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1、学必求其心得，业必贵于专精 -1-第 2 章 数列 等差(比）数列的基本运算【例 1】等比数列an中,已知a12,a416。(1）求数列an的通项公式；学必求其心得，业必贵于专精 -2-（2)若a3，a5分别为等差数列bn的第 3 项和第 5 项,试求数列bn的通项公式及前n项和Sn.解（1)设an的公比为q，由已知得 162q3,解得q2,an22n12n.（2）由（1）得a38，a532，则b38，b532.设bn的公差为d，则有错误!解得错误!所以bn1612（n1）12n28.所以数列bn的前n项和 Sn错误!6n222n.在等差数列和等比数列的通项公式an与前n项和公式Sn中，共涉及
2、五个量:a1，an，n，d或q,Sn，其中a1和d或q为基本量，“知三求二”是指将已知条件转换成关于a1，dq,an，Sn，n的方程组，利用方程的思想求出需要的量，当然在求解中若能运用等差比数列的性质会更好,这样可以化繁为简，减少运算量，同时还要注意整体代入思想方法的运用.学必求其心得，业必贵于专精 -3-1已知等差数列an的公差d1，前n项和为Sn.(1）若 1，a1，a3成等比数列，求a1；(2)若S5a1a9，求a1的取值范围 解(1)因为数列an的公差d1,且 1，a1,a3成等比数列,所以a211(a12)，即a错误!a120，解得a11 或a12.(2）因为数列an的公差d1，且S
3、5a1a9，所以 5a110a错误!8a1,即a213a1100，解得5a12.求数列的通项公式【例 2】(1）已知数列an的前n项和Sn32n，求an；（2）数列an的前n项和为Sn且a11，an1错误!Sn，求an.思路探究：（1）已知Sn求an时，应分n1 与n2 讨论；（2）在已知式中既有Sn又有an时,应转化为Sn或an形式求解 解(1)当n2 时,anSnSn132n（32n1)2n1，当n1 时,a1S15 不适合上式 an错误!学必求其心得，业必贵于专精 -4-(2）Sn3an1,n2 时，Sn13an.得SnSn13an13an，3an14an，错误!错误!，又a2错误!S1
4、错误!a1错误!.n2 时，an错误!错误!错误!，不适合n1.an错误!数列通项公式的求法 1定义法，即直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适用于已知数列类型的题目.2已知Sn求an.若已知数列的前n项和Sn与an的关系，求数列an的通项an可用公式,求解.3累加或累乘法，形如anan1fnn2的递推式，可用累加法求通项公式；形如错误!fnn2的递推式，可用累乘法求通项公式。2设数列an是首项为 1 的正项数列，且an1anan1an学必求其心得，业必贵于专精 -5-0(nN)，求an的通项公式 解 an1anan1an0，错误!错误!1.又1a11，错误!是首项为
5、 1，公差为 1 的等差数列 故错误!n。an错误!。等差（比）数列的判定【例 3】数列an的前n项和为Sn，a11，Sn14an2(nN）（1）设bnan12an，求证：bn是等比数列；(2)设cn错误!,求证：cn是等差数列 思路探究：分别利用等比数列与等差数列的定义进行证明 证明(1)an2Sn2Sn14an124an2 4an14an。bn1bn错误!错误!错误!2。因为S2a1a24a12，所以a25.所以b1a22a13.学必求其心得，业必贵于专精 -6-所以数列bn是首项为 3，公比为 2 的等比数列(2)由（1)知bn32n1an12an，所以错误!错误!3。所以cn1cn3，
6、且c1错误!2，所以数列cn是等差数列，公差为 3，首项为 2。等差数列、等比数列的判定方法 1定义法：an1and常数an是等差数列;错误!qq为常数，q0an是等比数列。2中项公式法：2an1anan2 an是等差数列；aoal(2，n1)anan2an0an是等比数列。3通项公式法：anknbk,b是常数an 是等差数列；ancqnc，q为非零常数an是等比数列。4前n项和公式法：SnAn2BnA，B为常数，nNan是等差数列；SnAqnAA，q为常数，且A0，q0，q1，nN*an是等比数列。提醒：前两种方法是判定等差、等比数列的常用方法,而后两种方法常用于选择、填空题中的判定.若要判
7、定一个数列不是等差学必求其心得，业必贵于专精 -7-比数列,则只需判定其任意的连续三项不成等差比即可.3数列an的前n项和为Sn，若anSnn，cnan1。求证：数列cn是等比数列 证明 当n1 时,a1S1.由anSnn，得a1S11，即 2a11，解得a1错误!。又an1Sn1n1，得an1an（Sn1Sn)1,即 2an1an1，因为cnan1,所以ancn1,an1cn11，代入式，得 2（cn11)(cn1)1,整理得 2cn1cn，故错误!错误!(常数)所以数列cn是一个首项c1a11错误!，公比为错误!的等比数列.数列求和 学必求其心得，业必贵于专精 -8-探究问题 1 若数列c
8、n 是公差为d的等差数列,数列bn是公比为q（q1）的等比数列，且ancnbn，如何求数列an的前n项和？提示 数列an的前n项和等于数列cn和bn的前n项和的和 2有些数列单独看求和困难，但相邻项结合后会变成熟悉的等差数列、等比数列求和试用此种方法求和：122232429921002。提示 122232429921002(1222)(3242）（9921002)(12）（12）(34）(34）（99100)（99100）（123499100)5 050.3我们知道错误!错误!错误!,试用此公式求和：错误!错误!错误!.提示 由错误!错误!错误!得 错误!错误!错误!1错误!错误!错误!错误!
9、错误!1错误!错误!.【例 4】已知数列an的前n项和Snkcnk(其中c、k为常数），且a24,a68a3.学必求其心得，业必贵于专精 -9-(1)求an；（2)求数列nan的前n项和Tn.思路探究：(1)已知Sn,据an与Sn的关系an错误!确定an；（2）若an为等比数列，则nan是由等差数列和等比数列的对应项的积构成的新数列，可用错位相减法求和 解(1)当n2 时，anSnSn1k(cncn1），则a6k(c6c5)，a3k(c3c2),错误!错误!c38，c2。a24，即k（c2c1）4，解得k2,an2n.当n1 时，a1S12.综上所述，an2n（nN*）（2）nann2n，则T
10、n2222323n2n，2Tn122223324（n1)2nn2n1，两式作差得Tn222232nn2n1，学必求其心得，业必贵于专精 -10-Tn2(n1）2n1.1(变结论)例题中的条件不变,(2)中“求数列nan的前n项和Tn变为“求数列nan的前n项和Tn”解 由题知Tn12222323n2n(123n）(2222n）错误!错误!2n12错误!。2（变结论）例题中的条件不变，将（2）中“求数列nan的前n项和Tn”变为“求数列错误!的前n项和Tn”解 由题知Tn错误!错误!错误!错误!,错误!Tn错误!错误!错误!错误!，得：错误!Tn错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!1错误!n错误!，Tn2错误!错误!2错误!2错误!.数列求和问题一般转化为等差数列或等比数列的前n项和问题或已知公式的数列求和，不能转化的再根据数列通项公式的特点选学必求其心得，业必贵于专精 -11-择恰当的方法求解 一般常见的求和方法有：（1）公式法：利用等差数列或等比数列前n项和公式（2）分组求和法：把一个数列分成几个可以直接求和的数列（3)裂项（相消)法:有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和(4）错位相减法:适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和（5）倒序相加法：例如，等差数列前n项和公式的推导