0,nnfNnfNn且 D 00*0*0,nnfNnfNn或 8.【2017 全国卷 1 理】设有下面四个命题：1p：若复数 z 满足Rz1，则Rz；2p：若复数 z 满足Rz 2,则Rz；3p：若复数21,zz满足Rzz21，则21zz；4p：若复数Rz，则Rz；A.31,pp B.41,pp C.32,pp D.42,pp 注：关于文科理科全国卷卷卷，20132018 五年中，5 次出现逻辑关系题！